Максвелл, 2018/19, региональный этап, 7 класс

Подсказка

Массу стержня найдите взвешиванием шприца со стержнем и без него. Чтобы узнать диаметр стержня, заполните шприц водой и выдавите её до упора поршня в стержень: объём вылитой воды даёт площадь кольца вокруг стержня.

Ответ

\(D = 19\) мм;  \(d = 12\) мм;  \(\rho = 2{,}8\) г/см\(^3\) \(= 2{,}8\cdot10^3\) кг/м\(^3\).

Решение

1. Взвешиваем пустой шприц: его масса \(m_0 = 12\) г.

2. Взвешиваем шприц со стержнем: его масса \(m = 26\) г. Масса стержня \(m_с = m - m_0 = 14\) г.

3. Так как длина стержня известна, определяем расстояние \(\Delta X\) между штрихами на шкале шприца в миллиметрах: \(\Delta X = 3{,}46\) мм.

4. Заполняем шприц водой до максимального деления \(V_{\text{макс}}\) и определяем массу \(m_1\) шприца с водой. Выдавливаем максимально возможное количество воды (до упора поршня в стержень) и определяем массу \(m_2\) шприца. Зная массу вылитой воды \(\Delta m = m_1 - m_2\) и, соответственно, её объём, а также расстояние, на которое переместился поршень, вычисляем площадь внутреннего сечения \(S_0\) и внутренний диаметр шприца \(D = 19\) мм.

5. Масса воды в шприце при высоте её столба, равной длине стержня, \(m_3 = m_2 - m\). Её объём \(V = m_3/\rho_0\) (здесь \(\rho_0\) — плотность воды, \(\rho_0 = 1{,}0\) г/см\(^3\)). Площадь поперечного сечения «кольца» воды высотой, равной длине стержня, \(S_1 = V/L\). Площадь сечения стержня \(S_c = S_0 - S_1\), диаметр стержня \(d = \sqrt{4S_c/\pi} = 12\) мм.

6. Объём стержня \(V_c = S_c L\). Плотность стержня \(\rho = m_с/V_c = 2{,}8\) г/см\(^3\) \(= 2{,}8\cdot10^3\) кг/м\(^3\).

Подсказка

Средняя скорость на участке \(L\) равна \(L/t_{\text{ср}}\). Постройте точки \((t_{\text{ср}}, \upsilon_{\text{ср}})\) и продлите прямую до момента \(t = 0\): скорость в этот момент соответствует шарику в начале пути.

Ответ

\(\upsilon(5) \approx 17\) см/с.

Решение

1. Запускаем шарик от самой дальней отметки \(N_1\), измеряем время \(t_1\) скатывания. Повторяем эксперимент 5 раз, вычисляем \(t_{\text{ср.1}}\). Результаты заносим в таблицу.

2. Аналогично проводим эксперимент для других отметок \(N_i\). Результаты:

3. Строим график зависимости \(\upsilon_{\text{ср.}i}\) от \(t_{\text{ср.}i}\):

4. Скорость, которую достигает шарик, преодолев из состояния покоя участок длиной 5 см (момент времени \(t = 0\) с), по графику: \(\upsilon(5) \approx 17\) см/с.

Подсказка

Найдите скорость перемещения температурной шкалы: при изменении температуры на 16 °C шкала сдвинулась на часть своей длины. Затем определите, с какой скоростью меняется плотность на каждом линейном участке графика, и переведите это в смещение плотностной шкалы.

Ответ

\(\upsilon_{\max} = 3{,}2\) см/мин.

Решение

Длина температурной шкалы \(L = 10\) см, её пределы измерения — от \(-20\) °C до \(+20\) °C. В ходе эксперимента показания шкалы температур изменялись от \(+20\) °C до \(+4\) °C. Значит, шкала сместилась на \[\Delta x_T = \dfrac{20\,^{\circ}\text{C} - 4\,^{\circ}\text{C}}{20\,^{\circ}\text{C} - (-20\,^{\circ}\text{C})}\cdot 10~\text{см} = 4{,}0~\text{см}.\] Так как шкала смещалась равномерно в течение \(\Delta\tau = 5\) мин, её скорость относительно указателя \[\upsilon_T = \dfrac{\Delta x_T}{\Delta\tau} = \dfrac{4~\text{см}}{5~\text{мин}} = 0{,}8~\text{см/мин}.\] 1) Скорость остывания \(\dfrac{\Delta T}{\Delta\tau} = 3{,}2~\dfrac{^{\circ}\text{C}}{\text{мин}}\).

2) График \(\rho(T)\):

Из графика видно, что изменение плотности линейно зависит от температуры (а значит, и от времени, так как температура меняется равномерно) на двух участках. На первом участке модуль скорости изменения \[\left|\dfrac{\Delta\rho}{\Delta\tau}\right| = \dfrac{1{,}20 - 1{,}08}{8 - 4}\cdot 3{,}2 = 0{,}096~\dfrac{\text{г/см}^3}{\text{мин}},\] а на втором \[\left|\dfrac{\Delta\rho}{\Delta\tau}\right| = \dfrac{1{,}05 - 1{,}01}{20 - 12}\cdot 3{,}2 = 0{,}016~\dfrac{\text{г/см}^3}{\text{мин}}.\] Это меньше, чем на первом участке.

