Максвелл, 2016/17, заключительный этап, 8 класс

Подсказка

Магнит не даёт взвесить себя напрямую, но его массу можно найти по показаниям весов, положив трубку на весы. Цилиндр в конце трубки не меняет показаний весов, если его центр тяжести лежит на опоре: используйте это при определении массы трубки.

Ответ

1) \(m_\text{м} = 13{,}36 \pm 0{,}05\) г;  2) \(m_\text{ш} = 27{,}8 \pm 0{,}5\) г, \(m_\text{т} = 77 \pm 2\) г, \(m_\text{ц} = 19 \pm 2\) г.

Решение

Поскольку магнит вблизи весов искажает их показания, невозможно определить его массу прямым взвешиванием. Положив трубку на весы, обнулим их показания кнопкой «TARE». Прикрепим магнит к концу трубки со стальным шариком и определим его массу: \(m_\text{м} = 13{,}36 \pm 0{,}05\) г.

Будем перемещать шарик магнитом в сторону цилиндра, пока на некотором расстоянии \(l_\text{кр}\) от конца трубки магнит не «отщёлкнется» от шарика (на этом расстоянии шарик упрётся в цилиндр). Длина цилиндра равна: \[l = l_\text{кр} - R = 18{,}5 - 1{,}0 = 17{,}5 \pm 0{,}5~\text{см},\] где \(R = 1{,}0 \pm 0{,}3\) см — оценочное значение радиуса шарика.

Переместив цилиндр в конец трубки, установим большую клипсу под его центром тяжести \(C\). Малую клипсу поставим на весы и установим на неё другой конец трубки. В такой системе цилиндр не вносит вклад в показания весов.

Снимем зависимость показаний весов \(m\) от расстояния \(x\) от правого конца трубки до шарика с магнитом. Запишем правило моментов относительно точки \(C\): \[N\left(L - \dfrac{l}{2}\right) = mg\left(L - \dfrac{l}{2}\right) = m_\text{т} g\,\dfrac{L - l}{2} + (m_\text{ш} + m_\text{м})\,g\left(L - \dfrac{l}{2} - x\right),\] где \(L = 50{,}0 \pm 0{,}1\) см — длина трубки.

Показания весов линейно зависят от \(x\): \[m(x) = \left(\dfrac{L - l}{2L - l}\,m_\text{т} + m_\text{ш} + m_\text{м}\right) - \dfrac{m_\text{ш} + m_\text{м}}{L - l/2}\,x.\] По угловому коэффициенту наклона \(k = 0{,}60 \pm 0{,}01\) г/см графика \(m(x)\) определим массу шарика: \(m_\text{ш} = k\left(L - l/2\right) - m_\text{м} = 27{,}8 \pm 0{,}5\) г.

Отметим, что длину \(L - l/2\) мы можем получить прямым измерением расстояния между точками опоры.

Массу трубки \(m_\text{т}\) найдём из графика, например, при \(x = 25\) см: \[m_\text{т} = \dfrac{m(x)(2L - l) - (m_\text{ш} + m_\text{м})(2L - l - 2x)}{L - l} = 77 \pm 2~\text{г}.\] Окончательно, масса цилиндра \(m_\text{ц}\) определяется как разность между полной массой трубки с цилиндром \(m_\text{тц}\), измеряемой напрямую, и массой трубки \(m_\text{т}\): \[m_\text{ц} = m_\text{тц} - m_\text{т} = 19 \pm 2~\text{г}.\]

Подсказка

Измерьте сопротивления между парами выводов гексагона: по симметрии и значениям эти пары дают два уравнения для \(R_1\) и \(R_2\). Затем сравните показания вольтметра с делителем напряжения и выберите координаты, в которых зависимость линейна.

Ответ

1) \(R_1 = 750\) кОм, \(R_2 = 470\) кОм;  5) \(R_V = 970\) кОм.

Решение

Измерим сопротивления между парами противоположных выводов (A–D, B–E, C–F) гексагона. Они равны друг другу: \(R_d = 910\) кОм. Следовательно, в схеме есть три резистора \(R_1\) и три резистора \(R_2\).

Измерив сопротивления \(R_d\) между парами соседних выводов, убедимся, что, начиная при обходе гексагона по часовой стрелке от точки \(A\), величины резисторов образуют последовательность \(\{R_1, R_1, R_2, R_1, R_2, R_2\}\).

Измерим сопротивление между выводами \(B\) и \(D\): \[R_{BD} = \dfrac{2}{3}(R_1 + R_2) = 813~\text{кОм}.\] Закоротив выводы \(B\) и \(D\) проводом с зажимами типа «крокодил», измерим сопротивление между выводами \(C\) и \(D\): \[R_{CD} = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = 289~\text{кОм}.\] Решая полученную систему уравнений, находим \(R_1 = 750\) кОм и \(R_2 = 470\) кОм.

