Максвелл, 2016/17, заключительный этап, 7 класс

Подсказка

Магнит, зафиксированный у шарика, дважды входит в правило моментов относительно опоры на столе. Вычтите уравнения для систем с магнитом и без него: получится линейная зависимость \(m(x)\), по наклону которой находится масса шарика.

Ответ

1) \(m_\text{м} = 13{,}17 \pm 0{,}03\) г;  4) \(m_\text{ш} = 32{,}3 \pm 0{,}5\) г, \(m_\text{т} = 59{,}9 \pm 0{,}5\) г.

Решение

Поскольку магнит вблизи весов искажает их показания, невозможно определить его массу прямым взвешиванием. Положив трубку на весы, обнулим их показания кнопкой «TARE». Прикрепим магнит к концу трубки со стальным шариком и определим его массу: \(m_\text{м} = 13{,}17 \pm 0{,}03\) г.

Установим трубку на клипсы-опоры. Измерим расстояние между ними: \(L = 50{,}0 \pm 0{,}1\) см. С помощью магнита будем фиксировать положение шарика внутри трубки и снимать показания весов для системы с магнитом \(m_1(x)\) (табл. 1).

Запишем правило моментов относительно опоры, находящейся на столе, для систем с магнитом и без: \[m_1(x)\,gL = (m_\text{ш} + m_\text{м})\,g(L - x) + m_\text{т}\,gL/2, \qquad m(x)\,gL = m_\text{ш}\,g(L - x) + m_\text{т}\,gL/2.\] Вычитая из первого уравнения второе, получим искомую зависимость: \[m(x) = m_1(x) - m_\text{м}\,\dfrac{L - x}{L}.\] Показания весов \(m\) и \(m_1\) отличаются на известную величину, что позволяет пересчитать значения в таблице 1.

Теоретическая зависимость, полученная из второго уравнения, имеет вид: \[m(x) = -\dfrac{m_\text{ш}}{L}\,x + \left(m_\text{ш} + \dfrac{m_\text{т}}{2}\right).\] Построив график \(m(x)\), определим массу шарика по угловому коэффициенту наклона \(k\): \(m_\text{ш} = -kL = 32{,}3 \pm 0{,}5\) г.

Масса трубки с шариком составляет \(m_\text{т} + m_\text{ш} = 82{,}18 \pm 0{,}03\) г, откуда масса трубки: \(m_\text{т} = 59{,}9 \pm 0{,}5\) г.

Подсказка

Линейку с карандашом можно использовать как рычаг: правило моментов даёт массы стаканов и линейки. Объём полостей в песке равен объёму воды, которую нужно долить до уровня песка.

Ответ

1) \(m_\text{л} \approx 15\) г, \(m_\text{ст} \approx 2\) г;  2) \(\beta = 0{,}38 \pm 0{,}03\);  3) \(\rho = 2{,}55 \pm 0{,}15\) г/см\(^3\).

Решение

Будем использовать карандаш в качестве опоры для рычага из линейки.

1. Оценим массу линейки. Зафиксируем длины плеч линейки примерно в отношении \(1 : 3\), расположим стаканы на равных расстояниях (\(l_\text{ст} = 8\) см) от опоры (стаканы будут уравновешивать друг друга). В стакан на краю линейки будем доливать воду до тех пор, пока система не придёт в равновесие. Объём налитой воды \(V_\text{в} = 19\) мл. Из правила моментов получим: \(\rho_0 V_\text{в}\,l_\text{ст} = m_\text{л}\,l_\text{цм}\), где \(l_\text{цм} = 10{,}2\) см — расстояние от центра масс линейки до карандаша; получим массу линейки \(m_\text{л} \approx 15\) г.

2. Для оценки массы стакана расположим пустой стакан на краю линейки. Сдвигая линейку относительно опоры, найдём положение равновесия (при длинах плеч \(l_1 = 18{,}8\) см и \(l_2 = 22{,}2\) см). Центр стакана находится на расстоянии \(l = 16\) см от точки опоры. Записав правило моментов: \[m_\text{л}\,\dfrac{l_1}{L}\cdot\dfrac{l_1}{2} + m_\text{ст}\,l = m_\text{л}\,\dfrac{l_2}{L}\cdot\dfrac{l_2}{2},\] найдём \(m_\text{ст} \approx 2\) г.

