Максвелл, 2016/17, региональный этап, 8 класс

Подсказка

Число витков на шпильке удобно считать скрепкой, прижатой к резьбе. Толщину гайки и площадь шестигранника найдите методом рядов. Отношение масс удобно найти, уравновесив шпильку с гайками на нити и применив правило моментов. Массы гайки и шпильки найдите через их объёмы и плотность стали.

Ответ

\(h = 1\) мм; \(H = 4{,}74\) мм; \(S = 81\) мм\(^2\); \(m_{\text{г1}} = 2{,}09\) г; \(m_{\text{ш1}} = 57\) г; \(\beta \approx 27\) (по критериям оценивания — от 25 до 30). Численное значение \(\alpha\) в решении не приведено.

Решение

1. Число витков на шпильке считают скрепкой, скользящей по резьбе (допустимая ошибка \(\pm 2\) витка). Шаг резьбы \(h = L/N = 300/300 = 1\) мм (по ГОСТу шаг резьбы М6 равен 1 мм). Здесь и далее приводятся численные значения, полученные на авторском оборудовании.

2. Среднюю толщину гаек \(H\) определяют методом рядов: выстраивают цепочку из гаек (\(N > 10\)), поставленных на одну из боковых граней, или навинчивают их непосредственно на шпильку. Авторский результат: \(H = 4{,}74\) мм.

3. Для площади шестигранника выкладывают 36 гаек плотной упаковкой, 6 рядов по 6 штук в каждом, на листе А5 и измеряют стороны получившегося прямоугольника. Выступы фигуры с одной стороны компенсируются углублениями с противоположной стороны. Получаем \(S = 81\) мм\(^2\).

4. Накручивают на один край шпильки 4–6 гаек. С помощью нити уравновешивают получившуюся систему и, применив правило моментов, определяют \(\alpha\).

5. Объём гайки: из заготовки объёмом \(V_0 = SH = 384\) мм\(^3\) вычитают объём вынутого цилиндра с диаметром \(D_1 = (d + D)/2 = 5{,}575\) мм, равный \(V_1 = H\pi D_1^2/4 = 116\) мм\(^3\). Получаем \(V = V_0 - V_1 = 268\) мм\(^3\), масса гайки \(m_{\text{г1}} = \rho V = 2{,}09\) г. Непосредственное измерение дало среднее значение \(m_{\text{ср}} = 2{,}05\) г; отличие может быть связано с фасками на краях гайки, которые в расчёте не учтены. Массу шпильки найдём так же, по её объёму и плотности: \(m_{\text{ш1}} = \rho L S = \rho L \pi D_1^2/4 = 57\) г. Отношение масс \(\beta = m_{\text{ш1}}/m_{\text{г1}} \approx 27\).

Подсказка

Взвешивание шприца, заполненного жидкостью, даёт её массу и, при известном объёме, плотность. Шприц, плавающий вертикально в воде, вытесняет воду массой, равной собственной массе с жидкостью.

Ответ

\(\rho_{\text{ж}} \approx 1170\) кг/м\(^3\); средняя плотность материала шприца \(\rho \approx 920\) кг/м\(^3\).

Решение

Измеряем на весах массу \(m\) пустого шприца. Заполняем его неизвестной жидкостью и вновь измеряем массу. Находим плотность неизвестной жидкости: \(\rho_1 = 1170\) кг/м\(^3\). Отливаем маленькими порциями жидкость обратно в стаканчик, до тех пор, пока шприц не начнёт плавать, полностью погрузившись в воду. Измеряем остаточный объём \(V\) неизвестной жидкости в шприце и рассчитываем среднюю плотность материала шприца: \[\rho = \frac{m\rho_0}{m + V(\rho_1 - \rho_0)} = 920~\text{кг/м}^3.\]

Подсказка

Средняя скорость в любой момент связана с углом наклона прямой из начала координат к точке графика пути. Постройте график пути от времени, отразив участок с уменьшением координаты, и найдите касательные из начала координат.

Ответ

\(\upsilon_{\max} = 50\) м/с.

Решение

Преобразуем исходный график в зависимость пути \(l\) от времени \(t\). Для этого сместим на одну клетку вверх ось времени и зеркально (относительно горизонтальной оси, совпадающей с участком графика \(x = \text{const}\)) отобразим участок, на котором координата уменьшается.

Средняя скорость тела в произвольный момент времени движения однозначно связана с угловым коэффициентом наклона прямой, проведённой из начала координат в соответствующую точку графика. Следовательно, прямые, имеющие наибольший и наименьший угол наклона, проведённые из начала координат и касающиеся полученного графика, определяют максимальную и минимальную среднюю скорость тела.

