зад 1 Шпилька и гайки (экспериментальный тур)
Шпилькой в технике называют стержень, по всей длине которого нарезана резьба (рис. 1). Предложите и опишите, как измерить без использования линейки:
шаг \(h\) резьбы шпильки (шагом резьбы называется расстояние между её соседними витками);
среднюю толщину \(H\) одной гайки (рис. 2);
площадь \(S\) поперечного сечения шестигранного прутка, из которого изготавливаются гайки (рис. 3);
внешний диаметр \(D\) резьбы шпильки;
массу \(m\) гайки, считая, что диаметр отверстия в ней \(d = 0{,}95D\).
Проведите измерения и определите параметры \(h\), \(H\), \(S\), \(D\), \(m\). Полученные результаты занесите в таблицу (указав единицы измерения): \(h =\); \(H =\); \(S =\); \(D =\); \(m =\).
Оборудование: шпилька длиной \(L = 300\) мм, гайки (40 шт.), две скрепки, три нитки, лист бумаги.
Примечания. 1. Плотность стали \(\rho = 7\,800\) кг/м\(^3\). 2. Площадь круга диаметром \(D\) равна \(S = \pi D^2/4\), длина окружности \(L = \pi D\), где число \(\pi = 3{,}14\). 3. В работе можно использовать любое количество гаек, ниток и скрепок в зависимости от выбранного метода решения каждого пункта задания.
▶ПодсказкаСкрыть
Число витков на шпильке удобно считать скрепкой, которую проводят вдоль резьбы. Толщину гайки и диаметр резьбы удобно найти методом рядов или прокаткой шпильки по бумаге. Массу гайки найдите через её объём: из объёма заготовки вычтите объём отверстия с резьбой.
▶ОтветСкрыть
Авторские результаты: \(h = 1\) мм; \(H = 4{,}74\) мм; \(S = 81\) мм\(^2\); \(D = 5{,}76\) мм; \(m = 2{,}08\) г (расчёт; непосредственное измерение дало \(2{,}05\) г).
▶РешениеСкрыть
1. Число витков \(N\) на шпильке длиной \(L\) считают скрепкой, скользящей по резьбе (допустимая ошибка \(\pm 2\) витка). Шаг резьбы \(h = L/N = 300/300 = 1\) мм (по ГОСТу шаг резьбы М6 равен 1 мм).
2. Среднюю толщину \(H\) гаек определяют методом рядов: выстраивают цепочку из гаек (\(N > 10\)), поставленных на одну из боковых граней, или навинчивают их на шпильку. Авторский результат \(H = 4{,}74\) мм.
3. Для площади шестигранника выкладывают 36 гаек плотной упаковкой, 6 рядов по 6 штук, на листе А5 и измеряют стороны получившегося прямоугольника. Выступы фигуры с одной стороны компенсируются углублениями с противоположной стороны. Получаем \(S = 81\) мм\(^2\).
4. Внешний диаметр резьбы определяют, прокатывая шпильку по поверхности бумаги не менее чем на \(k = 10\) оборотов и измеряя пройденное расстояние \(l\): \(D = l/(\pi k) = 5{,}76\) мм.
5. Диаметр высверленного отверстия \(d = 0{,}95D = 5{,}47\) мм. Считаем, что из гайки вынут цилиндр с диаметром \(D_1 = (d + D)/2 = 5{,}615\) мм. Объём заготовки \(V_0 = SH = 384\) мм\(^3\), объём вынутого цилиндра \(V_1 = H\pi D_1^2/4 = 117\) мм\(^3\), объём гайки \(V = V_0 - V_1 = 267\) мм\(^3\). Масса гайки \(m = \rho V = 2{,}08\) г. Непосредственное измерение дало \(m_{\text{ср}} = 2{,}05\) г. Отличие может быть связано с фасками на краях гайки, которые в расчёте не учтены.
зад 2 Сколько рублей весит конфета (экспериментальный тур)
Экспериментатор Глюк исследовал падение с фиксированной высоты (около 2-х метров) различных грузов, привязанных к системе из трех воздушных шариков (рис. 1). Анализируя результаты эксперимента, он обнаружил любопытный характер зависимости квадрата времени падения от величины, обратной массе всей падающей системы.
Соберите установку Глюка. В качестве грузов можете использовать выданные монеты, помещенные в мешочек, привязанный к шарикам.
