«Ломоносов», 2025/26, заключительный этап, 7–9 класс

При длительной погоне траектория волка становится окружностью с тем же центром; зайцу и волку на полный круг нужно одинаковое время, а скорость волка направлена по касательной к его окружности.

\(L=R\sqrt{1-\dfrac{\upsilon_2^2}{\upsilon_1^2}}=8{,}4\) м.

Обратим внимание, что по условию задачи модуль скорости волка меньше модуля скорости зайца (\(\upsilon_2<\upsilon_1\)). Траектория волка будет иметь вид спирали, однако с течением времени при \(t\gg2\pi R/\upsilon_1\) возникнет установившийся режим, при котором спиральная траектория волка будет вырождаться в окружность радиуса \(r\). При этом центр окружности радиуса \(r\) совпадает с центром окружности радиуса \(R\) (см. рисунок). В этом установившемся режиме скорость волка \(\vec\upsilon_2\) направлена по касательной к траектории волка, т. е. по касательной к окружности радиуса \(r\).

Таким образом, с течением времени расстояние между волком и зайцем стремится к величине \(L\), которую и требуется найти. В установившемся режиме заяц и волк будут пробегать полный круг за одинаковое время: \[\frac{2\pi R}{\upsilon_1}=\frac{2\pi r}{\upsilon_2}\quad\to\quad r=R\frac{\upsilon_2}{\upsilon_1}.\] Из прямоугольного треугольника на рисунке получим: \(R^2=r^2+L^2\). Подставив полученное ранее выражение для \(r\), находим установившееся расстояние \(L\) между волком и зайцем: \[R^2=R^2\frac{\upsilon_2^2}{\upsilon_1^2}+L^2\quad\to\quad L=R\sqrt{1-\frac{\upsilon_2^2}{\upsilon_1^2}}=8{,}4\text{ м}.\] Ответ: \(L=R\sqrt{1-\dfrac{\upsilon_2^2}{\upsilon_1^2}}=8{,}4\) м.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Сила тяжести шарика с песком уравновешена суммой сил Архимеда, действующих на половину объёма в воде и на половину в масле.

\(M=\dfrac{\rho_{\text{в}}+\rho_{\text{м}}}{2}V-m=76\) г.

Тело находится в равновесии, следовательно, по условию равновесия векторная сумма всех сил равна нулю. Проекции на ось \(x\), направленную вертикально вверх, всех действующих на шар сил запишутся в виде: \[F_{A1}+F_{A2}-(m+M)g=0,\tag{1}\] где \(m\) — масса шара, \(M\) — масса песка, \(F_{A1}\), \(F_{A2}\) — проекции сил Архимеда, действующих на части шара, погружённые в воду и масло соответственно. По закону Архимеда они равны весу вытесненной жидкости: \[F_{A1}=\rho_{\text{в}}V_{\text{в}}g,\tag{2}\] \[F_{A2}=\rho_{\text{м}}V_{\text{м}}g,\tag{3}\] где \(V_{\text{в}}\), \(V_{\text{м}}\) — объёмы частей шара, находящихся в воде и масле соответственно: \[V_{\text{в}}=V_{\text{м}}=\frac12V.\tag{4}\] Рассмотрим уравнение (1) с учётом (2), (3), (4): \(\rho_{\text{в}}\dfrac12V+\rho_{\text{м}}\dfrac12V-(m+M)=0\). Решая его, получим: \[M=\frac{\rho_{\text{в}}+\rho_{\text{м}}}{2}V-m=\frac{1000+920}{2}\cdot100\cdot10^{-6}-20\cdot10^{-3}\text{ кг}=0{,}076\text{ кг}=76\text{ г}.\] Ответ: \(M=\dfrac{\rho_{\text{в}}+\rho_{\text{м}}}{2}V-m=76\) г.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Теплоту отдают чайник и горячий чай, получают лёд (нагрев, плавление, нагрев воды от нуля) и долитая холодная вода; запишите баланс и найдите общую конечную температуру.

\(t_{\text{к}}\approx12{,}7\,^\circ\)C.

Будем считать систему <<вода — лёд — чайник — горячий чай>> теплоизолированной. Количество теплоты, отданное чайником и горячим чаем, равно: \[Q_1=c_{\text{в}}m_1(t_1-t_{\text{к}})+c_{\text{ф}}m_{\text{ф}}(t_1-t_{\text{к}}).\] Количество теплоты, полученное льдом и водой, равно: \[Q_2=c_{\text{л}}m_2(t_{\text{пл}}-t_2)+\lambda m_2+c_{\text{в}}m_2(t_{\text{к}}-t_{\text{пл}})+c_{\text{в}}m_3(t_{\text{к}}-t_3),\] где \(t_{\text{пл}}=0\,^\circ\)C — температура плавления льда, \(t_{\text{к}}\) — конечная температура чая. Из уравнения теплового баланса \(Q_1=Q_2\) получим: \[t_{\text{к}}=\frac{c_{\text{в}}m_1t_1+c_{\text{ф}}m_{\text{ф}}t_1+c_{\text{в}}m_3t_3-c_{\text{л}}m_2(t_{\text{пл}}-t_2)-\lambda m_2+c_{\text{в}}m_2t_{\text{пл}}}{c_{\text{в}}m_1+c_{\text{ф}}m_{\text{ф}}+c_{\text{в}}m_3+c_{\text{в}}m_2}\approx12{,}7\,^\circ\text{C}.\] Ответ: \(t_{\text{к}}\approx12{,}7\,^\circ\)C.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Приравняйте мощность тока на параллельных спиралях к мощности, идущей на нагрев протекающей воды за секунду, и выразите сопротивление через длину проволоки.

