зад 1 Понять умом и измерить общим аршином (экспериментальный тур)
Определите длины сторон спичечного коробка, длину и толщину одной спички. Подробно опишите последовательность действий. Все результаты измерений выразите в вершках! Использовать любое дополнительное оборудование, кроме указанного в условии, нельзя!
Оборудование: нить длиной 1 аршин. Коробок спичек со спичками.
Примечание: аршин — старорусская мера длины, равная 16 вершкам. Внимание! Спички детям — не игрушка, зажигать спички запрещено!
▶ПодсказкаСкрыть
Нить в ненатянутом состоянии собирается гармошкой, поэтому её удобно наматывать на коробок слегка натянутой вдоль трёх разных направлений. Каждое такое измерение даёт сумму двух сторон коробка; из трёх сумм находятся сами стороны. Толщину спички и её длину удобно найти методом рядов.
▶ОтветСкрыть
Стороны коробка: \(a \approx 0{,}29\), \(b \approx 0{,}82\), \(c \approx 1{,}13\) вершка; толщина спички \(\approx 0{,}051\) вершка; длина спички \(\approx 0{,}94\) вершка (значения примерные и зависят от коробка).
▶РешениеСкрыть
Нить в ненатянутом состоянии собирается «гармошкой» и становится короче на несколько сантиметров, поэтому натянуть её и приложить к ней коробок несколько раз трудно. Всевозможные прижимы по условию запрещены. Остаётся, слегка натягивая нить, наматывать её на коробок вдоль трёх различных направлений (\(a\), \(b\), \(c\)). В результате измерений получим: \[2(a + c) = 5{,}6 \text{ оборота} = \frac{1}{5{,}6}\text{ аршина}, \qquad 2(a + b) = 7{,}2 \text{ оборота} = \frac{1}{7{,}2}\text{ аршина}, \qquad 2(b + c) = 4{,}1 \text{ оборота} = \frac{1}{4{,}1}\text{ аршина}.\] Сложим первые два уравнения и вычтем третье: \(2a = 0{,}0736\) аршина, откуда \(a = 0{,}0184\) аршина \(= 0{,}29\) вершка. Аналогично \(b = 0{,}0510\) аршина \(= 0{,}82\) вершка и \(c = 0{,}0709\) аршина \(= 1{,}13\) вершка.
Толщину спички можно определить методом рядов: выкладывая спички на столе плотно друг к другу, чередуя направления головок. Вдоль стороны \(b\) коробка укладывается 16 спичек, поэтому толщина спички \(b/16 = 0{,}051\) вершка. Можно наматывать нить на одну спичку, делая несколько оборотов, но этот способ менее точен, так как начинает сказываться толщина самой нити.
Длина спички несколько меньше длины самой большой стороны коробка. Если выложить спички в линию, то вдоль 1 аршина умещается примерно 17 спичек, поэтому длина одной спички \(L = 1/17\) аршина \(= 0{,}94\) вершка. Приведённые значения примерные и могут несколько отличаться для разных коробков и спичек.
зад 2 С Новым годом, или шарик и кубик (экспериментальный тур)
Оборудование: ёлочный шарик, шприц объёмом 20 мл, стакан с водой, лист миллиметровой бумаги (для построения графика).
Из геометрии известно, что объём \(V_{\text{ш}}\) шара с диаметром \(D\) в \(1{,}91\) раза меньше объёма \(V_{\text{к}}\) куба с длиной ребра \(a = D\).
Заполните таблицу зависимости объёма куба \(V_{\text{к}}\) от длины его ребра \(a\) по результатам проведённого вами теоретического расчёта. Таблица: \(a\), см — \(5{,}5\); \(6{,}0\); \(6{,}5\); \(7{,}0\); \(7{,}5\); \(8{,}0\); \(8{,}5\); \(9{,}0\); \(9{,}5\); \(10\). Строка \(V_{\text{к}}\), см\(^3\) — пустая.
Постройте график полученной зависимости (\(V_{\text{к}}(a)\)), соединив плавной кривой нанесённые точки. На горизонтальной оси следует отложить длину ребра куба \(a\), а на вертикальной оси — соответствующий объём \(V_{\text{к}}\) куба.
С помощью шприца и воды определите внутренний объём выданного вам ёлочного шара.
Используя построенный в пункте 2 график, определите внутренний диаметр шара.
После завершения работы шарик можно забрать с собой. Не забудьте вылить из него воду!!!