Соберём цепь, схема которой изображена на рис. 3. Для этого, сняв «крокодил» с одного конца провода, подключим этот провод к вольтметру, а оставшийся на проводе зажим «крокодил» — к батарейке. Второй «крокодил» наденем на штекер провода от вольтметра и подключим ко второму контакту батарейки. Подключая щупы к различным выводам гексагона, измерим показания вольтметра (табл. 3): \[U = \dfrac{R_V}{R_\text{н} + R_V}\,U_0,\] где \(U_0 = 9{,}4\) В — напряжение батарейки, измеряемое вольтметром непосредственно, \(R_V\) — искомое сопротивление вольтметра.

Полученную зависимость преобразуем к виду: \[\dfrac{1}{U} = \dfrac{1}{U_0} + \dfrac{R_\text{н}}{R_V U_0}.\]

Строим график зависимости \(U^{-1}(R_\text{н})\) (рис. 7), по угловому коэффициенту \(k\) определяем сопротивление вольтметра: \[R_V = \dfrac{1}{kU_0} = 970~\text{кОм}.\]

Подсказка

Пока поезд не заехал на мост, датчик показывает силу, которая зависит только от веса моста. Далее момент силы тяжести поезда относительно опоры даёт параболу; постоянные участки графика дают время заезда поезда на мост.

Ответ

1) под опорой \(A\);  2) \(M = 1000\) т;  3) \(m = 480\) т;  4) \(L = 70\) м;  5) \(v = 14\) м/с.

Решение

Из графика видно, что вначале датчик показывает постоянную силу, действующую только со стороны моста (поезд ещё не заехал). Так как мост однородный, то на вторую опору действует такая же сила: \[2N_1 = Mg,\] где \(N_1 = 5000\) кН, откуда \(M = 2N_1/g = 1000\) тонн.

Правило моментов относительно точки \(B\) даёт \[NL = Mg\,\dfrac{L}{2} + \dfrac{mgx}{l}\left(L - \dfrac{x}{2}\right),\] следовательно, \[N = \dfrac{Mg}{2} + \dfrac{mg}{l}\,vt - \dfrac{mg}{2Ll}\,v^2t^2.\] Это уравнение параболы с ветвями, направленными вниз, что согласуется с условием. Датчик находится в точке \(A\).

Заметим, что с 10 секунды по 20 секунду на опору так же действует постоянная сила. Это означает, что момент силы тяжести той части поезда, что находится на мосту, постоянен относительно, скажем, точки \(B\). Понятно, что такое возможно, когда длина поезда больше длины моста и поезд занимает весь мост. Это продолжается в течение времени \[t_1 = 10~\text{с} = \dfrac{l - L}{v}.\] Из графика видно, что поезд полностью заезжает на мост за \[t_2 = 5~\text{с} = \dfrac{L}{v}.\] Складывая уравнения, получим, что \[\dfrac{l}{v} = t_1 + t_2 = 15~\text{с},\] откуда \(v = 14\) м/с, \(L = 70\) м.

Теперь найдём массу поезда. В момент времени, когда поезд полностью находится на мосту, центр тяжести заехавшей части совпадает с центром тяжести моста. Значит, сила реакции опоры в точке \(B\) равна силе реакции опоры в точке \(A\): \[2N_2 = Mg + m_0 g,\] где \(N_2 = 5800\) кН, а \(m_0 = mL/l\) — масса части поезда, которая находится на мосту. Значит, \[m = \dfrac{l}{L}\cdot\dfrac{2N_2 - Mg}{g} = 480~\text{тонн}.\]

Ответ

\(v = 30\) км/ч (дядя Фёдор);  \(u = 12\) км/ч (Печкин).

Решение

Решение задачи существенно упрощается, если построить и проанализировать графики движения Печкина и дяди Фёдора. За начало отсчёта времени принимаем момент, когда дядя Фёдор выезжает из Простоквашино. К этому моменту времени Печкин преодолел некоторый путь \(S_0\).

Согласно условию задачи, встреча состоялась после остановок, и неизвестно, когда именно они происходили, поэтому для определённости изобразим их в начале отсчёта. Прямая 1а является графиком запланированного движения Печкина, а прямая 1б — с остановкой продолжительностью \(\tau_1\). Аналогично, прямая 2а является графиком запланированного движения дяди Фёдора, а 2б — с остановкой продолжительностью \(\tau_2\). Точке 1 соответствует запланированная встреча, точке 2 — встреча по версии дяди Фёдора, точке 3 — по версии Печкина, точке 4 — реальная встреча (рис. 9).

