зад 1 Механический «чёрный» ящик (экспериментальный тур)
Оборудование: «чёрный» ящик с пластиковой трубкой внутри (начало и конец трубки выступают наружу); 2 шприца; пластиковый стакан с водой; линейка; нить; пластиковая тарелка; салфетки.
Задание. С помощью предложенного вам оборудования определите следующие параметры пластиковой трубки: 1) внешний диаметр \(D\) трубки; 2) внутренний диаметр \(d\) трубки; 3) длину \(L_0\) всей трубки. Опишите ваши измерения и сделайте поясняющие рисунки.
Примечания: 1) укажите в отчёте номер «чёрного» ящика, который вам выдан; 2) вскрывать «чёрный» ящик или вытаскивать из него трубку запрещено; 3) внутренний и внешний диаметры трубки считайте неизменными по всей её длине; 4) длина окружности \(L_d = \pi d\), где \(d\) — её диаметр, \(\pi \approx 3{,}14\); площадь круга \(S = \pi d^2/4\), объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту; 5) шприц № 1 объёмом \(5\) мл и шприц № 2 — инсулиновый объёмом \(1\) мл; 6) тарелка и салфетки используются для поддержания порядка на рабочем месте.
▶ПодсказкаСкрыть
Внешний диаметр удобно найти методом рядов: намотайте на трубку нить, виток за витком, и разделите длину намотки на число витков — это длина окружности. Внутренний диаметр найдите по объёму воды и длине заполненной части трубки.
▶ОтветСкрыть
\(D \approx 4{,}4\) мм (в авторском исполнении); \(d \approx 3\) мм; \(L_0 = 150\) см. Значения зависят от конкретного ящика.
▶РешениеСкрыть
Внешний диаметр: плотно наматываем \(N\) витков нити на трубку, линейкой измеряем длину намотки \(L\); длина окружности трубки \(L/N\), поэтому \(D = \dfrac{L}{\pi N}\) (результат зависит от оборудования).
Внутренний диаметр: из шприца № 2 набираем объём воды \(V_1 = 1\) мл и аккуратно выдавливаем его в длинный конец трубки. Линейкой измеряем длину заполненной части \(L_{\text{зап}}\) (в авторском исполнении \(160\) мм). Площадь внутреннего сечения \(S = V_1/L_{\text{зап}}\), диаметр \(d = 2\sqrt{S/\pi} \approx 3\) мм.
Длину трубки: шприцом № 1 заполняем трубку водой, по шкале определяем израсходованный объём \(V_0\). Тогда \(L_0 = V_0/S \approx 150\) см. Опыт повторяем несколько раз и результаты усредняем.
зад 2 Клякса (экспериментальный тур)
Оборудование: лист бумаги с изображением кляксы, карандаш, линейка, ножницы.
Задание. Вырежьте кляксу из листа. Определите: 1) площадь кляксы; 2) массу кляксы; 3) объёмную плотность \(\rho\) бумаги.
Примечание. Поверхностная плотность выданной вам бумаги \(\sigma = 80\) г/м\(^2\). Лист с изображением кляксы можно разрезать, но помните, что новый лист вам не выдадут!
▶ПодсказкаСкрыть
Площадь кляксы можно оценить, покрыв её клетчатой сеткой и посчитав клетки целиком и частично. Толщину листа удобно найти из стопки полосок, разрезав клякса на много полосок.
▶ОтветСкрыть
Площадь \(S \approx 242\) см\(^2\); масса \(m \approx 1{,}94\) г; объёмная плотность \(\rho \approx 800\) кг/м\(^3\).
▶РешениеСкрыть
Площадь: наносим на кляксу сетку из клеток \(1\) см на \(1\) см, подсчитываем число целых клеток \(N_1\) и нецелых \(N_2\); площадь \(S = 1~\text{см}^2 \cdot N_1 + 0{,}5~\text{см}^2 \cdot N_2\).
Масса: \(m = S\sigma\).
Толщина листа: разрезаем кляксу на много (\(N_3\)) бумажных полосок, складываем их в стопку и разрезаем полученную толстую полоску на \(N_4\) отрезков. Измеряем толщину стопки \(D\); толщина листа \(d = \dfrac{D}{N_3 N_4} \approx 0{,}1\) мм.
Объёмная плотность: \(\rho = \dfrac{\sigma}{d} \approx 800\) кг/м\(^3\).
зад 3 Длина удава (теоретический тур)
Отдыхая на одном экзотическом острове, экспериментатор Глюк взял напрокат скутер, основная шкала спидометра которого была проградуирована в привычных для местного населения единицах измерения скорости — «удавах в минуту». Хозяин проката, желая пойти навстречу иностранным туристам, выяснил, что по принятой в Европе системе единиц (СИ) скорость должна измеряться в «метрах в секунду», и рядом с местной шкалой нанёс «общепринятую» европейскую (см. рисунок). Определите:
на какую максимальную скорость (в км/ч) рассчитана экзотическая шкала спидометра скутера?
чему равны (в км/ч) показания спидометра на рисунке?
какова длина местных удавов, выраженная в метрах?
▶ПодсказкаСкрыть
Сопоставьте совпадающие деления двух шкал и переведите метры в секунду в километры в час (\(1\) м/с \(= 3{,}6\) км/ч). Затем подумайте, сколько метров за минуту проходит скутер при скорости, соответствующей одному удаву.