▶ПодсказкаСкрыть
Объём куба с ребром \(a\) равен \(a^3\). Объём шара умножьте на \(1{,}91\) — получите объём куба с ребром, равным диаметру шара; по графику найдите это ребро.
▶ОтветСкрыть
Таблица при \(a = 5{,}5\); \(6\); \(6{,}5\); \(7\); \(7{,}5\); \(8\); \(8{,}5\); \(9\); \(9{,}5\); \(10\) см: \(V_{\text{к}} \approx 166\); \(216\); \(\approx 275\); \(343\); \(\approx 422\); \(512\); \(\approx 614\); \(729\); \(\approx 860\); \(1000\) см\(^3\). Внутренний диаметр шара определяется по графику и зависит от измеренного объёма шара.
▶РешениеСкрыть
Заполненная таблица (см. выше) получается по формуле \(V_{\text{к}} = a^3\). При построении графика следует правильно выбрать масштабы по вертикальной и горизонтальной осям.
Определяем объём шарика с помощью шприца и воды. Умножаем этот объём на \(1{,}91\). По графику определяем, какому значению длины ребра кубика равен диаметр соответствующего шарика.
зад 3 Где тут плотность? (теоретический тур)
В лаборатории провели измерения массы и объёма пяти тел, изготовленных из четырёх материалов: берёзы, \(\rho_{\text{Б}} = 0{,}7\) г/см\(^3\), алюминия, \(\rho_{\text{Ал}} = 2{,}7\) г/см\(^3\), железа, \(\rho_{\text{Ж}} = 7{,}8\) г/см\(^3\) и свинца, \(\rho_{\text{С}} = 11{,}3\) г/см\(^3\). Затем результаты нанесли на график, по одной оси которого отложили объёмы тел \(V_i\), а по другой их массы \(m_i\). Здесь индекс \(i\) может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5 — соответственно номерам точек на графике.
К сожалению, со временем масштаб по осям был утрачен, а экспериментаторы в спешке забыли записать, какому веществу какая экспериментальная точка соответствует. Определите:
из какого материала изготовлено тело самой большой массы;
у тела с каким номером была самая маленькая плотность? Чему она равна?
какой точке соответствует тело, изготовленное из свинца;
какие тела сделаны из одинакового материала? Определите из какого.
Примечание! Применять свои линейки для нанесения на график масштаба нельзя. Подобные решения будут оценены в ноль баллов.
▶ПодсказкаСкрыть
Плотность — это отношение массы к объёму, поэтому точки тел одного материала лежат на одной прямой, проходящей через начало координат. Сравните наклоны этих прямых.
▶ОтветСкрыть
Тело 4 изготовлено из железа; тело с наименьшей плотностью — тело 1, его плотность \(0{,}7\) г/см\(^3\) (берёза); свинцу соответствует точка 5; тела 2 и 3 сделаны из алюминия.
▶РешениеСкрыть
Самой большой массой обладает тело 4: его координата по оси \(m\) самая большая.
По определению \(\rho = m/V\). Для тел с одинаковой плотностью точки должны лежать на одной прямой, проходящей через начало координат, так как для них одинаково отношение \(m/V\). Отсюда плотности тел 2 и 3 одинаковы. Чем больше плотность тела, тем больше отношение \(m/V\), и тем ближе к оси \(m\) идёт прямая из начала координат. Из этого следует, что самая маленькая плотность у тела 1, а самая большая — у тела 5.
Телу 4 соответствует плотность меньшая, чем у тела 5, но большая, чем у тел 2 и 3. Следовательно, тело 4 изготовлено из железа, тело 5 — из свинца, тела 2 и 3 — из алюминия, а тело 1 — из берёзы.
зад 4 Кубик в кубе (теоретический тур)
Однородный кубик со стороной \(a\) и плотностью \(\rho\) поместили внутрь куска глины с плотностью \(4\rho\), которому придали форму куба со стороной \(2a\). Получившийся куб облепили пластилином плотностью \(2\rho\), в результате чего получился куб со стороной \(3a\) (см. рисунок). Определите среднюю плотность получившейся системы.
▶ОтветСкрыть
\(\rho_{\text{ср}} = \dfrac{67}{27}\rho \approx 2{,}5\rho\).
