зад 1 Вариации на тему! (экспериментальный тур)
Оборудование: три листа картона, ножницы, карандаш, линейка, три листа миллиметровой бумаги.
Центр тяжести плоской однородной симметричной фигуры лежит на оси симметрии. Докажите экспериментально, что положение центра тяжести описывается уравнением: \(x_0 = kH\).
Для этого проведите серию измерений для двух типов геометрических фигур: равнобедренного треугольника и равнобокой трапеции, основания которой относятся как \(2 : 1\).
Для фигур с разными значениями \(H\) определите положения центра тяжести \(x_0\).
Постройте график полученных зависимостей \(x_0(H)\) (не менее чем для 7 точек в возможно большем диапазоне измеряемых величин).
С помощью графика определите значения \(k\) для треугольника и трапеции.
▶ПодсказкаСкрыть
Вырежьте фигуры разной высоты \(H\) и уравновешивайте каждую на краю стола: точка опоры, на которой фигура держится, и есть её центр тяжести. Для трапеции проверьте, что зависимость тоже линейна.
▶ОтветСкрыть
Для треугольника \(k = 1/3\); для трапеции \(k = 4/9\).
▶РешениеСкрыть
Вырезая из картона равнобедренные треугольники с разной высотой \(H\), определяем положение их центра тяжести \(x_0\), уравновешивая их на краю стола. Строим график \(x_0(H)\); его наклон даёт \(k_1 = 1/3\). Повторяя измерения для равнобоких трапеций, находим \(k_2 = 4/9\). Линейность графиков подтверждает справедливость уравнения \(x_0 = kH\).
зад 2 Плотность риса (экспериментальный тур)
Оборудование: два блюдца (одно пустое, другое с рисом), одноразовый стаканчик, наполненный водой примерно на две трети, кусок марли, нить хлопчатобумажная, электронные весы.
Задание. Определите плотность зёрен риса.
Внимание! В течение всего времени, отведённого на выполнение задания, дополнительные порции воды и риса вам не выдадут! Блюдца используйте лишь в качестве поддона для риса, чтобы он не рассыпался по столу. Использовать блюдца для других целей нельзя! Плотность воды \(\rho = 1\,000\) кг/м\(^3\).
▶ПодсказкаСкрыть
Завяжите рис в марлю и взвесьте его на воздухе, затем погрузите мешочек в воду и измерьте, сколько воды он вытесняет по показаниям весов. Отношение масс даёт отношение плотностей.
▶ОтветСкрыть
\(\rho \approx 1{,}47\) г/см\(^3\) (среднее по трём измерениям).
▶РешениеСкрыть
Масса риса \(m\) и масса вытесненной воды \(\Delta m\) (изменение показаний весов при погружении мешочка в воду) связаны с плотностью риса: \(\rho = \rho_0\, m/\Delta m\). Результаты трёх измерений: \(m = 52{,}1\) г, \(\Delta m = 35{,}2\) г, \(\rho = 1{,}48\) г/см\(^3\); \(m = 50{,}1\) г, \(\Delta m = 32{,}8\) г, \(\rho = 1{,}53\) г/см\(^3\); \(m = 51{,}6\) г, \(\Delta m = 36{,}5\) г, \(\rho = 1{,}41\) г/см\(^3\). Среднее значение \(1{,}47\) г/см\(^3\).
Точность результата ограничивают три фактора: масса марли (2–3 г в зависимости от куска), учёт которой уменьшает измеренную плотность при её игнорировании; трение нити о стенки стаканчика, которое может сдвигать показания в разные стороны; капиллярный подъём воды по марле, если над водой остаётся большой кусок ткани, что занижает силу Архимеда и завышает плотность.
зад 3 Ни два, ни полтора… (теоретический тур)
Автомобиль проехал треть пути со скоростью \(\upsilon = 46\) км/ч. Затем четверть времени всего движения он ехал со скоростью, в полтора раза превышающей среднюю на всём пути. На последнем участке автомобиль ехал со скоростью \(2\upsilon\). Определите максимальную скорость автомобиля.
▶ПодсказкаСкрыть
Выразите среднюю скорость как полный путь, делённый на полное время. Длины участков пути выразите через полный путь \(S\), времена — через полное время \(t\).
▶ОтветСкрыть
\(\upsilon_{\max} = \tfrac{3}{2}\,\upsilon_{\text{ср}} = 108\) км/ч.
▶РешениеСкрыть
По определению средняя скорость на всём пути \(\upsilon_{\text{ср}} = S/t\). Скорость на втором участке \(\tfrac{3}{2}\upsilon_{\text{ср}}\), и пройденное на нём расстояние \(S_2 = \tfrac{3}{8}S\). Тогда длина третьего участка \(\tfrac{7}{24}S\). Времена движения на первом и третьем участках \(t_1 = \dfrac{S}{3\upsilon}\), \(t_3 = \dfrac{7S}{48\upsilon}\), и их сумма равна \(\tfrac{3}{4}t\), откуда \[\upsilon_{\text{ср}} = \frac{S}{t} = \frac{36}{23}\,\upsilon = 72~\text{км/ч}.\] Скорость на втором участке \(\tfrac{3}{2}\upsilon_{\text{ср}} = 108\) км/ч, это больше \(2\upsilon = 92\) км/ч, поэтому максимальная скорость автомобиля \(108\) км/ч.
