Максвелл, 2017/18, заключительный этап, 7 класс

Подсказка

Правило моментов относительно точки подвеса рычага дважды: для пластилина в воздухе и для пластилина, погружённого в воду. Отношение масс воды в шприце в двух равновесиях даёт отношение плотностей.

Ответ

\(\rho = \dfrac{m_1}{m_1 - m_2}\,\rho_0\). Для авторской установки \(\rho = 1360\) кг/м\(^3\).

Решение

Подвесим рычаг с пустым шприцом массой \(m\) за центральную петлю и с помощью пластилина уравновесим его. К противоположной петле прикрепим исследуемый пластилин и наберём воду массой \(m_1\) в шприц, чтобы рычаг оказался в равновесии. Запишем правило моментов относительно точки подвеса рычага: \(V\rho g l_2 = m_1 l_1 g\).

Погрузим пластилин в воду и, убавляя/добавляя массу воды в шприце, добьёмся равновесия системы. Запишем правило моментов для этого случая: \(V(\rho - \rho_0) g l_2 = m_2 l_1 g\), где \(V\) — объём пластилина, \(m_2\) — новая масса воды в шприце. Разделив одно уравнение на другое, получим: \(\dfrac{\rho - \rho_0}{\rho} = \dfrac{m_2}{m_1}\). Откуда: \(\rho = \dfrac{m_1}{m_1 - m_2}\,\rho_0\). Для авторской установки \(\rho = 1360\) кг/м\(^3\).

Чтобы применить данный метод, необходимо предварительно убедиться, что для выбранной массы исследуемого пластилина достигается равновесие с частично заполненным шприцем для пластилина в воздухе. Возможно, стоит поменять местами пластилин и шприц.

Подсказка

Внутренний объём склянки измеряется шприцем. Масса склянки находится по массе долитой воды в момент, когда склянка плавает, а её внешний объём — по уровням воды при полном погружении.

Ответ

\(\rho_\text{ст} = 2{,}4\) г/см\(^3\).

Решение

Заполняем шприцем склянку и определяем её внутренний объём \(V\). Теперь найдём её массу: для этого ставим пустую склянку в пластмассовый стакан и наполняем этот стакан водой до тех пор, пока она не всплывёт. Делаем отметку (\(AA\)) на стикере, наклеенном на стенку стаканчика. Вынимаем из воды склянку и вновь делаем на стикере отметку (\(BB\)). Теперь мерным цилиндром доливаем в стакан воды до верхней отметки. Масса долитой воды равна массе \(M\) склянки.

Определяем внешний объём \(V + V_\text{ст}\) склянки. Для этого наливаем в стакан воду до уровня (\(AA\)). Опускаем пустую склянку в пластмассовый стакан и наполняем её водой до тех пор, пока она не погрузится полностью в воду, оставаясь на плаву. Вновь делаем на стикере отметку (\(CC\)). Мы получим уравнение: \[\rho_\text{в}(V + V_\text{ст}) = m + M.\] Из этого уравнения находим: \[V_\text{ст} = \dfrac{m + M}{\rho_\text{в}} - V.\] Плотность стекла: \[\rho_\text{ст} = \dfrac{M}{V_\text{ст}} = \dfrac{M}{\dfrac{m + M}{\rho_\text{в}} - V} = \rho_\text{в}\,\dfrac{M}{m + M - \rho_\text{в} V} = 2{,}4~\text{г/см}^3.\]

Подсказка

На границах пробки автомобили входят в неё и выходят из неё. Перейдите в систему отсчёта, движущуюся вместе с пробкой: число автомобилей, пересекающих границу в единицу времени, с обеих сторон должно быть одинаковым.

Ответ

1) \(u = 10\) км/ч, пробка смещается в сторону города \(A\);  2) \(v = 5\) км/ч;  3) \(\tau = 78\) мин.

Решение

На некотором участке автомобили движутся со скоростью \(v_0\) и одинаковой плотностью потока \(\lambda_0\). Через произвольную границу на этом участке в единицу времени проезжает \(v_0\lambda_0\) автомобилей.

Так как протяжённость пробки постоянна, то «хвост» и «голова» движутся с одинаковой скоростью \(u\). Предположим, что автомобильная пробка движется в направлении от города \(B\) к городу \(A\). Перейдём в систему отсчёта, движущуюся со скоростью \(u\), равной скорости движения пробки. Тогда автомобили приближаются к «хвосту» пробки со скоростью \(v_1 + u\), удаляются от «головы» пробки со скоростью \(v_2 + u\), а в пробке они движутся со скоростью \(v + u\).

Количество автомобилей, пересекающих границу пробки на «хвосте» в единицу времени: \[\lambda_1(v_1 + u) = \lambda(v + u). \tag{1}\] Количество автомобилей, пересекающих границу пробки в «голове» в единицу времени: \[\lambda_2(v_2 + u) = \lambda(v + u). \tag{2}\] Решая систему уравнений (1)–(2), получаем: \[u = \dfrac{\lambda_2 v_2 - \lambda_1 v_1}{\lambda_1 - \lambda_2} = 10~\text{км/ч}, \qquad v = \dfrac{\lambda_1(\lambda - \lambda_2) v_1 - \lambda_2(\lambda - \lambda_1) v_2}{\lambda(\lambda_1 - \lambda_2)} = 5~\text{км/ч}.\] Так как \(u > 0\), предположение о направлении движения пробки верно. Автомобилю, чтобы попасть в город \(B\) из города \(A\), потребуется время \(\tau = \tau_1 + \tau_2 + \tau_3\), где \(\tau_1\) — время движения с момента выезда из города \(A\) до попадания в пробку, \(\tau_2\) — время движения в пробке, \(\tau_3\) — время движения с момента выезда из пробки до прибытия в город \(B\): \[\tau_1 = \dfrac{L - l}{2(v_1 + u)} = 20~\text{мин}, \qquad \tau_2 = \dfrac{l}{v + u} = 40~\text{мин}, \qquad \tau_3 = \dfrac{L - l + 2u(\tau_1 + \tau_2)}{2 v_2} = 18~\text{мин}.\] Откуда полное время движения равно \(\tau = 78\) мин.