По условию задачи \(t_2 - t_1 = 45\) мин, \(t_2 - t_4 = 30\) мин, \(S_1 - S_3 = 15\) км, \(S_4 - S_3 = 9\) км. Тогда скорость дяди Фёдора равна: \[v = \dfrac{S_1 - S_3}{t_1 - t_3} = \dfrac{S_1 - S_3}{t_2 - t_4} = 30~\text{км/ч},\] а Печкина: \[u = \dfrac{S_4 - S_3}{t_4 - t_3} = \dfrac{S_4 - S_3}{t_2 - t_1} = 12~\text{км/ч}.\]

Подсказка

Батарея должна отдавать ту же мощность, значит, её средняя температура не меняется. Средняя температура воды на входе и выходе батареи равна средней температуре батареи, а количество теплоты за время \(\tau\) равно \(c\rho V\,\Delta t\), где \(V\) — объём воды, прошедшей через батарею.

Ответ

\(P = 4{,}0\) кВт;  \(v_2 = 0{,}20\) м/с.

Решение

Чтобы сохранилась мощность, рассеиваемая батареей, её температура после замены трубы должна остаться прежней. Так как изменение температуры воды на входе и выходе батареи невелико, то будем считать, что ей изначально передавала тепло вода, имевшая среднюю арифметическую температуру: \[T_1 = \dfrac{t_1 + t_2}{2}.\] Заметим, что температура самой батареи меньше температуры воды, но больше комнатной. После замены трубы комнатная температура не изменилась, следовательно, не изменилась и температура батареи. И поэтому: \[T_2 = T_1 = \dfrac{t_3 + t_4}{2},\] где \(t_4\) — новая температура на выходе. Из записанных выше уравнений находим \(t_4 = t_1 + t_2 - t_3 = 76\) °С. За одинаковое время \(\tau\) вода должна отдавать батарее одинаковое количество теплоты, следовательно, мощность батареи: \[P = \dfrac{Q}{\tau} = v_1 S_1 \rho c\,(t_1 - t_2) = v_2 S_2 \rho c\,(t_3 - t_4),\] откуда: \[v_2 = v_1\,\dfrac{S_1(t_1 - t_2)}{S_2(t_3 - t_4)} = 0{,}20~\text{м/с}.\] Мощность батареи \(P = v_1 S_1 \rho c\,(t_1 - t_2) = 4{,}0\) кВт.

Подсказка

Сравните показания приборов в обеих схемах: вольтметр в первой схеме даёт сопротивление \(r_V = U_1/I_1\), а омметр показывает сумму сопротивлений приборов, включённых последовательно с источником.

Ответ

\(r = 750\) Ом, \(U = 1{,}85\) В; вольтметр во второй схеме покажет \(0{,}2\) В, омметр — \(R_2 = 91\) Ом.

Решение

1. Вольтметр показывает значение силы тока, текущего через него, умноженное на его сопротивление. Поэтому для первой схемы имеем: \(U_1 = I_1 r_V\), откуда \[r_V = \dfrac{U_1}{I_1} = 1~\text{кОм}.\] В той же схеме омметр показывает суммарное сопротивление \(R_1 = r_A + r_V\) приборов, подключенных последовательно к его выводам, откуда \(r_A = R_1 - r_V = 100\) Ом.

Для первой схемы можно записать ещё одно уравнение, связывающее параметры приборов. Напряжение на концах источника омметра \(U\) равно сумме падений напряжений на внутренних сопротивлениях приборов: \[U = I_1(r + r_A + r_V) = I_1(r + R_1).\]

2. Рассмотрим эквивалентную схему при соединении приборов звездой.

Сила тока, текущего через амперметр во второй схеме, равна \(I_2\). Приравнивая напряжения на амперметре и вольтметре, получим: \[r_A I_2 = r_V I_x,\] \[I = I_2 + I_x = I_2\left(\dfrac{r_A}{r_V} + 1\right) = I_2\,\dfrac{r_V + r_A}{r_V} = I_2\,\dfrac{R_1}{r_V}.\] Для контура, содержащего амперметр и омметр, справедливо: \[U = rI + r_A I_2 = r I_2\,\dfrac{R_1}{r_V} + r_A I_2 = I_2\left(r\,\dfrac{R_1}{r_V} + r_A\right).\] Из этих уравнений получим сопротивление омметра: \[r = \dfrac{I_1 R_1 - I_2 r_A}{I_2 R_1 / r_V - I_1} = 750~\text{Ом},\] и напряжение источника \(U = I_1(r + R_1) = 1{,}85\) В.

3. Из уравнения для вольтметра показания вольтметра в новой схеме: \[U_2 = I_2 r_A = 2~\text{мА}\cdot 100~\text{Ом} = 0{,}2~\text{В}.\] Омметр покажет эквивалентное сопротивление соединённых параллельно амперметра и вольтметра: \[R_2 = \dfrac{r_A r_V}{r_A + r_V} = 91~\text{Ом}.\]