зад 4 Проволока (теоретический тур)
Длинная проволока состоит из трёх частей, соединённых последовательно друг за другом. Первая часть длиной в четверть от длины всей проволоки имеет линейную плотность \(\lambda_1 = 30\) г/дм. Вторая часть массой в треть от массы всей проволоки имеет линейную плотность \(\lambda_2\). Масса третьей части равна сумме масс первых двух. Определите среднюю линейную плотность \(\lambda_{\text{ср}}\) всей проволоки. Какая минимальная линейная плотность \(\lambda_2\) может быть у второй части проволоки?
Примечание: линейной плотностью протяжённых тел \(\lambda\) называют массу единицы их длины.
▶ПодсказкаСкрыть
Выразите массы частей через полную массу \(m\). Масса второй части фиксирована, поэтому её линейная плотность минимальна тогда, когда её длина максимальна. Длина второй части не превышает \(3/4\) всей длины проволоки.
▶ОтветСкрыть
\(\lambda_{\text{ср}} = 45\) г/дм; \(\lambda_{2,\min} = 20\) г/дм.
▶РешениеСкрыть
Средняя линейная плотность \(\lambda_{\text{ср}} = m/l\), где \(m\) — масса всей проволоки, \(l\) — её длина. По условию \(m_1 = \tfrac{m}{6}\), \(m_2 = \tfrac{m}{3}\), \(m_3 = m_1 + m_2\), откуда \(m_1 = m/6\) и \(m_1 = \lambda_1\,\tfrac{l}{4}\). Тогда \(\lambda_{\text{ср}} = \tfrac{3}{2}\lambda_1 = 45\) г/дм.
Масса второй части \(m_2 = m/3\) фиксирована, а её длина не может превышать \(\tfrac{3}{4}l\). Тогда \(\lambda_{2,\min} = \dfrac{m/3}{3l/4} = \dfrac{4}{9}\,\lambda_{\text{ср}} = 20\) г/дм.
зад 5 Жидкое равновесие (теоретический тур)
Прямоугольный лёгкий сосуд с жидкостью массой \(m\) помещён на однородный рычаг массой \(3m\). В жидкость опущено тело массой \(2m\), не касающееся дна сосуда и удерживаемое нитью, перекинутой через блок (см. рисунок). Какой массы \(m_x\) груз необходимо подвесить к противоположному концу нити, для равновесия всей системы? Трения в осях рычага и блока нет. Необходимые расстояния можно взять из рисунка.
▶ПодсказкаСкрыть
Сила давления жидкости на дно сосуда не зависит от того, погружено ли в жидкость тело. Тело удерживается нитью: сумма силы натяжения и силы Архимеда уравновешивает его вес.
▶ОтветСкрыть
\(m_x = \tfrac{3}{2}\,m\).
▶РешениеСкрыть
Сила давления жидкости на дно сосуда \(F\) распределена равномерно по всей площади и не зависит от погружения тела \(2m\); \(F = mg + F_{\text{А}}\), где \(F_{\text{А}}\) — сила Архимеда, действующая на тело \(2m\). Из условия равновесия тела \(2m\): \(T + F_{\text{А}} = 2mg\), где натяжение нити \(T = m_x g\) из условия равновесия груза \(m_x\). Правило моментов для рычага относительно точки опоры: \(3mg\,l = F\,l_2\). Решая систему уравнений, получаем \(m_x = \tfrac{3}{2}\,m\).
зад 6 Быстрее, но медленнее (теоретический тур)
Чайник с водой при температуре \(t_0 = 20\,^\circ\)C нагрелся на газовой горелке до \(t_1 = 40\,^\circ\)C за время \(\tau_1 = 2\) мин. Желая ускорить нагрев, половину воды вылили, и ещё через \(\tau_2 = 1\) мин температура воды достигла \(t_2 = 55\,^\circ\)C. Так как и это показалось медленным, вылили ещё половину оставшейся воды, но при этом случайно задели кран горелки, вдвое убавив её мощность. Через какое время \(\tau_3\) чайник всё-таки нагреется до \(t_3 = 100\,^\circ\)C? Потерями тепла в окружающую среду можно пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Теплоёмкость чайника нельзя считать пренебрежимо малой: её нужно учитывать вместе с водой. Запишите тепловой баланс для каждого из трёх этапов нагрева, с мощностью горелки \(N\) и теплоёмкостями чайника \(C_0\) и воды \(C\).
▶ОтветСкрыть
\(\tau_3 = 4{,}5\) мин.
▶РешениеСкрыть
Пусть \(C_0\) — теплоёмкость чайника, \(C\) — теплоёмкость начальной массы воды, \(N\) — мощность горелки. Уравнения теплового баланса для трёх этапов: \[N\tau_1 = (C_0 + C)(t_1 - t_0), \qquad N\tau_2 = \left(C_0 + \tfrac{C}{2}\right)(t_2 - t_1),\] \[\tfrac{N}{2}\,\tau_3 = \left(C_0 + \tfrac{C}{4}\right)(t_3 - t_2).\] Первые два уравнения дают \(C = 2C_0\), поэтому \(N = 10\,(C_0 + C) = 30\,C_0\). Тогда \(\tau_3 = \dfrac{(1{,}5\,C_0)\cdot 45}{15\,C_0} = 4{,}5\) мин.
Источник: Олимпиада имени Дж. К. Максвелла, 2017/18, региональный этап, 8 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.