Максвелл, 2017/18, заключительный этап, 8 класс

Подсказка

Взвешивание колбы, заполненной водой, даёт её внутренний объём. Погружение колбы до метки в стакан с водой на весах даёт объём вместе со стеклом: вытесненная вода и есть объём колбы.

Решение

1. Установим на весы колбу и измерим её массу \(m\).

2. Обнуляем показания весов кнопкой «TARE». Заполним колбу до верху водой. Показания весов позволят найти точное значение внутреннего объёма \(V_1\) колбы.

3. Поместим стаканчик с водой на весы и погрузим в него колбу до отметки (чёрточки) на ней. При этом колба не должна касаться дна стакана. Снимем показания весов \(m_1\). Переворачиваем колбу и вновь погружаем её в стакан до той же отметки. Снимем показания весов \(m_2\). Сумма \(m_1\) и \(m_2\) позволит определить объём колбы \(V_2\), включая объём стекла.

4. Объём стекла \(V = V_2 - V_1\).

5. Плотность стекла равна \(\rho = m/V\).

Подсказка

Для последовательной цепи со светодиодом уравнение нагрузочной прямой имеет вид \(I = (U_x - U_D)/R_x\). Её пересечение с вольтамперной характеристикой даёт рабочую точку.

Ответ

\(R_0 = 1{,}1\) кОм;  1) \(R_x = 670\) Ом;  2) \(U_D\) от \(1{,}8\) В до \(1{,}9\) В.

Решение

С помощью омметра определим сопротивления резисторов, входящих в комплект: \(1{,}0\) кОм — 2 шт, \(4{,}3\) кОм, \(20\) кОм. На макетной колодке соберём цепь, представленную на рисунке. Определим полярность подключения источника питания, при которой светодиод загорается. Величину сопротивления \(R\) изменяем, создавая различные комбинации включения резисторов. Для каждого значения \(R\) измеряем напряжение на резисторе \(R\), а затем рассчитываем силу тока в цепи \(I = U_R/R\) и напряжение на диоде \(U_D = U - U_R\). Результаты измерений и расчёты представлены в таблице.

Соединяем прямой линией начало координат с точкой на вольтамперной характеристике светодиода, соответствующей силе тока \(I_0 = 1{,}8\) мА. По её наклону получаем сопротивление светодиода в этой точке \(R_0 = U_0/I_0 = 1{,}1\) кОм (здесь \(U_0\) — напряжение на светодиоде, при котором сила тока равна \(I_0\)).

Уравнение нагрузочной прямой: \(I = U_x/R_x - U_D/R_x\). Проводим на графике нагрузочную прямую, проходящую через точку \(U_x = 2{,}5\) В на оси абсцисс и точку вольтамперной характеристики, соответствующую силе тока \(I_1 = 1\) мА. Эта прямая имеет коэффициент углового наклона \(1{,}48\). Отсюда находим \(R_x = 670\) Ом.

Из графика следует, что при изменении силы тока через светодиод от \(0{,}4\) мА до \(3{,}0\) мА напряжение на нём изменяется в пределах от \(1{,}8\) В до \(1{,}9\) В.

Подсказка

Время переноса одной порции складывается из времени движения с грузом в сарай и времени возвращения налегке в овин. Минимум по массе порции ищите, выделив полный квадрат.

Ответ

1) \(\beta = 6250\) м\(\cdot\)кг\(^2\)/с;  2) \(T_\text{min} = 2320\) с \(= 38\) мин \(40\) с; порция \(\mu_1 = 75\) кг (8 заходов) или \(\mu_2 = 66{,}7\) кг (9 заходов).

Решение

Время движения Васи без сена: \(t_0 = \dfrac{L}{v} = \dfrac{Lm_0^2}{\beta}\), следовательно, \(\beta = \dfrac{Lm_0^2}{t_0} = 6250\) м\(\cdot\)кг\(^2\)/с.

