зад 1 Транспортир
В 1960 году XI Генеральная конференция по мерам и весам приняла резолюцию об установлении Международной системы единиц (СИ). В качестве единицы измерения плоского угла был введён радиан (сокращённо рад). Развёрнутый угол (в \(180^\circ\)) в СИ приближённо равен \(\approx 3{,}14159\) радиан. В целях удобства это число условились обозначать \(\pi\). С помощью транспортира (рис. 1) определите величину плоского угла \(\alpha\) и выразите результат через внесистемную единицу — градус.
▶ОтветСкрыть
\(\alpha = 0{,}46\,\pi \approx 1{,}445\) рад \(\approx 82{,}8^\circ \approx 83^\circ\).
▶РешениеСкрыть
Искомый угол \(\alpha = \varphi_1 - \varphi_2\) (рис. 8), где \[\varphi_1 = 16\,\frac{\pi}{20} + 6{,}5\,\frac{\pi}{200}, \qquad \varphi_2 = 7\,\frac{\pi}{20} + 4{,}5\,\frac{\pi}{200}.\] Отсюда \[\alpha = 9\,\frac{\pi}{20} + 2\,\frac{\pi}{200} = \frac{\pi}{20}\,(9 + 0{,}2) = 0{,}46\cdot\pi = 1{,}445 \text{ рад},\] или \(\alpha = 82{,}8^\circ \approx 83^\circ\).
зад 2 Котёнок и мышь
В комнате сидит котёнок. Мышь выскакивает из одной норки в стене и бежит по прямой со скоростью \(v_{\text{м}}\) к другой норке, расстояние до которой \(S_{\text{м}} = 3{,}2\) м. Маленький котёнок заметил мышь в тот момент, когда она выскочила из норки, и пустился за ней в погоню. В каждый момент времени он бежал в направлении на мышь (рис. 2) с постоянной скоростью \(v_{\text{к}}\), в полтора раза большей скорости мыши. Котёнок и мышь одновременно достигли норки. На сколько метров путь \(S_{\text{к}}\), пройденный котёнком, больше, чем путь мыши?
▶ОтветСкрыть
\(\Delta S = 1{,}6\) м.
▶РешениеСкрыть
Время движения кота и мыши одинаково: \[t = \frac{S_{\text{м}}}{v_{\text{м}}}.\] Путь, пройденный котёнком, больше, чем путь мыши, на \[\Delta S = S_{\text{к}} - S_{\text{м}} = v_{\text{к}}\,t - S_{\text{м}} = \left(\frac{v_{\text{к}}}{v_{\text{м}}} - 1\right) S_{\text{м}} = 1{,}6 \text{ м}.\]
зад 3 Экспериментатор и эскалатор
В гипермаркете экспериментатор Глюк развлекался, бегая по эскалатору. Первый раз он бежал с постоянной скоростью \(v\) и насчитал \(N_1\) ступенек. Затем по соседнему эскалатору он вернулся к месту старта и вновь побежал в ту же сторону, что и в первый раз. Теперь он бежал медленнее (устал) и насчитал \(N_2\) ступенек (\(N_2 > N_1\)). В какую сторону бежал Глюк — по ходу эскалатора или против хода? Скорость бегущего Глюка всегда больше скорости эскалатора.
▶ОтветСкрыть
Глюк бежал против хода эскалатора.
▶РешениеСкрыть
а) Аналитическое решение. Пусть \(v_1\) — собственная скорость Глюка в первом забеге, \(v_2\) — во втором забеге (\(v_2 < v_1\)), \(L\) — длина эскалатора, \(u\) — скорость движения ступеней эскалатора.
Предположим, что Глюк бежит по ходу движения эскалатора. Тогда время его движения \(t_1 = \dfrac{L}{v_1 + u}\). Количество ступенек \(N_1\) пропорционально пройденному пути \(S_1\) относительно ступенек эскалатора. В первом забеге \[N_1 \sim S_1 = v_1 t_1 = L\,\frac{v_1}{u + v_1} = \frac{L}{1 + u/v_1}.\] То же равенство верно и тогда, когда Глюк устал: \[N_2 \sim S_2 = v_2 t_2 = L\,\frac{v_2}{u + v_2} = \frac{L}{1 + u/v_2}.\] Из условия \(S_2 > S_1\) и полученных выражений следует \(v_1 < v_2\), что противоречит условию задачи, то есть наше предположение неверно.
Предположим обратное, что движение осуществлялось против хода эскалатора. Тогда вместо предыдущих выражений получим \[S_1 = v_1 t_1 = \frac{L}{1 - u/v_1}, \qquad S_2 = v_2 t_2 = \frac{L}{1 - u/v_2}.\] В этом случае противоречия не возникает, поэтому верно второе предположение: Глюк бежал против хода эскалатора.
б) Логическое решение. Допустим, Глюк бежал очень быстро. Тогда он насчитает \(N_2\) ступенек, количество которых чуть меньше общего числа ступенек между стартом и финишем на неподвижном эскалаторе. Если он будет бежать медленно (со скоростью эскалатора), то насчитает вдвое меньше ступенек. Этот вариант противоречит условию.
Допустим, Глюк бежал против хода эскалатора. Во втором забеге его скорость может быть лишь чуть больше скорости эскалатора. Тогда относительно стен здания гипермаркета его скорость мала, и он будет долго идти по эскалатору и насчитает много ступенек (\(N_2 \gg N_1\)), что удовлетворяет условию задачи.
зад 4 Чёрный рынок
В одной стране геолог нашёл чёрный метеорит с вкраплениями золота. Плотность чёрного метеоритного вещества оказалась \(\rho_{\text{ч}} = 5000\) кг/м\(^3\). Плотность золота \(\rho_{\text{з}} = 19800\) кг/м\(^3\). Масса всего метеорита \(m = 2\) кг, а его средняя плотность \(\rho = 6000\) кг/м\(^3\). На чёрном рынке геологу за чёрный метеорит с ходу предложили \(6000\,\text{\$}\), и геолог согласился на сделку. Во сколько раз (и в какую сторону) эта сумма отличается от реальной стоимости золота, содержащегося в этом метеорите? В то время тройская унция золота стоила \(1700\,\text{\$}\), а одна тройская унция равна \(31{,}1\) грамма.
▶ОтветСкрыть
Сумма, предложенная геологу, примерно в \(4\) раза меньше реальной стоимости золота (\(\approx 24\,380\,\text{\$}\)).
▶РешениеСкрыть
В предположении равенства объёма метеорита сумме объёмов компонент получим \[\frac{m}{\rho} = \frac{m_{\text{з}}}{\rho_{\text{з}}} + \frac{m - m_{\text{з}}}{\rho_{\text{ч}}},\] откуда масса золота в метеорите \[m_{\text{з}} = m\,\frac{\rho_{\text{з}}(\rho - \rho_{\text{ч}})}{\rho(\rho_{\text{з}} - \rho_{\text{ч}})} = 446 \text{ г} = 14{,}34 \text{ тр. унции}.\] В денежном эквиваленте это \(24\,380\,\text{\$}\), что примерно в \(4\) раза больше той цены, на которую согласился геолог.
Источник: Олимпиада имени Дж. К. Максвелла, 2012/13, региональный этап, 7 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.