Максвелл, 2015/16, заключительный этап, 8 класс

Подсказка

Линейку известной массы и стальной брусок можно использовать как рычаг: правило моментов даст силу, растягивающую резинку. Как связаны жёсткость резинки и её длина?

Ответ

3) линейный участок — примерно до \(F \approx 2{,}5\) Н;  4) \(k_0 = 50\) Н/м;  5) \(k_1 \approx 5{,}6\) Н/м.

Решение

Параметры установки, использованной в авторском решении, могут отличаться от параметров установки, выданной участнику олимпиады.

Определим положение центра масс линейки, используя в качестве оси вращения вторую линейку. Определим массу \(m_б\) стального бруска. Используя ребро второй линейки в качестве оси вращения, добьёмся равновесия. Измерив расстояния от центра масс бруска и от центра масс линейки до оси вращения в положении равновесия, рассчитаем массу бруска по правилу моментов: \(m_б = 66 \pm 3\) г (относительная погрешность около 5%).

Измерения проводим с помощью конструкции, изображённой на рисунке. Растягиваем резинку с помощью второй линейки, прикладывая к ней силу \(F\). Фиксируем момент отрыва первой линейки с грузом от стола и измеряем расстояние \(y\) от края линейки до края стола. По правилу моментов: \[m_б(y - y_1)g + m_л(y - y_2)g = F(y_3 - y),\] где \(y_1 = 20\) мм — положение центра масс бруска, \(y_2 = 206\) мм — центра масс линейки, \(y_3 = 410\) мм — длина линейки. По этому уравнению определяем растягивающую силу \(F\), соответствующую моменту отрыва линейки от стола.

Измеряем удлинение резинки \(x\) с помощью второй линейки. Оформляем таблицу измерений (не менее 11 точек) и строим график зависимости \(x(F)\).

Из графика видно, что отклонение от линейности начинается при силе растяжения \(F\) около \(2{,}5\) Н. По отношению \(\Delta F/\Delta x\) на линейном участке графика определяем коэффициент жёсткости \(k_0\) резинового кольца. В приведённом примере он оказывается равным \(k_0 = 50\) Н/м.

Измеряем длину полуокружности \(L_0\) резинового кольца, вытянув без усилия кольцо в прямую линию. Получаем \(L_0 = 9\) см. Коэффициент жёсткости одинарной резинки длиной \(L_0\) равен \(k_0/2 = 25\) Н/м.

Известно, что коэффициент жёсткости пружины или резинки обратно пропорционален её длине. Следовательно, искомое значение \(k_1\) при длине одинарной резинки \(L_1\) определим по формуле \[k_1 = \frac{k_0 L_0}{2 L_1}.\] Численное значение \(k_1 = 5{,}6\) Н/м.

Оценка погрешности: итоговая погрешность определения коэффициента жёсткости резинового кольца примерно 10%.

Подсказка

Сравните сопротивления между парами выводов при нажатой и ненажатой кнопке: какие пары сопротивлений меняются, а какие нет?

Ответ

1) схема — треугольник из \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\), кнопка включена последовательно с \(R_3\) (рис. 8 решения);  2) \(R_1 = 2\) кОм, \(R_2 = 3\) кОм (погрешность 2%), \(R_3 = 1\) кОм (погрешность около 6%);  3) разомкнутое состояние — нажатое положение кнопки;  4) \(9\) В при нажатой кнопке, \(2{,}25\) В при ненажатой.

Решение

Параметры установки, использованной в авторском решении, могут отличаться от параметров установки, выданной участнику олимпиады.

С помощью мультиметра, используемого в режиме омметра, определяем сопротивления между выводами для двух положений кнопки и составляем таблицу результатов измерений (в кОм).