Пусть мальчик переносит сено порциями массой \(\mu\) за каждый заход. Тогда время переноса одной порции сена из овина в сарай равно: \(t_{11} = \dfrac{L(m_0 + \mu)^2}{\beta}\). Затем Васе нужно вернуться обратно в овин. Это займёт у него время: \(t_{12} = \dfrac{Lm_0^2}{\beta}\). Откуда время, требуемое для переноса одной порции, равно: \[t_1 = \dfrac{L(2m_0^2 + 2m_0\mu + \mu^2)}{\beta}.\] Васе нужно совершить \(N = M/\mu\) заходов. Поэтому время переноса всего сена равно: \[T = Nt_1 = \dfrac{LM}{\beta}\left(\dfrac{2m_0^2}{\mu} + 2m_0 + \mu\right).\] Чтобы найти минимум этого времени, выделим в скобках полный квадрат: \[T = \dfrac{LM}{\beta}\left(\left(\dfrac{\sqrt{2}\,m_0}{\sqrt{\mu}} - \sqrt{\mu}\right)^2 + 2m_0(\sqrt{2} + 1)\right).\] Следовательно, при \(\mu = \sqrt{2}\,m_0\) время минимально. Значит, ему нужно сходить \(N = M/\mu = M/(\sqrt{2}\,m_0) = 8{,}49\) раз. Так как число заходов целое, проверим, какое время займут 8 и 9 заходов с порциями \(\mu_1 = 75\) кг и \(\mu_2 = 66{,}7\) кг соответственно. Эти времена оказываются одинаковыми и равными \(T_\text{min} = 2320\) с \(= 38\) мин \(40\) с. Для реализации минимального времени возможны две стратегии.

Подсказка

Давление на глубине \(x\) в широком сосуде равно весу столба выше, т.е. площади под графиком плотности от \(0\) до \(x\). После открытия крана давления в нижних точках должны сравняться, а объём жидкости сохраняется.

Ответ

1) \(p_A = 3\rho g h\), \(p_B = 2{,}5\rho g h\);  2) график \(p(x)\) — см. решение;  3) \(H = 0{,}37\,h\).

Решение

Найдём зависимость плотности жидкости в правом сосуде от координаты \(x\). Так как плотность изменяется линейно: \(\rho(x) = ax + b\). Коэффициенты \(a\) и \(b\) можно найти из уравнений: \(\rho(0) = \rho/4 = b\) и \(\rho(4h) = \rho = b + 4ah\). Получаем, что \(b = \rho/4\) и \(a = 3\rho/(16h)\).

Рассмотрим слой жидкости толщиной \(\Delta x\) на глубине \(x\). Из условия равновесия для этого слоя: \(\Delta p = \rho(x) g\,\Delta x\). Величина \(\Delta p\) пропорциональна площади заштрихованной части. А разность гидростатических давлений \(p(x) - p(0)\) пропорциональна площади под графиком на участке от \(0\) до \(x\). Полагая, что \(p(0) = 0\), получаем выражение для зависимости давления от глубины: \[p(x) = \dfrac{gx}{2}\bigl(\rho(0) + \rho(x)\bigr) = \dfrac{\rho g x}{8}\left(2 + \dfrac{3x}{4h}\right).\] Давление в точках \(A\) и \(B\) равны: \(p_A = 3\rho g h\) и \(p_B = 2{,}5\rho g h\).

Так как \(p_A > p_B\), жидкость будет перетекать из левого колена в правое. Пусть из левого колена вытекает столб жидкости высотой \(H\). Из-за несжимаемости жидкости: \(SH = 2SH_1\). Значит, в правый сосуд перетёк слой жидкости толщиной \(H_1 = H/2\). Следовательно, слой жидкости такой же толщины должен вытечь сверху. В условии равновесия давления в нижних точках равны. Найдём давление в нижней точке в правом колене \(p'_B = \rho g H/2 + p_C\). Точка \(C\) расположена в правом колене на разделе сред с постоянной и переменной плотностями.

Давление \(p_C\) находим аналогично: \[p_C = \dfrac{g}{2}\left(4h - \dfrac{H}{2}\right)\left(\rho\left(\dfrac{H}{2}\right) + \rho(4h)\right).\] Получаем: \[p'_B = \rho g h\left(\dfrac{5}{2} + \dfrac{3H}{8h} - \dfrac{3}{128}\left(\dfrac{H}{h}\right)^2\right).\] Приравнивая давления слева и справа от крана, получаем: \[\dfrac{3}{64}\left(\dfrac{H}{h}\right)^2 - \dfrac{11}{4}\,\dfrac{H}{h} + 1 = 0.\] Решение уравнения даёт: \(H/h = 58{,}3\) — побочное решение и \(H/h = 0{,}37\). Уровень жидкости сместился на \(H = 0{,}37h\).

