Максвелл, 2014/15, региональный этап, 7 класс

Подсказка

Постройте график \(x(t)\) по известным точкам. Наклон прямолинейного участка даёт скорость, а перемещение за третью минуту — время старта.

Ответ

1) зайчик начал двигаться примерно через \(2{,}3\) мин после начала измерений;  2) скорость \(10\) м/мин;  3) движение длилось \(5\) мин;  4) пропуски в таблице (при \(t = 2\), \(4\), \(5\), \(6\), \(8\), \(9\) мин): \(0\), \(17\), \(27\), \(37\), \(50\), \(50\) м.

Решение

Из-за редких измерений из таблицы сразу не ясно, в какой момент зайчик начал движение, а в какой — остановился. Можно построить график зависимости координаты от времени и по нему найти время \(t\) движения. По коэффициенту наклона графика найдём скорость движения зайчика: \(v = 10\) м/мин. Разделив перемещение \(x = 50\) м на скорость \(v\), найдём полное время движения \(t_0 = 5\) мин.

Время начала движения можно определить по перемещению за 3-ю минуту. Оно составляет \(7\) м, следовательно, зайчик двигался \(0{,}7\) мин. Время старта — \(2{,}3\) мин от начала измерений.

На месте пропусков должны быть числа \(0\) м, \(17\) м, \(27\) м, \(37\) м, \(50\) м и \(50\) м соответственно.

Подсказка

Средняя скорость на всём пути заключена между скоростями \(V_1\) и \(V_3\). Запишите времена и длины участков через \(V_1\), \(V_3\) и среднюю скорость.

Ответ

1) самый короткий — третий участок, самый длинный — второй;  2) дольше всего автомобиль ехал на втором участке, меньше всего — на первом.

Решение

Так как средняя скорость на всём пути лежит между скоростями на участках, то \(V_3 < V_{\text{ср}} < V_1\). Учитывая, что время на последнем участке равно \(T/3\) (где \(T\) — всё время пути), получим для времён движения на участках \(t_1 < T/3 < t_2\), где \(t_1\), \(t_2\) — времена на первом и втором участках, то есть \(t_1 < t_3 < t_2\).

На первом участке \(S_1 = S/3\), где \(S\) — весь путь. Следовательно, длина третьего участка \(S_3 = V_3 T/3 < S/3\), так как \(V_3 < V_{\text{ср}} = S/T\). Значит, \(S_3 < S_1 < S_2\).

Итак, самый короткий участок — третий, самый длинный — второй. Дольше всего автомобиль находился на втором участке, меньше всего — на первом.

Подсказка

Число кусочков в одном слое найдите по общему числу кусочков и числу слоёв; разложите его на множители и подберите размеры слоя.

Ответ

\(\rho \approx 1085\) кг/м\(^3\) (около \(1{,}1\) г/см\(^3\)).

Решение

Так как в коробке уложено 4 слоя кусочков сахара, то в одном слое их 42 штуки (\(n = 168/4 = 42\)). Число 42 можно разложить на простые множители: \(42 = 2 \cdot 3 \cdot 7\). Следовательно, один слой может иметь размеры \(21 \cdot 2\) кусочка, \(14 \cdot 3\) кусочка или \(7 \cdot 6\) кусочков. Первые два варианта противоречат условию, так как тогда вдоль самого короткого ребра укладывалось бы 2 или 3 кусочка. Таким образом, вдоль длинного ребра укладывается 7 кусочков и, соответственно, размер ребра кубика сахара равен \(a = c/7 = 98\) мм\(/7 = 14\) мм.

Общий объём сахара равен \[V = (14~\text{мм})^3 \cdot 168 \approx 460\,992~\text{мм}^3 \approx 0{,}461 \cdot 10^{-3}~\text{м}^3 .\] Плотность сахара \[\rho = \dfrac{m}{V} = \dfrac{0{,}5~\text{кг}}{0{,}461 \cdot 10^{-3}~\text{м}^3} \approx 1085~\text{кг/м}^3 .\]

Подсказка

Минимальное время достигается, когда все туристы прибывают в \(B\) одновременно и велосипед всё время занят. Пусть двое проехали расстояние \(x\) вместе: составьте уравнение на время прибытия пешего туриста.

Ответ

Двое едут на велосипеде из \(A\) и высаживают одного на расстоянии \(15\) км от \(A\); тот идёт пешком до \(B\). Второй возвращается навстречу третьему туристу, который всё это время шёл из \(A\); они встречаются в \(7\) км от \(A\) и дальше вдвоём едут до \(B\). Минимальное время \(T = 2{,}4\) ч.

Решение

Время путешествия будет минимальным, если все туристы одновременно прибудут в пункт назначения, а велосипед всё время будет задействован: в сторону от \(A\) к \(B\) на нём будут ехать двое, а от \(B\) к \(A\) — один.