Подсказка

Средняя скорость — отношение пройденного пути ко времени. Там, где муха стоит, путь не меняется, а время идёт. По начальному участку с постоянной скоростью найдите масштаб оси.

Ответ

1) линия 1 (пунктирная, с вертикальным участком при \(S = 1\) м) — зависимость средней скорости от пути, линия 2 (сплошная) — зависимость от времени;  2) одному делению соответствует \(0{,}1\) м/с;  3) \(v = 1\) м/с при \(0 < t < 1\) с, \(v = 0\) при \(1 < t < 2\) с, \(v = 2\) м/с при \(2 < t < 3\) с.

Решение

1) На первом участке средняя скорость не меняется — это соответствует равномерному движению. Так как за 1 с муха пролетает 1 м, её скорость равна \(v = 1\) м/с.

2) Определим, какой график соответствует времени, а какой пути. На первом графике скачком изменяется средняя скорость (вертикальный участок). Так как время должно изменяться, первый график соответствует зависимости средней скорости от пути. Скорость на этом участке равна нулю. Рассмотрим точку \(C\) на графике: \[v_\text{ср} = v = \dfrac{S_C}{t_C} = \dfrac{v t_0 + v_2 (t - t')}{t},\] где \(t_0\) — время окончания первого участка равномерного движения (точка \(A\)), \(t'\) — время начала повторного движения мухи (точка \(B\)). Из графика получаем \(v_2 = 2v\). Для нахождения масштаба по оси скорости рассмотрим точку \(B\): \(v_\text{ср} = S_B/t_B = 0{,}5\) м/с \(= v/2\). Одному делению соответствует \(0{,}1\) м/с.

3) График зависимости скорости мухи от времени:

Подсказка

Используйте принцип виртуальных перемещений: при малом смещении нижнего шарнира верхний шарнир смещается втрое сильнее, и суммарная работа сил реакции равна нулю.

Ответ

\(m = 2\) кг;  \(M = 3\) кг;  \(N = 10\) Н.

Решение

При равновесии механической системы сумма работ действующих на систему внешних сил при любых малых виртуальных (возможных) перемещениях системы равна нулю. Так как верхний шарнир находится на высоте втрое большей высоты нижнего шарнира, то при перемещении нижнего шарнира вверх на малое расстояние \(x\) верхний шарнир переместится вверх на \(3x\).

Так как работа действующих на систему сил реакций \(N\) равна нулю, по закону сохранения энергии: \(3Tx - 3m_0 g x - Mgx = 0\), где \(T\) — сила натяжения верхней нити, \(m_0\) — масса груза, подвешиваемого к верхнему шарниру. Откуда: \(T = m_0 x + Mg/3\).

Из условия равновесия системы: \(T + 2N = m_0 g + Mg\). Сила реакции: \(N = Mg/3\) и не зависит от массы \(m_0\) подвешиваемого к верхнему шарниру груза.

При различных значениях массы \(m_0\) подвешиваемого к верхнему шарниру груза получаем систему уравнений: \[\begin{cases} T_1 = mg + \dfrac{Mg}{3}, \\[4pt] T_2 = \dfrac{mg}{2} + \dfrac{Mg}{3}. \end{cases}\] Решая данную систему уравнений, находим массы грузов и силу реакции: \[m = \dfrac{2(T_1 - T_2)}{g} = 2~\text{кг}, \qquad M = \dfrac{3(2T_2 - T_1)}{g} = 3~\text{кг}, \qquad N = \dfrac{Mg}{3} = 2T_2 - T_1 = 10~\text{Н}.\]

Подсказка

Отрыв происходит, когда реакция трубки на тело обращается в ноль. Составьте условие равновесия тела с учётом силы Архимеда и гидростатического давления жидкости на площадку контакта с трубкой.

Ответ

\(\Delta V = 140\) см\(^3\).

Решение

По закону Паскаля действие атмосферного давления на тело скомпенсировано. Поэтому в решении оно рассматриваться не будет.

При добавлении столба жидкости высотой \(H\) в трубку сила реакции со стороны трубки на тело обращается в ноль (\(N = 0\)). Условие равновесия для тела имеет вид: \(mg - F - pS - N = 0\), где \(F\) — сила, действующая со стороны жидкости в сосуде на тело, \(p\) — гидростатическое давление в трубке под телом.

На тело жидкость действует с силой Архимеда \(F_\text{А} = \rho g V\), за вычетом силы гидростатического давления на площадку \(S\) снизу в месте контакта с трубкой. Поэтому \(F = F_\text{А} - 3\rho g h S\).

Подставив \(F\) в условие равновесия, получим: \(3\rho g V = \rho g V - 3\rho g h S + 2\rho H g S\), или \[\Delta V = HS = \dfrac{7hS}{2} = 140~\text{см}^3.\]