Максвелл, 2013/14, региональный этап, 7 класс

\(\tau = T\dfrac{k}{k-1} \approx 780\) суток.

Два последовательных противостояния наступают через промежуток времени \(\tau\), за который Земля обгонит Марс на полный оборот, то есть на \(360^\circ\). За это время Земля повернётся на угол \(\varphi_{\text{З}} = 360^\circ\dfrac{\tau}{T}\), а Марс на угол \(\varphi_{\text{М}} = 360^\circ\dfrac{\tau}{kT}\). Условие противостояния: \[360^\circ = \varphi_{\text{З}} - \varphi_{\text{М}} = 360^\circ\frac{\tau}{T} - 360^\circ\frac{\tau}{kT}.\] Отсюда \[\tau = T\frac{k}{k-1} = 365\cdot\frac{1{,}88}{1{,}88-1} \approx 780 \text{ суток}.\]

\(\rho = \dfrac{\rho_0 h}{vt} \approx 1{,}736\) г/м\(^3\).

Масса снега в сосуде \[m = \rho_0 S h = 0{,}15\text{ г/см}^3\cdot 200\text{ см}^2\cdot 15\text{ см} = 450 \text{ г}.\] Найдём, какой объём занимает снег такой массы в воздухе. Так как снег падал вертикально вниз с постоянной скоростью, то его объём в воздухе \[V = SH = Svt = 200\text{ см}^2\cdot 60\text{ см/с}\cdot 6\cdot 3600\text{ с} = 259\,200\,000\text{ см}^3 = 259{,}2\text{ м}^3.\] Плотность снега в воздухе \[\rho = \frac{m}{V} = \frac{\rho_0 h}{vt} \approx 1{,}736 \text{ г/м}^3.\] Заметим, что ответ не зависит от площади \(S\).

1) \(t_0 = 5\) мин;  2) \(v_{\text{р}} = 1\) м/с;  3) \(v_0 = 5\) м/с.

1. Рассмотрим движение лодки относительно воды. Так как весло относительно воды неподвижно, то лодка удалялась от весла и приближалась к нему одно и то же время. Следовательно, рыбак достал весло из воды через \(t_0 = 5\) мин после обнаружения пропажи.

2. Весло находилось в воде \((5 + 5)\) мин \(= 10\) мин \(= 600\) с. Скорость течения реки \[v_{\text{р}} = \frac{600\text{ м}}{600\text{ с}} = 1 \text{ м/с}.\]

3. Вверх против течения реки рыбак плыл со скоростью \[v_{\text{вверх}} = \frac{1200\text{ м}}{300\text{ с}} = 4 \text{ м/с}.\] Отсюда скорость лодки в стоячей воде \[v_0 = v_{\text{вверх}} + v_{\text{р}} = (4 + 1)\text{ м/с} = 5 \text{ м/с}.\]

\(\dfrac{\rho_2}{\rho_1} = \dfrac{16}{9} \approx 1{,}78\), то есть средняя плотность увеличилась в \(1{,}78\) раза.

Пусть \(m\) — масса оболочки шарика, \(m_1\) — масса гелия в первом случае. Масса шарика складывается из массы гелия и оболочки, поэтому \[m_1 = 0{,}2\,(m_1 + m), \qquad m_1 = \frac{m}{4}.\] Аналогично, во втором случае: \[m_2 = 0{,}1\,(m_2 + m), \qquad m_2 = \frac{m}{9}.\] Отношение плотностей выражается через отношение масс и отношение объёмов: \[\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{m + m_2}{m + m_1}\cdot\frac{V_1}{V_2}.\] Подставляя массы, выраженные через массу оболочки, и учитывая, что \(V_2 = V_1/2\), получаем \[\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{m + m/9}{m + m/4}\cdot 2 = \frac{10}{9}\cdot\frac{4}{5}\cdot 2 = \frac{16}{9} \approx 1{,}78.\]

Среднее расстояние попадания шариков от центра мишени равно \(\dfrac{2}{3}\) радиуса мишени (по критериям — ориентир \(6\)–\(8\) см).

Если из центра мишени провести два радиуса, образующих малый угол \(\alpha\), то получится фигура, приблизительно соответствующая равнобедренному треугольнику. На каждый элементарный участок треугольника шарики падают с равной вероятностью. Поэтому среднее расстояние от вершины треугольника (образующей угол \(\alpha\)) до места падения шариков равно расстоянию от вершины треугольника до его центра масс, а это расстояние равно \(\dfrac{2}{3}\) высоты треугольника (места пересечения медиан), то есть \(\dfrac{2}{3}\) радиуса мишени.

Зная диаметр, а значит и площадь внутреннего сечения шприца, можно определить расстояние между штрихами шкалы шприца как \[h = \frac{4V}{\pi D^2},\] где \(h\) — расстояние в сантиметрах между штрихами, которым соответствует разность объёмов \(V\) в миллилитрах (\(D\) в сантиметрах). Затем последовательно приложить шприц шкалой к каждому из катетов треугольника. Повторить измерения два-три раза. Результат усреднить и вычислить площадь треугольника.