Пусть два туриста на велосипеде проехали расстояние \(x\). На это им потребовалось время \(t_2 = x/\upsilon_2\). Затем один из них до пункта \(B\) шёл пешком (и прошёл расстояние \(L - x\) за некоторое время \(t_0\)), а другой поехал обратно навстречу своему товарищу, который из \(A\) шёл пешком. Пусть на обратную дорогу он потратил время \(\tau\). Если они встретятся от пункта \(A\) на расстоянии \(y = L - x\), то далее проедут на велосипеде расстояние \(x\) и прибудут в пункт \(B\) одновременно со спешившимся туристом.

Запишем эти условия на языке формул: \[\upsilon_0 \left( t_2 + \tau \right) = L - x . \qquad (1)\] За время \(t_2\) пеший турист прошёл расстояние \(x_1 = \upsilon_0 t_2 = x\,\dfrac{\upsilon_0}{\upsilon_2}\). Следовательно, велосипедист проедет обратно, до встречи со своим товарищем, расстояние \(x - x_1\) за время \[\tau = \dfrac{x - x_1}{\upsilon_0 + \upsilon_1} = \dfrac{(\upsilon_2 - \upsilon_0)\,x}{\upsilon_2\,(\upsilon_0 + \upsilon_1)} .\] Подставим в формулу (1) времена \(t_2\) и \(\tau\) и решим уравнение относительно \(x\). Подставив числовые значения скоростей и расстояния \(L\), получим \(x = 15\) км.

Теперь найдём время \(t_2 = x/\upsilon_2 = 1\) ч. Расстояние \(L - x = 7\) км, откуда \(t_0 = (L - x)/\upsilon_0 = 1{,}4\) ч.

Таким образом, всё время путешествия \(T = t_2 + t_0 = 2{,}4\) ч.

Ответ

1) \(\mu \approx 0{,}5\);  2) при \(L \approx 3L_0\) объём жгута немного больше, чем недеформированного (по оценке, примерно на \(20\%\)), то есть объём растёт.

Решение

Длину недеформированного жгута \(L_0\) можно измерить непосредственно с помощью измерительной ленты. Диаметр \(d_0\) определим методом рядов. Для этого намотаем без натяга плотно (виток к витку) жгут на пластиковую трубу, сосчитаем число витков \(N\) и измерим длину \(s\) (вдоль трубы), которую заняла намотка. Тогда искомое значение \(d_0 = s/N\). Объём жгута можно вычислить по формуле \[V_0 = \dfrac{d_0^2\, L_0}{1{,}273} . \qquad (1)\]

Для исследования деформированного жгута подвесим на нём бутылку с водой (например, можно привязать жгут к горлышку бутылки). Под действием веса бутылки с водой жгут растянется, новое значение его длины можно измерить непосредственно. Будем плотно наматывать растянутый жгут на трубу (на конце жгута всё время висит бутылка, что обеспечивает постоянство его натяжения). При этом диаметр жгута при намотке не меняется (намотка плотная и велика сила трения между трубой и жгутом). Значит, его можно определить методом рядов, аналогично случаю нерастянутого жгута.

Когда отношение \(\Delta L/L_0\) мало (вычисления по первой измеренной точке), значение коэффициента Пуассона примерно равно \(0{,}5\). При увеличении \(\Delta L/L_0\) искомое отношение убывает, следовательно, зависимость нелинейная, и проведение прямой по первым нескольким точкам необоснованно, так как они лежат уже вне области применимости линейного приближения. Новое значение объёма найдём с помощью формулы (1). Вычисления показывают, что при длине жгута \(L = 3L_0\) его объём несколько больше, чем при отсутствии деформации (возможное значение \(\Delta V/V\) порядка \(20\%\)). При малых деформациях объём практически постоянен (однако это сложно наблюдать из-за малой точности измерений).

Подсказка

Угол \(\varphi\) — это функция длины проекции \(L\): снимите не менее десяти точек и найдите минимум по гладкому графику.

Решение

Снимем искомую зависимость \(\varphi(L)\). Результаты измерений занесём в таблицу.

Поскольку \(\varphi(L)\) — гладкая функция (без изломов), координату \(L_i\), соответствующую минимуму этой функции, наиболее точно можно определить по графику.

Примечание для организаторов олимпиады. Зависимость \(\varphi(L)\) может быть получена теоретически и имеет вид: \[\varphi = \pi - \arctan\!\left(\dfrac{1-k}{k}\sqrt{\left(\dfrac{L_0}{L}\right)^2 - 1}\right) + \arccos\!\left(\dfrac{L}{L_0}\right), \qquad (1)\] где \(k\) — отношение массы лёгкого груза к массе тяжёлого. Поиск минимума этой функции — дело трудоёмкое, а полученная функция столь громоздка, что её анализ теряет всякую наглядность.