Снимите зависимость времени падения системы от её массы. Результаты занесите в таблицу (\(m\), \(1/m\), \(t_1\), \(t_2\), \(t_3\), \(t_{\text{ср}}\), \(t^2_{\text{ср}}\)). Каждое измерение повторите не менее трёх раз и усредните. При этом имейте в виду, что масса шарика \(m \approx 2{,}4\) г, а масса одной монеты \(\approx 3{,}3\) г. Для увеличения точности исследований постарайтесь отпускать систему с как можно большей (но одинаковой) высоты (например, с высоты своего роста, стоя на стуле).
Постройте график полученной зависимости в осях, предложенных Глюком.
Проведя дополнительное измерение с помощью построенного графика определите массу выданной конфеты. После завершения всех измерений, конфету нужно съесть!
Примечание: не следует надувать шарики слишком сильно, так как если даже один из шариков лопнет в ходе эксперимента, то все измерения придется начинать сначала.
Приборы и оборудование: секундомер, 5 воздушных шариков (из них 2 запасных), конфета, полиэтиленовый мешочек (гриппер 6 х 8 см), комплект монет (10 шт. номиналом 1 рубль), нитки, миллиметровая бумага (формат А5) для построения графика.
▶ПодсказкаСкрыть
Время падения удобно измерять по моменту касания пола грузом, отпуская систему каждый раз с одной и той же высоты. Линейный график в осях Глюка даёт массу конфеты по времени её падения.
▶ОтветСкрыть
По критериям оценивания масса конфеты лежит в пределах \(13{,}5\)–\(16{,}5\) г.
▶РешениеСкрыть
Собираем предложенную конструкцию и измеряем время падения с максимально возможной одинаковой высоты, например, отпуская систему с вытянутой руки, стоя на стуле. Время падения фиксируем по моменту касания пола грузом. Результаты заносим в таблицу и строим график экспериментальной зависимости в предложенных Глюком координатах. Экспериментальные точки хорошо ложатся на прямую линию. Это позволяет для системы с конфетой по времени падения определить её массу.
зад 3 Ахиллес и черепахи (теоретический тур)
Вдоль длинной дороги с постоянной скоростью на равных расстояниях друг от друга колонной ползут черепахи. Мимо стоящего Ахиллеса в минуту проползает \(n_1 = 5\) черепах. Если Ахиллес побежит трусцой в сторону движения колонны, то он будет обгонять в минуту \(n_2 = 45\) черепах, а если он поедет на велосипеде навстречу колонне, то в минуту ему будет встречаться \(n_3 = 105\) черепах. Какое расстояние \(L\) успеет проползти черепаха за то время, за которое Ахиллес трусцой пробежит \(S = 100\) м? Во сколько раз скорость Ахиллеса на велосипеде больше, чем при беге?
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите время, за которое мимо Ахиллеса проходит одна черепаха, в трёх случаях: колонна проходит мимо неподвижного Ахиллеса, Ахиллес бежит в её сторону, Ахиллес едет навстречу. Расстояние между черепахами одно и то же во всех трёх случаях.
▶ОтветСкрыть
\(k = 2\); \(L = 10\) м.
▶РешениеСкрыть
Пусть расстояние между черепахами \(l\), скорость черепах \(v\), скорость Ахиллеса бегом \(u_1\), на велосипеде \(u_2\). При движении колонны мимо неподвижного Ахиллеса \(l/v = t_1 = 1/n_1\) мин; при беге \(l/(u_1 - v) = t_2 = 1/n_2\) мин; при езде на велосипеде \(l/(u_2 + v) = t_3 = 1/n_3\) мин. Откуда \(k = u_2/u_1 = (n_3 - n_1)/(n_2 + n_1) = 2\), а \(L = S\,n_1/(n_1 + n_2) = 10\) м.
Если отсчитывать черепах иначе (от первой встретившейся до последней, проползшей мимо спустя минуту, то есть между первой и пятой проходят четыре черепахи), уравнения принимают вид \(l/v = 1/(n_1 - 1)\), \(l/(u_1 - v) = 1/(n_2 - 1)\), \(l/(u_2 + v) = 1/(n_3 - 1)\) мин. Тогда \(k \approx 1{,}92\) и \(L \approx 8{,}33\) м. В общем случае \(\frac{25}{13} \le k \le 2\) и \(\frac{25}{3} \le L \le 10\) м.
зад 4 Из Парижа в Версаль (теоретический тур)
Во время Великой французской революции декретом конвента было введено «Десятичное время». Сутки от полуночи до полуночи делились на 10 десятичных часов, час на 100 десятичных минут, а минута на 100 десятичных секунд. Таким образом, полночь приходилась на 0:00:00, полдень — на 5:00:00 и т. п.