Нетрудно заметить, что для ненажатого положения кнопки значения сопротивлений меньше, значит, в этом положении кнопка замкнута. Причём сопротивление между выводами изменяется для всех трёх пар. Следовательно, резисторы соединены треугольником. Так как коротких замыканий нет, кнопка соединена последовательно с одним из резисторов. Таким образом, предварительно схема футляра может быть представлена в виде, показанном на рис. 7 (слева).

В случае разомкнутой кнопки (кнопка нажата) максимальное сопротивление должно быть между узлами, к которым подсоединён резистор с кнопкой. Это реализуется для узлов \(A\) и \(C\). Из этого делаем вывод, что кнопка расположена между ними. Тогда сопротивление, измеренное между узлами \(A\) и \(B\), соответствует сопротивлению резистора \(R_1 = 2\) кОм, а сопротивление между узлами \(B\) и \(C\) — сопротивлению резистора \(R_2 = 3\) кОм. Это согласуется с измеренным сопротивлением между узлами \(A\) и \(C\): \(R_{AC} = R_1 + R_2 = 5\) кОм.

Сопротивление \(R_3\) можно рассчитать, например, с помощью значения сопротивления, измеренного между узлами \(A\) и \(C\) при замкнутой кнопке: \[\frac{1}{R_{AC}} = \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_1 + R_2},\] откуда \(R_3 = 1\) кОм.

Рассчитывая сопротивление схемы между оставшимися парами узлов для замкнутой кнопки и сравнивая их с результатами эксперимента, убеждаемся в правильности наших предположений. Окончательная схема футляра представлена на рис. 8 (справа).

Погрешность сопротивлений резисторов определяется приборной погрешностью омметра, которая по условию составляет 2%, следовательно, сопротивления резисторов \(R_1\) и \(R_2\) измерены с точностью 2%. Значение сопротивления резистора \(R_3\) не измеряется непосредственно, а рассчитывается, поэтому по формуле переноса ошибок составляет примерно 6%.

При подключении батарейки к выводам \(A\) и \(B\) вольтметр, подключённый к выводам \(A\) и \(C\), покажет \(U = 9\) В при нажатой кнопке и \(U/4 = 2{,}25\) В при ненажатой кнопке.

Подсказка

Запишите путь катера на участке от \(A\) до \(B\) и на участке от \(B\) до встречи. Какую сумму путей велосипедиста при этом удобно рассмотреть?

Ответ

\(t_1 - t_2 = 24\) мин.

Решение

Доплыв до пункта \(B\), катер преодолел путь \[L = S_1 + u t_1,\] где \(S_1\) — путь, пройденный велосипедистом за это же время \(t_1\). После этого, до встречи с велосипедистом, катер преодолел путь \[l = S_2 - u t_2,\] где \(S_2\) — путь, пройденный велосипедистом за время \(t_2\) до встречи с катером. Сложив полученные выражения, получаем \[l + L = S_1 + S_2 + u(t_1 - t_2).\] Заметим, что \(S_1 + S_2\) — полный путь, проделанный велосипедистом, причём \(S_1 + S_2 = L - l\). То есть \(l + L = L - l + u(t_1 - t_2)\), откуда \[t_1 - t_2 = \frac{2l}{u} = \frac{2(L - S)}{u} = 24~\text{мин}.\]

Подсказка

Средняя плотность равна суммарной массе, делённой на суммарный объём. Что можно сказать о массе первой порции по начальному участку графика?

Ответ

\(m_1 = 12\) кг,  \(m_2 = 14\) кг,  \(m_3 = 13\) кг;  \(V_0 = 13{,}3\) дм\(^3\).