Длина шкалы плотностей \(L = 10\) см, её пределы — от \(0{,}8\) г/см\(^3\) до \(1{,}2\) г/см\(^3\). Значит, максимальная по модулю скорость смещения шкалы плотностей относительно указателя будет на первом участке: \[\upsilon_\rho = \dfrac{10~\text{см}}{(1{,}2 - 0{,}8)~\text{г/см}^3}\left|\dfrac{\Delta\rho}{\Delta\tau}\right| = 2{,}4~\dfrac{\text{см}}{\text{мин}}.\] Так как шкалы движутся в противоположные стороны, их относительная скорость \[\upsilon = \upsilon_\rho + \upsilon_T = 3{,}2~\dfrac{\text{см}}{\text{мин}}.\]

Подсказка

Сравните, сколько раз Шарик бежит к дому и обратно: каждый его «туда и обратно» начинается и заканчивается у дома. Общее время движения Шарика равно времени дяди Фёдора на пути от станции до дома.

Ответ

\(S_1 = 2{,}4\) км;  \(S_2 = 1{,}2\) км;  \(S_1 - S_2 = s = 1{,}2\) км: путь \(S_1\) длиннее \(S_2\) на \(1{,}2\) км.

Решение

Первый пробег от станции до дома — единственный, который не уравновешивается встречным пробегом; все остальные отрезки, идущие к дому, компенсируются отрезками, идущими от дома. Поэтому \[S_1 - S_2 = s = 1{,}2~\text{км}.\] Пусть \(T_1\) — время, в течение которого Шарик бежит в сторону дома, а \(T_2\) — время, в течение которого он бежит в обратную сторону. Тогда \(S_1 = \upsilon_Ш T_1\), \(S_2 = \upsilon_Ш T_2\) и \[\upsilon_Ш (T_1 - T_2) = s. \tag{1}\] Сумма времён \(T_1 + T_2\) даёт общее время движения дяди Фёдора от станции до дома: \[T_1 + T_2 = \dfrac{s}{\upsilon_Ф}. \tag{2}\] Решая систему (1)–(2): \[T_1 = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{s}{\upsilon_Ф} + \dfrac{s}{\upsilon_Ш}\right) = 0{,}2~\text{ч}, \qquad T_2 = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{s}{\upsilon_Ф} - \dfrac{s}{\upsilon_Ш}\right) = 0{,}1~\text{ч}.\] Тогда \(S_1 = 2{,}4\) км, \(S_2 = 1{,}2\) км.

Подсказка

Постройте график пути второй машины относительно первой. Прямая, проведённая из начала координат с наклоном средней скорости, пересечёт график в искомых точках. Для максимума средней скорости относительно дороги сравните отношения пройденного пути и времени в разные моменты.

Ответ

\(\upsilon_{10} = 0{,}9\) км/мин;  \(t \approx 2{,}5\) мин;  \(\upsilon_{\max} = 1{,}5\) км/мин.

Решение

Построим график зависимости пути от времени для второй машины относительно первой. За \(t_0 = 10\) мин она проехала относительно первой путь \(l_0 = 9\) км, следовательно, её средняя скорость \(\upsilon_0 = 0{,}9\) км/мин. Пунктирная линия на графике соответствует движению со средней скоростью \(0{,}9\) км/мин. Видно, что график зависимости пути от времени пересекается пунктирной линией один раз, через \(t_x \approx 2{,}5\) мин после старта.

Построим для второй машины график зависимости пути от времени (движение относительно дороги). Максимальная средняя скорость \(\upsilon_{\max} = 1{,}5\) км/мин была через 4 мин после старта (на пути \(l_2 = 6\) км).

Подсказка

Средняя плотность — это отношение массы содержимого к его объёму. Запишите её для трёх случаев, обозначив неизвестные плотности кубиков; объём жидкости, вытесненной кубиками, выражается через объём кубика.

Ответ

\(\rho_3 = 1{,}8\) г/см\(^3\).

Решение

Запишем выражения для средних плотностей содержимого: \[\rho_1 = \dfrac{(V_0 - V)\rho + V\rho_{01}}{V_0} = \dfrac{4\rho + \rho_{01}}{5}, \qquad \rho_2 = \dfrac{(V_0 - V)\rho + V\rho_{02}}{V_0} = \dfrac{4\rho + \rho_{02}}{5},\] \[\rho_3 = \dfrac{(V_0 - 2V)\rho + V\rho_{01} + V\rho_{02}}{V_0} = \dfrac{3\rho + \rho_{01} + \rho_{02}}{5}.\] Здесь \(\rho_{01}\) и \(\rho_{02}\) — плотности первого и второго кубиков, \(V_0\) — объём стакана, \(V\) — объём кубика. Решая систему уравнений, получим \[\rho_3 = \rho_1 + \rho_2 - \rho = 1{,}8~\text{г/см}^3.\]