Максвелл, 2013/14, региональный этап, 8 класс

Ответ

\(0{,}6\,T = 60\) с, где \(T = 100\) с — время до встречи.

Решение

Глюк и Баг встретились через время \[T = \frac{L}{v_{\text{Г}} + v_{\text{Б}}}.\] Пусть \(\tau\) — время, которое Шарик провёл, находясь рядом с каждым из друзей. Тогда вместе с Глюком и Багом он прошёл часть пути, равную \[L_1 = \tau\,(v_{\text{Г}} + v_{\text{Б}}).\] Все остальное время \(t = T - 2\tau\) Шарик бегал со скоростью \(v_0\). За это время он пробежал расстояние \[L_2 = (T - 2\tau)\cdot 3(v_{\text{Г}} + v_{\text{Б}}).\] По условию, Шарик пробежал путь \(L_1 + L_2 = 2L\). Отсюда следует: \[\tau(v_{\text{Г}} + v_{\text{Б}}) + (T - 2\tau)\cdot 3(v_{\text{Г}} + v_{\text{Б}}) = 2T(v_{\text{Г}} + v_{\text{Б}}).\] Тогда \(\tau = 0{,}2\,T\). Шарик бегал \(T - 2\tau = 0{,}6\,T = 60\) с.

Ответ

\(\rho = \dfrac{\rho_0}{4} = 200\) кг/м\(^3\).

Решение

Из условия равновесия лёгкого поршня следует, что давление непосредственно над поршнем равно \(p\). Тогда давление у верхнего торца поплавка \[p_1 = p - \rho_0 g h.\] Из условия равновесия поплавка \(p_1 S + mg = pS\), где \(m = 4\rho h S\). Получаем \[(p - \rho_0 g h)S + \rho\cdot 4hSg = pS,\] откуда \[\rho = \frac{\rho_0}{4} = 200 \text{ кг/м}^3.\]

Ответ

1) \(m_x = \dfrac{5}{4}\,m\);  2) мощность нагрева левой льдинки должна быть в \(2\) раза больше правой.

Решение

1. Расставим силы, действующие на рычаг, и воспользуемся правилом моментов относительно точки опоры: \[4mg\cdot 2L = 3mgL + m_x g\cdot 4L,\] отсюда \(m_x = \dfrac{5m}{4}\).

2. Так как льдинки уже при температуре плавления, вся теплота сразу идёт на плавление. Пусть за некоторое время \(\Delta t\) масса левой льдинки уменьшилась на \(\Delta m\), а правой — на \(\Delta m_x\). Тогда по правилу моментов: \[(4m - \Delta m)g\cdot 2L = 3mgL + (m_x - \Delta m_x)g\cdot 4L.\] Если вычесть из первого уравнения второе, получим \(\Delta m = 2\Delta m_x\). Изменение массы льдинки пропорционально подведённому количеству теплоты, а значит, мощности нагрева. Следовательно, мощность нагрева левой льдинки должна быть в \(2\) раза больше.

Ответ

\(c_1 = c_0\dfrac{\rho_0}{\rho_1}\cdot\dfrac{1}{\dfrac{t_{\text{д}} - t_x}{t_x - t_0} - 2\,\dfrac{t_{\text{д}} - t_y}{t_y - t_0}} \approx 920\) Дж/(кг\(\cdot\)°С).

Решение

Пусть объём сосуда равен \(V_0\), а объём детали, соответственно, \(V_1\). Запишем уравнения теплового баланса для первого и для второго случаев: \[c_1\rho_1 V_1 (t_{\text{д}} - t_x) = c_0\rho_0 (V_0 - V_1)(t_x - t_0),\] \[c_1\rho_1 \cdot 2V_1 (t_{\text{д}} - t_y) = c_0\rho_0 (V_0 - 2V_1)(t_y - t_0).\] Преобразуем эти выражения: \[c_1\rho_1 V_1\frac{t_{\text{д}} - t_x}{t_x - t_0} + c_0\rho_0 V_1 = c_0 V_0\rho_0,\] \[c_1\rho_1 (2V_1)\frac{t_{\text{д}} - t_y}{t_y - t_0} + c_0\rho_0 (2V_1) = c_0 V_0\rho_0.\] Из равенства правых частей следует равенство левых; сокращая на \(V_1\), получаем \[c_1\rho_1\left(\frac{t_{\text{д}} - t_x}{t_x - t_0} - 2\,\frac{t_{\text{д}} - t_y}{t_y - t_0}\right) = c_0\rho_0,\] откуда \[c_1 = c_0\,\frac{\rho_0}{\rho_1}\cdot\frac{1}{\dfrac{t_{\text{д}} - t_x}{t_x - t_0} - 2\,\dfrac{t_{\text{д}} - t_y}{t_y - t_0}} \approx 920~\text{Дж/(кг}\cdot\text{°С)}.\]