▶ОтветСкрыть
1) около \(52\) км/ч; 2) около \(32\) км/ч; 3) около \(9{,}7\) м.
▶РешениеСкрыть
По совпадающим делениям шкал: скорости \(14\) м/с соответствует \(87\) уд/мин. Тогда максимальная шкала \(90\) уд/мин соответствует \(90 \cdot 14 \cdot 3{,}6/87 \approx 52\) км/ч, а показание \(55\) уд/мин — \(55 \cdot 14 \cdot 3{,}6/87 \approx 32\) км/ч.
Так как \(1\) мин \(= 60\) с, то один удав равен \(14 \cdot 60/87 \approx 9{,}7\) м.
зад 4 На речке (теоретический тур)
Двигаясь вниз по реке, лодка под мостом обогнала плот. Через некоторое время она доплыла до пристани, быстро развернулась и, с прежней относительно воды скоростью, поплыла вверх по течению, где снова встретила плот на расстоянии \(S_1 = 1\,100\) м от моста. Если бы с момента первой встречи с плотом лодка плыла с вдвое большей скоростью относительно воды, то их вторая встреча произошла на расстоянии \(S_2 = 600\) м от моста. Определите, во сколько раз скорость лодки \(\upsilon\) больше скорости течения реки \(u\), и на каком расстоянии \(S\) от моста находится пристань.
▶ПодсказкаСкрыть
В системе отсчёта плота скорость лодки относительно воды не меняется, значит, время её удаления от плота и возвращения к нему одинаково. Плот за всё это время проплывает расстояние, которое зависит только от течения.
▶ОтветСкрыть
\(\upsilon/u = 5\); \(S = 3300\) м.
▶РешениеСкрыть
Время движения лодки от моста до пристани \(S/(u+\upsilon)\). Так как в системе отсчёта плота скорость лодки не меняется, таким же будет и время возвращения лодки к плоту, а за всё время отсутствия лодки плот проплывает \(S_{\text{пл}} = u\,\dfrac{2S}{\upsilon+u}\). Пусть \(\upsilon = k\,u\). Тогда в первом случае \(S_1 = \dfrac{2S}{k+1}\), во втором (скорость вдвое больше) \(S_2 = \dfrac{2S}{2k+1}\), откуда \(\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{2k+1}{k+1} = \dfrac{11}{6}\) и \(k = 5\). Тогда \(S = S_1(k+1)/2 = 3300\) м.
зад 5 Стержень (теоретический тур)
Половина (по длине) длинного стержня имеет линейную плотность \(\lambda_1 = 60\) г/дм, а вторая половина \(\lambda_2 = 20\) г/дм. Стержень разрезали поперёк на две равные по массе части. Чему оказались равны средние линейные плотности получившихся частей?
Примечание: линейной плотностью протяжённых тел \(\lambda\) называют массу единицы их длины.
▶ПодсказкаСкрыть
Массы половин стержня относятся как \(3\!:\!1\). Найдите, какую часть тяжёлой половины нужно отрезать, чтобы получить половину массы всего стержня.
▶ОтветСкрыть
Короткая часть: \(\lambda = 60\) г/дм; длинная составная часть: \(\lambda = 30\) г/дм.
▶РешениеСкрыть
Длины половин одинаковы, а линейные плотности отличаются в \(3\) раза, значит, и массы отличаются в \(3\) раза. Пусть масса всего стержня \(4m\); тогда масса каждой части \(2m\), а линия разреза отсекает две трети тяжёлой половины. Короткая часть (тяжёлая треть половины длиной \(l/3\)) имеет \(\lambda_{\text{I}} = \lambda_1 = 60\) г/дм. Длинная составная часть состоит из двух кусков (длиной \(l/6\) с плотностью \(60\) и \(l/2\) с плотностью \(20\)), её средняя линейная плотность \(\lambda_{\text{II}} = 30\) г/дм.
зад 6 Окаменевшая жидкость (теоретический тур)
Если в сосуд объёмом \(V_0\), доверху заполненный жидкостью, опускать камни плотностью \(\rho = 2{,}2\) г/см\(^3\), то в зависимости от их объёма \(V\) (\(V < V_0\)) средняя плотность содержимого сосуда будет изменяться, как показано на графике. Определите объём сосуда \(V_0\) и плотность жидкости \(\rho_0\).
▶ПодсказкаСкрыть
Средняя плотность смеси — это масса содержимого, делённая на \(V_0\). Запишите её как линейную функцию \(V\) и продлите график до \(V = 0\) и до точки, где плотность камней совпадает с плотностью смеси.
▶ОтветСкрыть
\(\rho_0 = 0{,}8\) г/см\(^3\); \(V_0 = 14\) дм\(^3\).
▶РешениеСкрыть
Средняя плотность смеси \(\rho_{\text{ср}} = \rho_0 + (\rho - \rho_0)\,V/V_0\) линейна по \(V\). Экстраполяция графика к \(V = 0\) даёт \(\rho_{\text{ср}} = \rho_0 = 0{,}8\) г/см\(^3\). Наклон графика \(0{,}1\) г/см\(^3\) на \(1\) дм\(^3\) даёт \((\rho - \rho_0)/V_0 = 0{,}1\) г/(см\(^3\cdot\)дм\(^3\)), откуда \(V_0 = (2{,}2 - 0{,}8)/0{,}1 = 14\) дм\(^3\).
Источник: Олимпиада имени Дж. К. Максвелла, 2017/18, региональный этап, 7 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.