3. Насыпем песок в пустой стакан до определённой риски. С помощью шприца нальём в другой стакан такой же объём воды \(V\). Дольём в стакан с песком воду до выравнивания её уровня с уровнем поверхности песка. Определим объём полостей в песке \(V_\text{п}\) и рассчитаем коэффициент пустотности: \[\beta = \dfrac{V_\text{п}}{V} = 0{,}38 \pm 0{,}03.\]

4. Для определения плотности песка используем сухой песок известного объёма \(V\). Уравновесим на концах линейки два стакана — один с песком, другой с необходимым для равновесия объёмом воды \(V_0\). Масса воды будет равна массе песка, откуда искомая плотность: \[\rho = \dfrac{m}{V - V_\text{п}} = \dfrac{\rho_0 V_0}{V(1 - \beta)} = 2{,}55 \pm 0{,}15~\text{г/см}^3.\]

Подсказка

Протон проходит кольцо за период \(T = L/c\). Выразите длины участков кольца в Швейцарии и во Франции через \(c\) и заданные времена, пользуясь тем, что они образуют полный круг.

Ответ

\(\dfrac{X + Z}{L} = 0{,}27\), т.е. около \(27\%\) длины кольца находится в Швейцарии.

Решение

Период вращения протонов в кольце коллайдера (время одного оборота) равен \(T = L/c = 90\) мкс. Наибольшее время однократного пребывания во Франции (56 мкс по условию) больше половины периода. Следовательно, больше половины окружности целиком находится во Франции, а все пересечения границ сосредоточены на части окружности, длина которой меньше \(L/2\).

Предположим, что протоны вращаются против часовой стрелки. Введём обозначения: \(X\) и \(Z\) — длины участков кольца, находящихся в Швейцарии, а \(Y\) и \(Q\) — во Франции (рис. 7).

Тогда, согласно условию задачи: \[X + Y = ct_1, \quad Y + Z = ct_2, \quad Q = ct_3, \quad X + Y + Z + Q = L.\] Отсюда находим: \(X = L - ct_2 - ct_3\), \(Z = L - ct_1 - ct_3\). Окончательно: \[\dfrac{X + Z}{L} = 2 - \dfrac{c(2t_3 + t_2 + t_1)}{L} = 0{,}27.\]

Подсказка

Пока жуки ползут, правило моментов относительно точки опоры 2 даёт реакцию \(N_1\), зависящую от времени; опрокидывание наступает, когда реакция опоры 2 обращается в ноль.

Ответ

1) \(N_1 = 65\) мН, \(N_2 = 15\) мН;  2) \(t_\text{к} = 4\) с;  3) \(M_0 \geqslant 1{,}4\) г.

Решение

На систему «соломинка + жуки» действуют сила тяжести соломинки \(Mg\), силы реакции опор \(N_1\) и \(N_2\) и силы тяжести жуков \(m_1 g\) и \(m_2 g\). Правило моментов для системы относительно точки 1 имеет вид: \[m_1 g\,l_1 + N_2 l_2 = m_2 g\,(l_2 + l_3) + Mg\left(\dfrac{l_1 + l_2 + l_3}{2} - l_1\right).\]

Тогда: \[N_2 = \dfrac{m_2 g\,(l_2 + l_3) + Mg\,(l_2 + l_3 - l_1)/2 - m_1 g\,l_1}{l_2} = 15~\text{мН}.\] Реакцию опоры в точке 1 в начальный момент времени можно найти из равенства нулю суммы всех сил, действующих на соломинку, или записав правило моментов относительно точки 2: \[N_1 = \dfrac{m_1 g\,(l_1 + l_2) + Mg\,(l_1 + l_2 - l_3)/2 - m_2 g\,l_3}{l_2} = 65~\text{мН}.\] Для произвольного момента времени силы реакций опор равны: \[n_1(t) = N_1 + \dfrac{g}{l_2}(m_2 v_2 - m_1 v_1)\,t, \qquad n_2(t) = N_2 - \dfrac{g}{l_2}(m_2 v_2 - m_1 v_1)\,t.\] С учётом численной подстановки реакция опоры в точке 1 увеличивается со временем, а в точке 2 — уменьшается. Отрыв и опрокидывание соломинки произойдёт через время \(t_\text{к}\), когда сила реакции \(n_2\) обратится в ноль: \[n_2(t_\text{к}) = N_2 - \dfrac{g}{l_2}(m_2 v_2 - m_1 v_1)\,t_\text{к} = 0, \qquad t_\text{к} = \dfrac{N_2 l_2}{g(m_2 v_2 - m_1 v_1)} = 4~\text{с}.\] Для ответа на третий вопрос найдём время встречи жуков \(t_0\): \[t_0 = \dfrac{l_1 + l_2 + l_3}{v_1 + v_2} = 4{,}8~\text{с}.\] Можно заметить, что время встречи больше времени \(t_\text{к}\). Найдём расстояние \(x\) от левого края соломинки до места встречи: \(x = v_1 t_0 = 4{,}8\) см \(< l_1\). Следовательно, место встречи находится левее точки 1. Чтобы в этот момент соломинка не опрокинулась, момент её силы тяжести должен быть не меньше момента сил тяжести жуков: \[M_0 g\left(\dfrac{l_1 + l_2 + l_3}{2} - l_1\right) \geqslant (m_1 + m_2) g\,(l_1 - x), \qquad M_0 \geqslant \dfrac{2(m_1 + m_2)(l_1 - x)}{l_2 + l_3 - l_1} = 1{,}4~\text{г}.\]