Пусть цена деления на оси пути \(l_0\), а на оси времени \(\tau\). Тогда \(\bar\upsilon_{\max} = 3l_0/(2\tau)\), \(\bar\upsilon_{\min} = l_0/(2\tau)\).

Тело двигалось быстрее всего на втором участке, так как соответствующий участок графика имеет наибольший угол наклона: \(\upsilon_{\max} = 5l_0/(2\tau)\). По условию \(\bar\upsilon_{\max} - \bar\upsilon_{\min} = l_0/\tau = 20\) м/с, следовательно, \(\upsilon_{\max} = \dfrac{5}{2}\cdot 20 = 50\) м/с.

Ответ

\(\dfrac{M}{3} \le m \le 5M\).

Решение

Обозначим через \(l\) длину одного фрагмента стержня. Если масса груза слишком большая, то стержень начнёт поворачиваться вокруг точки крепления к левой нити. Правило моментов относительно этой точки: \[\frac{m_A g}{2}\, l = Mg \cdot 2{,}5\,l, \qquad \text{откуда} \quad m_A = 5M.\] Если масса груза слишком мала, то стержень начнёт поворачиваться вокруг точки крепления к правой нити. Правило моментов относительно этой точки: \[\frac{m_B g}{2}\cdot 3l = Mg \cdot 0{,}5\,l, \qquad \text{откуда} \quad m_B = \frac{M}{3}.\] Таким образом, система будет находиться в равновесии при условии \[\frac{M}{3} \le m \le 5M.\]

Подсказка

Запишите правило моментов для сосуда относительно каждой опоры, силу давления воды на дно выразите через массу воды и объём шарика, а условие равновесия шарика запишите отдельно.

Ответ

\(|N_1 - N_2| = (\rho_0 - \rho)Vg = 70\) мН.

Решение

Расставим силы, действующие на сосуд: \(F\) — сила давления на дно со стороны воды, \(T\) — сила натяжения нити, \(N_1\) и \(N_2\) — силы реакций опор. Правило моментов относительно точки \(A\) (под левой опорой): \((N_2 + T)\,2l = Fl\). Относительно точки \(B\) (под правой опорой): \(N_1\,2l = Fl\).

Сила давления \(F = \rho_0 g H S = \rho_0 g\left(\dfrac{m}{\rho_0} + V\right)\), где \(H\) — уровень воды в сосуде, \(S\) — площадь поперечного сечения сосуда, \(m\) — масса воды в сосуде.

Условие равновесия для шарика: \(T + \rho V g = \rho_0 V g\). (*)

Решая систему, получаем \[N_1 = \frac{mg + \rho_0 V g}{2}, \qquad N_2 = \frac{gV(2\rho - \rho_0) + mg}{2}.\] Отсюда \(N_1 - N_2 = (\rho_0 - \rho)Vg = 70\) мН.

Возможное решение (2): если взять в качестве полюса точку приложения силы \(F\), то уравнения упрощаются: \(N_1 l = (N_2 + T) l\), откуда \(N_1 - N_2 = T\); с учётом уравнения (*) получаем тот же результат.

Подсказка

Сколько энергии лампы идёт на плавление снега, если снег поглощает только долю света, не отражённую им, и попадает на «шапку» только шестая часть энергии лампы? Масса растаявшего снега даёт объём воды, остальной объём «шапки» занят воздухом.

Ответ

\(\varepsilon = 0{,}95\).

Решение

Шестая часть энергии лампы попадает на снег «шапки». Десятая часть энергии, попавшей на снег, поглощается и идёт на плавление снега: \[Q = \frac{1 - \alpha}{6}\,P\tau = m\lambda.\] Отсюда масса расплавившегося льда (снега) в «шапке» \[m = \frac{(1 - \alpha)P\tau}{6\lambda} = \frac{0{,}1 \cdot 100~\text{Вт} \cdot 36\,000~\text{с}}{6 \cdot 335\,000~\text{Дж/кг}} = 0{,}18~\text{кг}.\] Тогда объём воздуха в расплавившейся части «шапки» \[V_0 = \frac{a^2 h}{2} - \frac{m}{\rho} = \frac{a^2 h}{2} - \frac{(1 - \alpha)P\tau}{6\lambda\rho} = (4 - 0{,}2)\cdot 10^{-3}~\text{м}^3.\] Пористость по определению \[\varepsilon = \frac{V_0}{a^2 h/2} = 1 - \frac{0{,}2}{4} = 0{,}95.\]