Максвелл, 2015/16, заключительный этап, 7 класс

Подсказка

Как связаны жёсткость резинки и её длина? Что меняется с жёсткостью, если кольцо разрезать?

Ответ

3) линейный участок — примерно до \(F \approx 2{,}5\) Н;  4) \(k_0 = 118 \pm 18\) Н/м;  5) \(k_1 = 13\) Н/м.

Решение

Параметры установки, использованной в авторском решении, могут отличаться от параметров установки, выданной участнику олимпиады.

Закрепим карандаш на столе с помощью полосок скотча так, чтобы он выступал за край стола на 10–20 мм. На выступающий конец карандаша, используя скрепку №1, повесим резиновое кольцо. К нижнему краю резинового кольца через скрепку №2 с помощью нити подвесим пустую пластиковую бутылку. Из скрепки №3 сделаем указатель в виде горизонтальной стрелки и закрепим его на скрепке №2. К торцу стола с помощью скотча прикрепим линейку в вертикальном положении так, чтобы стрелка указателя могла свободно перемещаться вдоль шкалы линейки.

Добавляем в бутылку воду с помощью шприца порциями по \(20\) мл и после каждого добавления измеряем удлинение \(x\) резинового кольца. Погрешность измерения удлинения \(x\) равна цене деления линейки: \(1\) мм. Запишем в таблицу не менее 11 точек измерений: удлинение резинки \(x\), массу воды в бутылке \(m\), а также силу растяжения резинки \(F = (m + m_б)g\).

Строим график зависимости \(x(F)\) с учётом погрешности.

Из графика видно, что отклонение от линейности начинается при силе растяжения \(F\) порядка \(2{,}5\) Н. По отношению \(\Delta F/\Delta x\) на линейном участке графика определяем коэффициент жёсткости \(k_0\) резинового кольца. В приведённом примере он оказывается равным \(k_0 = 118 \pm 18\) Н/м.

Измеряем длину полуокружности \(L_0\) резинового кольца, вытянув без усилия кольцо в прямую линию. Получаем \(L_0 = 9\) см. Коэффициент жёсткости одинарной резинки длиной \(L_0\) равен \(k_0/2 = 59\) Н/м.

Известно, что коэффициент жёсткости пружины или резинки обратно пропорционален её длине. Следовательно, искомое значение \(k_1\) при длине одинарной резинки \(L_1\) определим по формуле \[k_1 = \frac{k_0 L_0}{2 L_1}.\] Численное значение \(k_1 = 13\) Н/м.

Подсказка

Площадь листа найдите по клеткам. Массу листа можно найти, сравнив два положения равновесия рычага из этого листа: без воды в шприце и с водой.

Ответ

\(\sigma = 59\) г/м\(^2\);  \(m_ш = 4{,}0\) г.

Решение

Параметры установки, использованной в авторском решении, могут отличаться от параметров установки, выданной участнику олимпиады.

По клеткам определяем площадь миллиметровой бумаги \(S = 580\) см\(^2\), после чего, свернув лист в плотную трубку круглого или треугольного сечения (зафиксировав по краям небольшими кусочками скотча), делаем из миллиметровой бумаги рычаг.

Определяем и отмечаем центр тяжести рычага, подвесив его на нити к карандашу, закреплённому скотчем на краю стола в качестве штатива. Подвешиваем к одному концу рычага пустой шприц, смещая положение точки подвеса, добиваемся равновесия системы. Измеряем расстояния от точки подвеса рычага до точки подвеса шприца \(l_1 = 6{,}4\) см и до центра тяжести рычага \(l_3 = 7{,}6\) см. После чего набираем в шприц 5 мл (\(m = 5\) г) воды и повторяем измерения расстояний от точки подвеса рычага до точки подвеса заполненного шприца \(l_2 = 3{,}8\) см и до центра тяжести \(l_4 = 10{,}1\) см. Дважды применяя правило моментов относительно точки подвеса рычага, получаем систему уравнений: \[m_л g l_3 = m_ш g l_1, \qquad m_л g l_4 = (m + m_ш) g l_2,\] где \(m_л\) — масса листа, \(m_ш\) — масса шприца, \(m\) — масса воды.

Решая систему относительно массы листа, получаем: \[m_л = m\left(\frac{l_4}{l_2} - \frac{l_3}{l_1}\right)^{-1} = 3{,}4~\text{г} \quad\text{и}\quad \sigma = 59~\text{г/м}^2.\] По найденной массе листа определяем массу шприца: \(m_ш = m_л l_3 / l_1 = 4{,}0\) г.