Подсказка

Масса смеси равна сумме масс её компонент: это даёт \(\rho_x\). Для второй колбы обозначьте объём синей жидкости \(V_2\), красной \(\alpha V_2\) и найдите \(\alpha\). Границы \(\rho_3\) задаются границами \(V_2\), при которых синяя и красная жидкости ещё не закончились.

Ответ

1) \(\rho_x = 2\rho\);  2) \(\rho_3 = \left(\dfrac{5}{4} + \dfrac{V}{16U}\right)\rho\), где \(\dfrac{V}{12} \leqslant U < \dfrac{3V}{4}\);  3) \(\dfrac{4}{3}\rho < \rho_3 \leqslant 2\rho\).

Решение

Масса жидкости в первой колбе равна сумме масс смешанных жидкостей: \[\rho_1\left(\dfrac{V}{2} + \dfrac{V}{4}\right) = \dfrac{4}{3}\rho\cdot\dfrac{3}{4}V = \dfrac{V}{2}\rho + \dfrac{V}{4}\rho_x,\] откуда \(\rho_x = 2\rho\).

Пусть объём синей жидкости во второй колбе равен \(V_2\), а объём красной — \(\alpha V_2\). Тогда: \[\rho_2 = \dfrac{5}{4}\rho = \dfrac{V_2\rho + \alpha V_2\cdot 2\rho}{(1 + \alpha)V_2},\] откуда следует \(\alpha = 1/3\).

Найдём зависимость плотности смеси в третьей колбе от её объёма: \[\rho_3 = \dfrac{\left(\dfrac{V}{2} - V_2\right)\rho + \left(\dfrac{V}{4} - \alpha V_2\right)\cdot 2\rho}{U},\] причём \(\dfrac{V}{2} - V_2 + \dfrac{V}{4} - \alpha V_2 = U\), откуда: \[\rho_3 = \left(\dfrac{5}{4} + \dfrac{V}{16U}\right)\rho.\] Так как \(0 < V_2 < V/2\) (раньше может закончиться синяя жидкость), \(V/12 \leqslant U < 3V/4\). Окончательно: \[\dfrac{4}{3}\rho < \rho_3 \leqslant 2\rho.\]

Подсказка

Выразите натяжение нити через вес всей подвешенной системы: вес делится между нитями блоков. Затем сравните изменение силы натяжения с изменением силы давления воды на дно сосуда.

Ответ

1–3) \(\Delta H = \dfrac{4}{5}\dfrac{\Delta m}{\rho S}\) (независимо от того, куда налита вода);  4) в ведёрко надо налить \(\dfrac{\Delta m}{5}\) (т.е. \(1/5\) добавленной воды).

Решение

Обозначим символом \(T\) силу натяжения нити, удерживающей ведёрко. Тогда сила натяжения нити, прикреплённой к оси нижнего подвижного блока, равна \(4T\). Значит, суммарная сила тяжести \(Mg\) подвешенной системы уравновешивается силой \(5T\): \[Mg = 5T.\] Если масса системы изменится на \(\Delta m\), то независимо от того, куда долили воду, изменение силы натяжения составит: \[\Delta T = \dfrac{1}{5}\Delta m\,g.\] Добавочная сила давления воды на дно сосуда связана с изменением силы натяжения нити соотношением: \[\rho g\,\Delta H\, S = 4\Delta T,\] где \(\Delta H\) — изменение высоты уровня воды в сосуде. Следовательно, \[\Delta H = \dfrac{4}{5}\dfrac{\Delta m}{\rho S}\] независимо от того, куда доливают воду (вопросы 1–3).

По условию (вопрос 4) глубина погружения ведёрка не изменилась, поэтому не изменились объём его погружённой в воду части и действующая на него сила Архимеда. Ведёрко находится в покое, то есть изменение силы натяжения нити \(\Delta T = \Delta m\,g/5\) связано только с увеличением массы воды в ведёрке, из чего следует, что в ведёрко необходимо налить \(\Delta m/5\) воды.