Максвелл, 2014/15, региональный этап, 8 класс

Ответ

Натяжения нитей, на которых подвешены блоки: \(T_3 = \dfrac{11}{6}mg\) и \(T_4 = \dfrac{19}{6}mg\); натяжения нитей, на которых висят грузы: \(T_1 = \dfrac{11}{12}mg\) и \(T_2 = \dfrac{19}{12}mg\); силы, с которыми подставка действует на грузы: \(N_1 = \dfrac{13}{12}mg\) и \(N_2 = \dfrac{5}{12}mg\).

Решение

Наиболее простое решение получится, если систему, состоящую из блоков, грузов и подставки, рассматривать как единое целое. Применим для неё правило моментов относительно точек \(O_1\) и \(O_2\), лежащих на линии действия сил натяжения нитей, за которые подвешены блоки (рис. 1): относительно точки \(O_2\): \[T_3 \cdot 6x - 2mg \cdot 5x - mg \cdot 3x + 2mg \cdot x = 0 . \qquad (1)\] относительно точки \(O_1\): \[2mg \cdot x + mg \cdot 3x + 2mg \cdot 7x - T_4 \cdot 6x = 0 . \qquad (2)\] Из уравнения (1) следует \(T_3 = \dfrac{11}{6}mg\), а из уравнения (2) соответственно \(T_4 = \dfrac{19}{6}mg\).

Сила натяжения нити, удерживающей левый груз, равна \(T_1 = \dfrac{T_3}{2} = \dfrac{11}{12}mg\). Аналогично сила натяжения нити, удерживающей правый груз, равна \(T_2 = \dfrac{T_4}{2} = \dfrac{19}{12}mg\).

Из условия равновесия левого груза найдём силу, с которой на него действует подставка: \[N_1 = 2mg - T_1 = \dfrac{13}{12}mg .\] Аналогично для правого груза \[N_2 = 2mg - T_2 = \dfrac{5}{12}mg .\]

Подсказка

Глубина, на которой показания перестают меняться, равна стороне кубика. Сила Архимеда на полностью погружённом кубике равна разности показаний динамометра.

Ответ

Плотность кубика \(\rho \approx 2{,}2\) г/см\(^3\); плотность жидкости \(\rho_ж \approx 1{,}21\) г/см\(^3\).

Решение

Так как показания динамометра перестают изменяться при погружении кубика на \(7{,}4\) см, то длина его ребра равна \(a = 7{,}4\) см. Это позволяет найти плотность материала, из которого изготовлен кубик: \[\rho = \dfrac{F(0)}{g a^3} \approx 2{,}2~\text{г/см}^3 .\]

По мере погружения кубика в жидкость сила Архимеда будет возрастать, а показания динамометра уменьшаются. Это будет продолжаться до тех пор, пока кубик полностью не погрузится в жидкость. Максимальная сила Архимеда \[F_{\text{A}} = F(7{,}4) - F(0) \approx 4{,}06~\text{Н}\] действует на весь объём кубика. Следовательно, плотность жидкости \(\rho_ж \approx 1{,}21\) г/см\(^3\).

Подсказка

Найдите число кусочков в одном слое и разложите его на множители; для каждого варианта раскладки проверьте плотность по условию примечания.

Ответ

\(\rho \approx 1080\) кг/м\(^3\) (вариант с кубиками ребром \(14\) мм; вариант с ребром \(8\) мм даёт \(5800\) кг/м\(^3\) и отбрасывается).

Решение

Так как в коробочке уложено 3 слоя кусочков сахара, то в одном слое \(n = 168/3 = 56\) кусочков. Число 56 можно разложить на простые множители: \(56 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7\). Следовательно, один слой может иметь размеры \(28 \cdot 2\) кусочка, \(14 \cdot 4\) кусочка или \(7 \cdot 8\) кусочков. Первый вариант противоречит условию, так как тогда вдоль самого короткого ребра помещалось бы 2 кусочка. Таким образом, вдоль длинного ребра можно положить либо 14, либо 8 кусочков и, соответственно, размер ребра кубика сахара равен либо \(a_1 = 112~\text{мм}/14 = 8\) мм, либо \(a_2 = 112~\text{мм}/8 = 14\) мм.

В первом случае общий объём сахара равен \(V_1 = (8~\text{мм})^3 \cdot 168 = 86\,016\) мм\(^3 \approx 86\) см\(^3\). Плотность сахара равна \(\rho_1 = m/V_1 = 500~\text{г}/86~\text{см}^3 \approx 5{,}8\) г/см\(^3\) \(= 5\,800\) кг/м\(^3\). Такая плотность противоречит условию.