Подсказка

При последовательном соединении через оба тепловода течёт одинаковая мощность, а разности температур складываются. Поэтому суммарную зависимость строят сложением \(\Delta t\) при одинаковом \(P\).

Ответ

1) \(P_2 = 50\) Вт;  2) \(P_3 = 94\) Вт;  3) \(P_4 = 67\) Вт;  4) \(P_5 = 60\) Вт, температура в месте соединения \(40\) °C (если \(Z\)-тепловод соединён с первым термостатом) или \(60\) °C (если со вторым).

Решение

1) Восстановим масштаб по оси мощности на графике. При разности температур \(t_1 - t_2 = 100\) °C мощность теплового потока через \(N\)-тепловод равна \(P_1 = 100\) Вт. На графике это значение соответствует сотому делению, следовательно, цена деления равна \(1\) Вт.

2) Теперь по графику находим мощность потока \(P_3\) через \(Z\)-тепловод при разности температур \(100\) °C. Из графика \(P_3 = 94\) Вт.

3) Рассмотрим случай, когда между термостатами находятся два тепловода, соединённых последовательно. В установившемся режиме мощности теплового потока через тепловоды равны, а разность температур между термостатами равна сумме разностей температур на каждом тепловоде. Получим график \(P(\Delta t)\) для последовательного соединения тепловодов, складывая разности температур при одинаковой мощности. Проделаем это для соединений \(N + N\), \(Z + Z\), \(Z + N\) и найдём мощности \(P_2\), \(P_4\), \(P_5\).

Из графика: \(P_2 = 50\) Вт, \(P_4 = 67\) Вт, \(P_5 = 60\) Вт.

Найдём температуры на стыке между тепловодами. При мощности \(P_5 = 60\) Вт разность температур на \(Z\)-тепловоде равна \(40\) °C (точка \(A\)). Если \(Z\)-тепловод соединён с первым термостатом, то температура на стыке равна \(t = 40\) °C. Если он соединён со вторым термостатом, то температура на стыке равна \(t = 60\) °C.

Подсказка

Ток через резистор \(R\) равен разности показаний амперметров. Запишите правила Кирхгофа для контуров и выразите токи через сопротивление \(R_x\) части потенциометра, которое меняется со временем.

Ответ

1) \(I_{1\min} = 12\) мА, \(I_{2\min} = 9{,}6\) мА;  2) \(l = 12\) см.

Решение

Сила тока, текущего через резистор, равна разности сил токов \(I_1\) и \(I_2\). Приравнивая напряжения на средней и верхней ветвях схемы, получим: \(I_2 R_x = (I_1 - I_2) R\).

С другой стороны, для нижнего контура \(U = I_1(R - R_x) + I_2 R_x\), откуда можно выразить токи: \[I_1 = \dfrac{U(R + R_x)}{R^2 + R_x(R - R_x)}, \qquad I_2 = \dfrac{UR}{R^2 + R_x(R - R_x)},\] где \(R_x = Rvt/l\).

Если ползунок потенциометра находится в крайнем правом положении, то общее сопротивление цепи равно \(R\). При параллельном соединении \(R_x\) и \(R\) эквивалентное сопротивление получается меньше этих двух значений, значит, общее сопротивление цепи меньше \(R\). Следовательно, минимальное значение силы тока \(I_1\) равно \(I_{1\min} = U/R = 12\) мА.

Второй ток изменяется в зависимости от характера изменения слагаемого \(R_x(R - R_x)\) в знаменателе. По свойствам параболы максимальное значение эта комбинация достигает при \(R_x = R/2\). При этом сила тока уменьшается до значения \(I_{2\min} = 4U/(5R) = 9{,}6\) мА, а затем растёт до исходного значения.

Отношение \(I_1/I_2 = 1 + R_x/R = 1 + vt/l\), откуда \(l = v/\xi = 12\) см.