Решение

Масса первой порции может быть найдена как произведение средней плотности на объём первой порции: \[m_1 = V_1\rho_{\text{ср1}} = 10\cdot10^{-3}\cdot1200 = 12~\text{кг}.\] Масса второй порции равна разности массы содержимого при объёме \(20\) дм\(^3\) и массы первой порции: \[m_2 = V_2\rho_{\text{ср2}} - m_1 = 20\cdot10^{-3}\cdot1300 - 12 = 14~\text{кг}.\] Масса третьей порции равна разности конечной массы всего содержимого бака и масс первой и второй порции: \[m_3 = V_3\rho_{\text{ср3}} - m_1 - m_2 = 30\cdot10^{-3}\cdot1300 - 12 - 14 = 13~\text{кг}.\]

Заметим, что плотность первой порции \(\rho_1 = 1200\) кг/м\(^3\), а второй порции \(\rho_2 = 1400\) кг/м\(^3\). Среднюю плотность содержимого \(\rho_0\) можно представить как \[\rho_0 = \frac{m_1 + V\rho_2}{V_1 + V},\] где \(V\) — объём добавленного сиропа, имеющего плотность \(\rho_2\). Откуда \[V = \frac{\rho_0 V_1 - m_1}{\rho_2 - \rho_0} = 3{,}3~\text{дм}^3,\] и окончательно \(V_0 = 13{,}3\) дм\(^3\).

Подсказка

Рассмотрите систему «Архимед с ванной» как единое целое: сколько верёвок тянут её вверх и какая сила тяжести действует на неё вниз?

Ответ

\(T = 700\) Н;  минимальная доля объёма над водой \(\dfrac{\Delta V}{V} = \dfrac{7}{9}\).

Решение

На систему как на единое целое вверх действуют три силы натяжения верёвки, а вниз — суммарная сила тяжести: \[3T = (M + m)g,\] откуда «сила Архимеда» \[T = \frac{M + m}{3}\,g = 700~\text{Н}.\]

На самого Архимеда действует вверх сила реакции опоры \(N\), выталкивающая сила со стороны воды \(F\) и сила натяжения верёвки \(T\); вниз — сила тяжести, то есть \[F + N + T = mg.\] Причём силы \(mg\) и \(T\) однозначно определены, а для \(F\) и \(N\) определена лишь их сумма. Минимальному объёму Архимеда над водой соответствует максимальный объём погружённой части и максимальная выталкивающая сила, что реализуется в случае, когда \(N = 0\). Окончательно \[F = mg - T = \frac{2m - M}{3}\,g,\] откуда \[\frac{\Delta V}{V} = 1 - \frac{F}{mg} = \frac{M + m}{3m} = \frac{7}{9}.\]

Подсказка

Запишите уравнение теплового баланса для воды и спирта. Какой объём спирта соответствует подъёму столбика на \(h\) при неизменной площади сечения трубки?

Ответ

\(t_{\text{в}} = 41\) °C.

Решение

В результате теплообмена между водой и спиртом их температуры выравниваются. Запишем уравнение теплового баланса для этого процесса: \[c_{\text{в}}\rho_{\text{в}}V_{\text{в}}(t_1 - t_{\text{в}}) + c_{\text{с}}m_{\text{с}}(t_1 - t_0) = 0,\] где \(t_{\text{в}}\) — искомая температура воды до погружения термометра, \(m_{\text{с}}\) — масса спирта.

Массу спирта определим через его плотность и объём при температуре \(t_0\): \[m_{\text{с}} = \rho_{\text{с}}V_0,\] где \(V_0\) — объём спирта при температуре \(t_0\).

Согласно условию задачи, при увеличении температуры до \(t_1\) изменение объёма спирта \[\Delta V = V_0\beta(t_1 - t_0).\] С другой стороны, пренебрегая тепловым расширением колбы, приращение объёма спирта можно выразить через изменение его уровня в трубке: \[\Delta V = Sh.\] Решая данную систему уравнений, получим выражение для температуры воды до погружения в неё термометра: \[t_{\text{в}} = t_1 + \frac{c_{\text{с}}\rho_{\text{с}}Sh}{c_{\text{в}}\rho_{\text{в}}V_{\text{в}}\beta} = 40~^\circ\text{C} + 1~^\circ\text{C} = 41~^\circ\text{C}.\]