Максвелл, 2015/16, региональный этап, 8 класс

Подсказка

Сравните участки, на которых путь растёт, а координата \(x\) нет. Что означает наклон графика пути \(s(t)\)?

Ответ

1) сначала вездеход ехал вдоль стола (0–40 с), затем двигался поперёк стола, не меняя \(x\) (40–60 с), затем возвращался вдоль стола (60–120 с);  2) \(v_{\max} = 2{,}0\) см/с;  3) от \(20\) см до \(45\) см.

Решение

Из графиков видно, что на первом участке (0–40 с) изменение координаты \(x\) равно пройденному вездеходом пути. Это означает, что движение происходило вдоль длинного края стола. На втором участке (40–60 с) координата \(x\) не изменяется, а путь продолжает расти. Так возможно, если вездеход двигался в направлении, перпендикулярном оси \(X\), причём часть времени он мог ехать в одну сторону, а часть — в обратную. На третьем участке (60–120 с) изменение координаты \(x\) по модулю совпадает с пройденным путём: вездеход снова двигался вдоль длинной стороны стола, но в направлении, противоположном первоначальному.

Максимальную скорость вездеход имел на втором участке — там наибольший наклон графика пути от времени. По графику \(v_{\max} = 2{,}0\) см/с.

На втором участке смещение модели в направлении, перпендикулярном оси \(X\), может принимать значения от нуля до \(40\) см. Изменение координаты \(x\) за всё время движения составило \(20\) см, поэтому по теореме Пифагора максимальное расстояние между точками старта и финиша \[L = \sqrt{40^2 + 20^2}\ \text{см} \approx 45\ \text{см}.\] Таким образом, искомое расстояние лежит в пределах от \(20\) см до \(45\) см.

Ответ

\(H = 4h\) (при этом \(h < a/2\), где \(a\) — ребро маленького куба; иначе большой куб утонет).

Решение

Запишем условие плавания куба с длиной ребра \(a\), имеющего плотность \(\rho\), в жидкости с плотностью \(\rho_ж\): \[\rho_ж\, h\, a^2 g = \rho\, a^3 g \qquad\Rightarrow\qquad h = a\,\dfrac{\rho}{\rho_ж}.\] Тогда для второго куба \[\rho_ж\, H\, (2a)^2 g = (2\rho)(2a)^3 g \qquad\Rightarrow\qquad H = 4a\,\dfrac{\rho}{\rho_ж}.\] Из этих уравнений следует, что \(H = 4h\).

Но это не окончательный ответ. Дело в том, что если \(H = 4h > 2a\), то большой куб утонет. Это накладывает более жёсткое условие на плавание маленького куба. Так как \(4h > 2a\), то \(h < a/2\). Иными словами, глубина погружения маленького куба не должна превышать \(a/2\). В противном случае большой куб утонет.

Подсказка

Запишите \(Q = mc\,\Delta t\) и сравните отношение \(Q/(mc)\) для разных точек графика с изменением температуры.

Ответ

1) телу 4;  2) самое большое изменение температуры у тела 5, самое маленькое — у тела 1;  3) у тел 2 и 3.

Решение

Больше всего теплоты было передано телу 4: его координата по оси \(Q\) самая большая.

Если телу подведено количество теплоты \(Q = mc\,\Delta t\), то \(\dfrac{Q}{mc} = \Delta t\). Для всех тел одинаковой массы, температура которых повысилась на одинаковую величину \(\Delta t\), точки на координатной плоскости \((c, Q)\) лежат на одной прямой, проходящей через начало координат, так как отношение \(Q/(mc)\) для них одно и то же. Из этого следует, что изменения температуры тел 2 и 3 одинаковы.

Чем больше повышение температуры, тем больше отношение \(Q/(mc)\); тогда прямая, проведённая из начала координат, идёт под меньшим углом к оси \(Q\). Из этого следует, что больше всего нагрелось тело 5, а меньше всего — тело 1.

Подсказка

Найдите участок таблицы, где зависимость \(h(V)\) линейна: что означает её наклон? Что даёт продолжение этого участка до \(V = 0\)?

Ответ

\(S = 50\) см\(^2\);  \(V_ш = 50\) см\(^3\).