Решение

Обмотав пробирку кусочком миллиметровой бумаги, определим периметр \(P = \pi D = 50{,}0\) мм. Тогда внешний диаметр \(D = 15{,}9\) мм.

Внутренний диаметр пробирки можно измерить, долив в неё шприцем воду и измерив изменение уровня \(\Delta x\). Объём налитой воды \(\Delta V_1 = \dfrac{1}{4}\pi d^2\,\Delta x\) нам известен, поскольку мы наливаем её шприцем.

Для того, чтобы пробирка плавала вертикально, нужно налить в неё некоторое количество воды. Измеряем уровни \(x\) и \(y\), наклеив на пробирку с помощью скотча полоску миллиметровой бумаги, которая служит нам шкалой. Воду в исследуемую пробирку наливаем шприцем, таким образом мы знаем объём \(V_1\). Для измерения объёма \(V_2\) погрузим малую пробирку в большую до той же глубины \(y\). Отметим уровень воды в большой пробирке. Затем вынем малую пробирку и шприцем дольём в большую пробирку воды до отмеченного уровня. Объём долитой воды равен \(V_2\).

По закону Архимеда \((m + \rho_0 V_1)g = \rho_0 V_2 g\), значит, массу пробирки можно рассчитать по формуле \[m = \rho_0 (V_2 - V_1).\] Измерим объём вытесняемой воды при полном погружении малой пробирки в большую и полный внутренний объём исследуемой пробирки. Разность этих объёмов и есть объём стекла пробирки \(V\).

Рассчитаем плотность материала пробирки по формуле \(\rho = \dfrac{m}{V}\).

Решение

1. Так как в шприце находится тело, то нельзя непосредственно измерить объём набранной воды. Наберём в шприц воды до отметки \(V_0\), так, чтобы тело было полностью в воде. Подвесим к концу линейки шприц с водой и уравновесим её на краю стола. Запишем правило моментов: \[(M + m_0)\,l_0 = m_{\text{л}}\left(\frac{L}{2} - l_0\right),\] где \(l_0\) — длина плеча от места подвеса шприца до точки опоры, \(L\) — длина линейки, \(m_0\) — масса воды в шприце.

Добавим в шприц воды, так что она доходит до отметки \(V_1\). Тогда масса воды \(m_1 = \rho_0(V_1 - V_0)\) в граммах численно равна объёму добавленной воды \(V_1 - V_0\) в миллилитрах. Правило моментов в этом случае: \[(M + m_0 + m_1)\,l_1 = m_{\text{л}}\left(\frac{L}{2} - l_1\right).\] Из этих двух уравнений выразим массу линейки: \[m_{\text{л}} = \frac{2 m_1 l_1 l_0}{(l_0 - l_1)\,L}.\]

2. Проведём ещё одно измерение, совсем без воды в шприце. Получим уравнение \[M l = m_{\text{л}}\left(\frac{L}{2} - l\right).\] Отсюда выражаем массу шприца с телом: \[M = m_{\text{л}}\left(\frac{L}{2l} - 1\right).\]

3. Из первого и последнего уравнений выразим массу воды \(m_0\) и подставим массу линейки из выражения выше: \[m_0 = m_{\text{л}}\left(\frac{L}{2l_0} - 1\right) - m_{\text{л}}\left(\frac{L}{2l} - 1\right) = m_1\cdot\frac{l_1\,(l - l_0)}{l\,(l_0 - l_1)}.\] Масса этой воды равна \(m_0 = \rho_0 (V_0 - V)\). Отсюда находим объём тела: \[V = V_0 - \frac{m_0}{\rho_0}.\]