Однажды курьер отправился из Парижа в Версаль, между которыми расстояние \(5{,}2\) лье, когда его новые десятичные часы показывали \(3\!:\!56\!:\!78\). Доставив важное донесение, он вернулся в Париж в \(6\!:\!79\!:\!40\). Определите среднюю путевую скорость \(\upsilon_{\text{ср}}\) курьера. Ответ выразите в привычных нам км/ч.
Примечание: 1 лье равен 4 км.
▶ПодсказкаСкрыть
Переведите оба момента времени в десятичные секунды от полуночи, найдите длительность поездки и переведите её в обычные часы: в сутках \(100\,000\) десятичных секунд, а 12 обычных часов — это половина суток.
▶ОтветСкрыть
\(\upsilon_{\text{ср}} \approx 5{,}4\) км/ч.
▶РешениеСкрыть
В десятичном времени путешествие длилось \(67940 - 35678 = 32262\) десятичных секунды. По условию \(50000\) десятичных секунд составляют \(12\) ч, следовательно, \(32262\) десятичных секунды — это \(7{,}743\) ч. Расстояние от Парижа до Версаля и обратно равно \(2 \cdot 5{,}2 \cdot 4 = 41{,}6\) км. Откуда \(\upsilon_{\text{ср}} = 41{,}6 / 7{,}743 \approx 5{,}37 \approx 5{,}4\) км/ч.
зад 5 Среднее через среднее (теоретический тур)
На графике (рис. 1) представлена зависимость средней скорости машины от пройденного пути. Определите среднюю скорость машины на участке, где она разгонялась.
▶ПодсказкаСкрыть
Время, за которое пройден путь \(s\), равно \(t = s/\upsilon_{\text{ср}}\), где \(\upsilon_{\text{ср}}\) берётся с графика для этого пути. Найдите моменты времени на границах участка разгона.
▶ОтветСкрыть
\(\upsilon \approx 120\) км/ч.
▶РешениеСкрыть
Из графика следует, что разгон машины происходил на участке между 2-м и 10-м километром. Движение с постоянной или уменьшающейся скоростью привело бы к уменьшению угла наклона графика средней скорости.
Время, за которое пройден путь \(s\), равно \(t = s/\upsilon_{\text{ср}}\). По графику до 2-го километра машина ехала \(t_1 = 2\text{ км}/20\text{ км/ч} = 0{,}1\) ч \(= 6\) мин, а 10-го километра машина достигла через \(t_2 = 10\text{ км}/60\text{ км/ч} = 10\) мин после начала движения. Время разгона равно \(4\) мин \(= 1/15\) ч. Средняя скорость на этапе разгона \(\upsilon = 8\text{ км}/(1/15\text{ ч}) = 120\) км/ч.
зад 6 Поплавок (теоретический тур)
Из листа жести толщиной \(d = 1{,}0\) мм сварили пустой внутри герметичный поплавок в форме куба со стороной \(a = 90\) см и квадратными сквозными отверстиями со стороной \(b = 30\) см (рис. 2). Определите массу и среднюю плотность поплавка. Плотность жести \(\rho = 7\,800\) кг/м\(^3\). Плотностью воздуха внутри поплавка можно пренебречь.
Примечание. При вычислении средней плотности считайте, что объём поплавка равен объёму вытесненной им жидкости при полном погружении тела в эту жидкость.
▶ПодсказкаСкрыть
Посчитайте массу одного жестяного квадрата со стороной \(b\), затем число таких квадратов в стенках куба (с учётом отверстий). Объём найдите как объём куба за вычетом полостей.
▶ОтветСкрыть
\(M = 50{,}544\) кг; \(\rho_{\text{ср}} = 93{,}6\) кг/м\(^3\).
▶РешениеСкрыть
Масса жестяного квадрата со стороной \(b\) равна \(m_b = b^2 d \rho = 0{,}702\) кг. Каждая из 6 сторон куба состоит из 12 таких квадратов (8 снаружи и 4 в отверстиях). Следовательно, масса всего поплавка \(M = 6 \cdot 12\, m_b = 50{,}544\) кг.
Объём поплавка с учётом вырезанных полостей \(V = 27b^3 - 7b^3 = 20b^3 = 0{,}54\) м\(^3\). Средняя плотность \(\rho_{\text{ср}} = M/V = 93{,}6\) кг/м\(^3\).
Другой способ: шесть «внешних» пластин массой \(6m_a = 6(a^2 - b^2)d\rho = 33{,}7\) кг и 24 «внутренних» частей массой \(24m_b = 24b^2 d\rho = 16{,}85\) кг дают \(M = 50{,}544\) кг; объём \(V = a^3 - 7b^3 = 0{,}54\) м\(^3\).
Источник: Олимпиада имени Дж. К. Максвелла, 2016/17, региональный этап, 7 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.