Во втором случае общий объём сахара равен \(V_2 = (14~\text{мм})^3 \cdot 168 = 460\,992\) мм\(^3 \approx 461\) см\(^3\). Плотность сахара равна \(\rho_2 = m/V_2 = 500~\text{г}/461~\text{см}^3 \approx 1{,}08\) г/см\(^3\) \(= 1\,080\) кг/м\(^3\).

Подсказка

Учтите силу Архимеда со стороны воздуха: её изменение при таянии льда равно разности весов воздуха, вытесненного льдом и водой одинаковой массы.

Ответ

Примерно \(0{,}12\) г на чашку с гирей.

Решение

На тела со стороны окружающего воздуха действует сила Архимеда. Обычно по сравнению с весом тел она ничтожна и её не учитывают. В нашем случае это не так.

Пусть \(m\) — масса льда. Его объём \(V_Л = \dfrac{m}{\rho_Л}\). После плавления льда он превратится в воду, её объём будет \(V_В = \dfrac{m}{\rho_В}\). Из-за уменьшения объёма льда уменьшится и сила Архимеда \[\Delta F_A = \rho_0\, g \left( \dfrac{m}{\rho_Л} - \dfrac{m}{\rho_В} \right),\] поэтому чашка с водой опустится вниз (равновесие нарушится). Чтобы восстановить равновесие, на чашку с гирей следует добавить груз массой \[\Delta m = \dfrac{\Delta F_A}{g} = \rho_0 \left( \dfrac{m}{\rho_Л} - \dfrac{m}{\rho_В} \right).\] Поскольку сила Архимеда мала по сравнению с весом льда или гири, можно считать, что \(m \approx m_1 = 1\) кг. Отсюда \[\Delta m = m \left( \dfrac{\rho_0}{\rho_Л} - \dfrac{\rho_0}{\rho_В} \right) \approx 0{,}12~\text{г}.\]

Ответ

1) \(\mu \approx 0{,}5\);  2) при \(L \approx 3L_0\) объём жгута немного больше, чем недеформированного (по оценке, примерно на \(20\%\)), то есть объём растёт.

Решение

Длину недеформированного жгута \(L_0\) можно измерить непосредственно с помощью измерительной ленты. Диаметр \(d_0\) определим методом рядов. Для этого намотаем без натяга плотно (виток к витку) жгут на пластиковую трубу, сосчитаем число витков \(N\) и измерим длину \(s\) (вдоль трубы), которую заняла намотка. Тогда искомое значение \(d_0 = s/N\). Объём жгута можно вычислить по формуле \[V_0 = \dfrac{d_0^2\, L_0}{1{,}273} . \qquad (1)\]

Для исследования деформированного жгута подвесим на нём бутылку с водой (например, можно привязать жгут к горлышку бутылки). Под действием веса бутылки с водой жгут растянется, новое значение его длины можно измерить непосредственно. Будем плотно наматывать растянутый жгут на трубу (на конце жгута всё время висит бутылка, что обеспечивает постоянство его натяжения). При этом диаметр жгута при намотке не меняется (намотка плотная и велика сила трения между трубой и жгутом). Значит, его можно определить методом рядов, аналогично случаю нерастянутого жгута.

Когда отношение \(\Delta L/L_0\) мало (вычисления по первой измеренной точке), значение коэффициента Пуассона примерно равно \(0{,}5\). При увеличении \(\Delta L/L_0\) искомое отношение убывает, следовательно, зависимость нелинейная, и проведение прямой по первым нескольким точкам необоснованно, так как они лежат уже вне области применимости линейного приближения. Новое значение объёма найдём с помощью формулы (1). Вычисления показывают, что при длине жгута \(L = 3L_0\) его объём несколько больше, чем при отсутствии деформации (возможное значение \(\Delta V/V\) порядка \(20\%\)). При малых деформациях объём практически постоянен (однако это сложно наблюдать из-за малой точности измерений).

Подсказка

Угол \(\varphi\) — это функция длины проекции \(L\): снимите не менее десяти точек и найдите минимум по гладкому графику.

Решение

Снимем искомую зависимость \(\varphi(L)\). Результаты измерений занесём в таблицу.

Поскольку \(\varphi(L)\) — гладкая функция (без изломов), координату \(L_i\), соответствующую минимуму этой функции, наиболее точно можно определить по графику.

Примечание для организаторов олимпиады. Зависимость \(\varphi(L)\) может быть получена теоретически и имеет вид: \[\varphi = \pi - \arctan\!\left(\dfrac{1-k}{k}\sqrt{\left(\dfrac{L_0}{L}\right)^2 - 1}\right) + \arccos\!\left(\dfrac{L}{L_0}\right), \qquad (1)\] где \(k\) — отношение массы лёгкого груза к массе тяжёлого. Поиск минимума этой функции — дело трудоёмкое, а полученная функция столь громоздка, что её анализ теряет всякую наглядность.