Решение

По табличным данным построим график зависимости \(h(V)\). Линейный характер зависимости начинается после объёма \(400\) см\(^3\): добавляемая жидкость распределяется по всему сечению сосуда равномерно. По угловому коэффициенту этой части графика находим площадь сечения сосуда: \[S = \dfrac{\Delta V}{\Delta h} = \dfrac{200\ \text{см}^3}{4\ \text{см}} = 50\ \text{см}^2.\] Проведём экстраполяцию линейного участка до нулевого объёма добавленной жидкости. В результате получим значение «нулевого» уровня \(h_0 = 4\) см. Это позволяет найти суммарный объём четырёх шариков: \[V_{\text{ш}}^{\text{сум}} = S h_0 = 50\ \text{см}^2 \cdot 4\ \text{см} = 200\ \text{см}^3,\] а объём одного шарика — \(50\) см\(^3\).

Решение 2. Из таблицы видно, что начиная с \(V = 400\) см\(^3\) зависимость \(h(V)\) линейна, и добавление каждых \(50\) см\(^3\) воды приводит к повышению уровня воды на \(1\) см. Значит, площадь сечения \(S = 50\) см\(^2\). При \(V = 600\) см\(^3\) уровень \(h = 16\) см, т.е. объём воды с шариками равен \(hS = 800\) см\(^3\). Следовательно, суммарный объём шариков равен \(200\) см\(^3\), а одного шарика — \(50\) см\(^3\).

Подсказка

Уравновесьте ластик на рычаге скрепками в воздухе и в воде. Что меняется при погружении ластика в воду?

Ответ

\(\rho = \rho_В \dfrac{N_1}{N_1 - N_2}\), где \(N_1\) и \(N_2\) — число скрепок для равновесия ластика в воздухе и в воде.

Решение

Для определения плотности ластика воспользуемся методом гидростатического взвешивания. Задача осложняется неоднородностью рычага и отсутствием измерителей длин.

Добьёмся равновесия неоднородного рычага на нити и определим положение его центра тяжести. Затем уравновесим на рычаге ластик максимально возможным количеством скрепок. При подвешивании тел надо стремиться использовать самые большие расстояния от центра тяжести рычага. Важно, что общая масса всех скрепок примерно вдвое меньше массы ластика. Центр тяжести рычага тоже находится не посередине, а примерно на трети его длины, поэтому для повышения точности измерений более тяжёлое тело необходимо подвесить к короткому плечу рычага. Пусть для равновесия ластика в воздухе потребовалось \(N_1\) скрепок.

По правилу моментов относительно точки подвеса рычага \[V \rho g L_1 = N_1 m g L_2,\] где \(m\) — масса одной скрепки, \(V\) — объём ластика.

Не изменяя расстояния между точками крепления нитей, полностью погрузим ластик в воду. Добьёмся нового равновесия, уменьшив количество скрепок до \(N_2\). Новое уравнение имеет вид \[V (\rho - \rho_0) g L_1 = N_2 m g L_2 .\] Разделив одно уравнение на другое, получим \[\rho = \rho_0\,\dfrac{N_1}{N_1 - N_2}.\]

Подсказка

Объём шара в \(1{,}91\) раза меньше объёма куба с ребром, равным его диаметру. Измерьте объём шарика шприцом и сравните с графиком \(V_{\text{к}}(a)\).

Ответ

1) \(V_{\text{к}} \approx 166\), \(216\), \(\approx 275\), \(343\), \(\approx 422\), \(512\), \(\approx 614\), \(729\), \(\approx 860\), \(1000\) см\(^3\) при \(a = 5{,}5\); \(6\); \(6{,}5\); \(7\); \(7{,}5\); \(8\); \(8{,}5\); \(9\); \(9{,}5\); \(10\) см соответственно.

Решение

Таблица: при \(a\) от \(5{,}5\) до \(10\) см объём куба \(V_{\text{к}} = a^3\) равен указанным в ответе значениям.

При построении графика следует правильно выбрать масштабы по вертикальной и горизонтальной осям.

Определяем объём шарика с помощью шприца и воды. Умножаем этот объём на \(1{,}91\). По графику определяем, какому значению длины ребра кубика равен диаметр соответствующего шарика.