▶РешениеСкрыть
Среднюю плотность системы можно рассчитать, определив объёмы глины и пластилина и выразив их через объём \(V = a^3\) маленького кубика. Эти объёмы не зависят от взаимного расположения кубика, глины и пластилина: объём глины \(V_{\text{гл}} = (2a)^3 - a^3 = 7a^3\), объём пластилина \(V_{\text{пл}} = (3a)^3 - (2a)^3 = 19a^3\).
Тогда масса системы \(m = \rho a^3 + 4\rho\cdot 7a^3 + 2\rho\cdot 19a^3 = 67\rho a^3\), объём системы \(27a^3\), и средняя плотность \[\rho_{\text{ср}} = \frac{67}{27}\rho \approx 2{,}5\rho.\]
зад 5 Встретились две трубы (теоретический тур)
На трубопрокатном заводе по конвейерам с одинаковой скоростью движутся во встречных направлениях две трубы разной длины. Мимо друг друга трубы проезжают за время \(t_1 = 5\) с (время измеряется от момента, когда поравняются передние торцы труб, движущиеся навстречу друг другу, до момента, когда поравняются задние торцы). В результате поломки один из конвейеров начал движение в обратном направлении с вдвое большей скоростью. За какое время \(t_2\) трубы проедут мимо друг друга теперь? Рассмотрите возможные варианты.
▶ПодсказкаСкрыть
Удобно перейти в систему отсчёта, связанную с трубой, скорость которой не изменилась. Труба проходит мимо другой, когда переместится на расстояние, равное сумме длин труб.
▶ОтветСкрыть
\(t_2 = 10\) с; время не зависит от того, какой конвейер изменил направление движения.
▶РешениеСкрыть
Задачу удобно решать в системе отсчёта, связанной с трубой, скорость которой не изменилась. Обозначим длину этой трубы \(l_1\), а длину другой трубы \(l_2\). Труба проходит мимо неподвижной, когда переместится на расстояние \(L = l_1 + l_2\).
В первом случае трубы движутся навстречу, скорость движущейся трубы относительно другой равна \(2\upsilon\), поэтому \(t_1 = L/(2\upsilon) = 5\) с. Во втором случае скорость подвижной трубы относительно неподвижной равна \(\upsilon\), поэтому время обгона \(t_2 = L/\upsilon = 2t_1 = 10\) с. Это время не зависит от длины подвижной трубы, то есть от того, какая именно труба изменила скорость.
зад 6 Кофе на средней скорости (теоретический тур)
Машина половину пути ехала равномерно; затем, въехав на плохой участок дороги, стала двигаться медленнее, но тоже с постоянной скоростью. На графике приведена зависимость средней скорости машины от времени движения. К сожалению, при движении по плохой дороге на график пролили кофе, и часть информации пропала.
Определите:
путь, пройденный машиной за всё время движения;
время движения на первой половине пути;
величину скорости машины на втором участке;
значение средней скорости через 60 с после начала движения.
▶ПодсказкаСкрыть
Средняя скорость за всё время движения умножается на всё время — получаем весь путь. Сравните время на первой половине пути с 60 секундами.
▶ОтветСкрыть
\(S = 1000\) м; \(t_1 = 30\) с; \(\upsilon_2 = 20\) км/ч; \(\upsilon_{\text{ср}}(60\text{ с}) = 40\) км/ч.
▶РешениеСкрыть
Весь пройденный путь можно найти, умножив среднюю скорость за всё время на всё время движения: \(\upsilon_{\text{ср}} = 30\) км/ч \(= 25/3\) м/с, \(S = \upsilon_{\text{ср}} t_0 = \dfrac{25}{3}\cdot 120 = 1000\) м.
Половине пути соответствует расстояние 500 м. Скорость на первом участке \(60\) км/ч \(= 50/3\) м/с, поэтому время движения на нём \(t_1 = 500 : (50/3) = 30\) с.
Время движения на втором участке \(t_2 = 120 - 30 = 90\) с \(= 1/40\) ч, откуда скорость на нём \(\upsilon_2 = 0{,}5\text{ км} : (1/40\text{ ч}) = 20\) км/ч.
К моменту времени 60 с машина половину времени ехала со скоростью \(\upsilon_1\) и половину — со скоростью \(\upsilon_2\), поэтому средняя скорость за 60 с равна \(\dfrac{\upsilon_1 + \upsilon_2}{2} = 40\) км/ч.
Источник: Олимпиада имени Дж. К. Максвелла, 2015/16, региональный этап, 7 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.