Подсказка

Удобно рассмотреть движение катера относительно велосипедиста. Что при этом происходит с расстоянием до пешехода и с водой в реке?

Ответ

\(u = 3\) км/ч.

Решение

Пусть скорость катера \(v\), скорость пешехода \(v_1\), велосипедиста \(v_2\), а течения реки \(u\). Тогда с точки зрения велосипедиста скорость катера в любой момент времени равна \[v_{\text{кв}} = \frac{v_1 + v_2}{2} + u - v_2 = \frac{v_1 - v_2}{2} + u.\] За небольшое время \(\Delta t\) катер сместится относительно велосипедиста на расстояние \(v_{\text{кв}}\,\Delta t = \dfrac{v_1 - v_2}{2}\,\Delta t + u\,\Delta t\). Первое слагаемое справа — это половина расстояния, на которое пешеход отстаёт от велосипедиста, взятое со знаком минус, а второе — смещение воды в реке за время \(\Delta t\). Если просуммировать все эти небольшие смещения, то получится: \[0 = -\frac{S}{2} + ut, \qquad \text{откуда} \qquad u = \frac{S}{2t} = 3~\text{км/ч}.\]

Подсказка

Массы стержней пропорциональны их плотностям и длинам. Запишите правило моментов для системы двух стержней относительно оси \(O_1\).

Ответ

1) \(\rho = 2{,}7\) г/см\(^3\);  2) алюминий;  3) \(F = 6{,}3\) Н.

Решение

Массы верхнего и нижнего стержней: \[m_в = (l + L)S\rho_{ст}, \qquad m_н = (l + L)S\rho.\] Рассмотрим систему стержней как целое. Применим правило моментов, приняв в качестве полюса точку \(O_1\) (или \(O_2\)): \[m_в g\left(L - \frac{L + l}{2}\right) = m_н g\,\frac{L + l}{2}.\] Решая систему уравнений, получим \[\rho = \rho_{ст}\,\frac{L - l}{L + l} = 2{,}7~\text{г/см}^3,\] то есть нижний стержень изготовлен из алюминия.

Ещё раз воспользуемся правилом моментов для нижнего стержня, удерживаемого в равновесии нитью \(AB\) (относительно полюса \(O_2\)): \[m_н g\,\frac{L + l}{2} = T l, \qquad \text{откуда} \qquad T = \frac{m_н g\,(L + l)}{2l} \approx 6{,}3~\text{Н}.\]

Подсказка

Какой объём воды вытеснила высыпанная порция шариков? Как связаны уровни воды и шариков в банке с объёмом всех шариков?

Ответ

\(\rho = 9000\) кг/м\(^3\).

Решение

Обозначим объём всех шариков в банке \(V_{\text{шар}}\), тогда объём вытесненной из сосуда воды равен \(V_{\text{шар}}/5\). Так как уровень вылившейся в банку воды сравнялся с уровнем оставшихся шариков, получаем \[\frac{1}{5}V_{\text{шар}} + \frac{4}{5}V_{\text{шар}} = \frac{4}{5}V_0, \qquad \text{откуда} \qquad V_{\text{шар}} = \frac{4}{5}V_0 = 800~\text{мл}.\] Изменение показаний весов: \[\Delta m = \frac{1}{5}V_{\text{шар}}(\rho - \rho_0),\] окончательно \[\rho = \frac{25\,\Delta m}{4V_0} + \rho_0 = 9000~\text{кг/м}^3.\]

Подсказка

Выразите длину колонны из \(N\) машин, проходящих мимо наблюдателя за время \(t\), через дистанцию \(s\), длину \(L\) и скорость колонны \(v\).

Ответ

\(s = \dfrac{v}{n} - L\); график \(s(v)\) по таблице — в решении.

Решение

Длина колонны из \(N\) машин, проходящих за время \(t\) мимо неподвижного наблюдателя на трассе, равна \((s + L)N\). Скорость этой колонны равна \[v = \frac{s + L}{t}\,N.\] Отношение \(n = N/t\) — заданная в условии интенсивность транспортного потока. Окончательно получаем: \[s = \frac{v}{n} - L.\] По приведённой в условии зависимости можно составить таблицу интенсивности транспортного потока от скорости, которую с помощью полученной формулы следует пересчитать в дистанцию между машинами:

По данным таблицы строим график зависимости \(s(v)\):