\(L=\dfrac{\pi U^2N^2d^2}{4c\rho\rho_0\alpha(t_2-t_1)}\approx5\) м.

Рассмотрим промежуток времени \(\tau\), за который через водонагреватель проходит вода массы \(\Delta m\). В соответствии с условием задачи будем считать, что всё количество теплоты, выделяемое спиралями водонагревателя, идёт на нагрев воды. Для нагрева воды массы \(\Delta m\) на \(\Delta t=(t_2-t_1)\) необходимо количество теплоты \(Q\), равное \[Q=c\cdot\Delta m\cdot\Delta t=c\cdot\Delta m(t_2-t_1).\] Объём \(\Delta V\) и масса \(\Delta m\) воды, прошедшей через водонагреватель за время \(\tau\), связаны между собой соотношением \(\Delta m=\rho_0\cdot\Delta V\). Тогда объёмный расход воды \(\alpha\) можно представить в виде: \[\alpha=\frac{\Delta V}{\tau}=\frac{\Delta m}{\rho_0\tau}\quad\to\quad\Delta m=\rho_0\alpha\tau.\] В таком случае мощность водонагревателя \(P\) равна \[P=\frac{Q}{\tau}=\frac{c\rho_0\alpha\tau(t_2-t_1)}{\tau}=c\rho_0\alpha(t_2-t_1).\] Мощность \(P\), выделяющуюся на нихромовых спиралях нагревательного элемента, можно посчитать следующим образом: \(P=\dfrac{U^2}{R}\), где \(R\) — общее сопротивление \(N\) спиралей, соединённых параллельно. Длина проволоки, приходящейся на одну спираль, равна \(L/N\). Тогда сопротивление одной такой спирали \(R_0\) равно: \[R_0=\rho\frac{L/N}{\pi(d/2)^2}=\frac{4\rho L}{\pi Nd^2}.\] Таким образом, общее сопротивление \(R\) нагревательного элемента \[R=\frac{R_0}{N}=\frac{4\rho L}{\pi N^2d^2}.\] Мощность водонагревателя в таком случае имеет вид: \[P=\frac{U^2}{R}=\frac{\pi U^2N^2d^2}{4\rho L}.\] Приравнивая полученные выражения для мощности \(P\), получаем: \[\frac{\pi U^2N^2d^2}{4\rho L}=c\rho_0\alpha(t_2-t_1).\] Окончательно для суммарной длины \(L\) нихромовой проволоки, потребовавшейся для изготовления всех \(N\) спиралей водонагревателя, имеем: \[L=\frac{\pi U^2N^2d^2}{4c\rho\rho_0\alpha(t_2-t_1)}\approx5\text{ м}.\] В единицах СИ объёмный расход воды равен \(\alpha=4\) л/мин \(=4\cdot10^{-3}/60\) м\(^3\)/с.

Ответ: \(L=\dfrac{\pi U^2N^2d^2}{4c\rho\rho_0\alpha(t_2-t_1)}\approx5\) м.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Скорость капли в момент отрыва равна сумме скорости оси колеса и скорости точки обода относительно оси (равной по модулю \(V\) и направленной по касательной). Найдите точку, где вертикальная проекция суммы наибольшая.

\(H_{\max}=\dfrac{V^2(1-\sin\alpha)^2}{2g}=1{,}25\) м.

В момент отрыва скорость капли \(\vec v\) равна скорости \(i\)-й точки обода колеса, от которой произошёл отрыв. Поэтому скорость капли можно представить как векторную сумму скорости \(\vec V\) оси колеса в системе отсчёта, связанной с Землёй, и относительной скорости точки обода \(\vec u_i\) в системе отсчёта, связанной с осью колеса: \[\vec v=\vec V+\vec u_i.\tag{1}\] Поскольку колесо движется без проскальзывания, то \(|\vec u_i|=|\vec V|\) для произвольной точки \(i\). При этом скорость \(\vec u_i\) для каждой точки обода колеса направлена по касательной к ободу (см. рис. 1).

Максимально возможная высота подъёма капли будет достигаться при максимально возможной её вертикальной скорости: \(v_y=(v_y)_{\max}\). Скорость оси колеса \(\vec V\), входящая в формулу (1), одинакова для каждой точки обода. Поэтому \(v_y\) достигает своего максимального значения при \((u_i)_y=(u_y)_{\max}\). Это выполняется для точки \(A\) обода колеса, лежащей на горизонтальном его диаметре (см. рис. 2). В данной точке скорость \(\vec u_A\) сонаправлена с осью \(Y\). Таким образом: \[(v_y)_{\max}=-V\sin\alpha+(u_y)_{\max}=-V\sin\alpha+V=V(1-\sin\alpha).\] Тогда максимально возможная высота подъёма капли: \[H_{\max}=\frac{(v_y)_{\max}^2}{2g}=\frac{V^2(1-\sin\alpha)^2}{2g}=\frac{10^2\cdot\left(1-\frac12\right)^2}{2\cdot10}=1{,}25\text{ м}.\] Ответ: \(H_{\max}=\dfrac{V^2(1-\sin\alpha)^2}{2g}=1{,}25\) м.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.