Максвелл, 2018/19, заключительный этап, 7 класс

Подсказка

Брусок, плавающий вертикально, вытесняет воду массой, равной его массе: по глубине погружения найдите массу. Монету положите на брусок и сравните глубину погружения с и без монеты. Толщину и диаметр монеты удобно измерить методом рядов.

Ответ

\(\rho_{\text{д}} = 0{,}53\) г/см\(^3\);  \(m_{\text{д}} = 6{,}2\) г;  \(\rho_{\text{м}} = 6{,}2\) г/см\(^3\);  \(m_{\text{м}} = 3{,}1\) г.

Решение

Определим размеры деревянного бруска: толщина \(a = 10\) мм, ширина \(b = 19{,}5\) мм, длина \(c = 60\) мм, объём \(V = 11{,}7\) см\(^3\). Массу бруска \(m\) найдём по высоте \(h\) уровня воды в стакане, при которой всплывает вертикально стоящий брусок, \(h = 32\) мм. Тогда \[m = hab\rho_0 = 6{,}2~\text{г},\] где \(\rho_0 = 1{,}0\) г/см\(^3\) — плотность воды. Плотность бруска \(\rho = m/V = 0{,}53\) г/см\(^3\).

Массу монеты \(M\) определим по высоте \(H = 48\) мм уровня воды в стакане, при котором всплывает деревянный брусок с лежащей на нём монетой: \[M = (H - h)ab\rho_0 = 3{,}1~\text{г}.\] Диаметр монеты \(D\) измеряем методом рядов. На длине линейки умещается три монеты: \(3D = 62\) мм, \(D = 20{,}7\) мм. Толщину монеты \(d\) определяем так же, сложив в стопку 10 монет: \(10d = 15\) мм, \(d = 1{,}50\) мм. Объём монеты \(V_{\text{м}} = \dfrac{\pi D^2}{4}\,d = 0{,}50\) см\(^3\). Плотность монеты \(\rho_{\text{м}} = M/V_{\text{м}} = 6{,}2\) г/см\(^3\).

Подсказка

Рассмотрите равновесие уголка как рычага относительно края стола: момент силы тяжести большой гайки должен уравновешивать момент малой гайки с добавкой \(\Delta F\). Из этого равенства \(\Delta F\) выражается через \(L\) и \(h\).

Ответ

\(m = 4{,}6\) г;  \(\beta = 1{,}9\) (теоретическое значение \(\beta = 2\)).

Решение

Определим массу \(m\) маленькой гайки, используя уголок в качестве рычага, а край стола как ось вращения. Большая гайка служит эталонной массой. Проще, если центр масс уголка находится на краю стола. Измеряя плечи и обрабатывая результаты, получим: \(m = 4{,}6\) г.

Прикрепим линованный лист бумаги к уголку. Привяжем гайку массой \(m\) к краю уголка таким образом, чтобы длина нити оказалась \(R = 20\) см. Привяжем к гайке короткую нить. На рисунке приведены используемые далее обозначения.

Определим положение центра масс (точка \(O\)) уголка с прикреплённым к нему листом линованной бумаги. При всех дальнейших измерениях эта точка располагается на краю стола, чтобы в расчётах не учитывалась масса уголка. Расстояние от свисающего края уголка до точки \(O\) равно \(l = 24\) см.

Расположим большую гайку на расстоянии \(L\) от оси вращения. Поднимем малую гайку за короткую нить на высоту \(h\), обеспечив натяжение длинной нити. Отпустим гайку и будем наблюдать за концом уголка, лежащим на столе. Если в момент прохождения гайкой нижней точки траектории произойдёт отрыв уголка от стола, уменьшим начальную высоту подъёма. Если отрыва не происходит, увеличим начальную высоту подъёма гайки. Так можно определить граничное значение \(h\) для данного \(L\). Снимем зависимость \(h(L)\):

Согласно правилу моментов, отрыв уголка от стола происходит при \[(mg + \Delta F)\, l = MgL,\] откуда \[\Delta F = \dfrac{MgL}{l} - mg.\] Занесём в таблицу значения \(\Delta F\), вычисленные по этой формуле, и построим график зависимости \(\Delta F(h)\):

Согласно условию \(\Delta F = \left(\beta\dfrac{mg}{R}\right) h + B\). Отсюда \[\beta = \dfrac{\Delta F/\Delta h \cdot R}{mg},\] где \(\Delta F/\Delta h\) — угловой коэффициент приведённого выше графика. Подставляя значения величин, получаем \(\beta = 1{,}9\). Теоретическое значение \(\beta = 2\).

Подсказка

Выразите длину дистанции через \(v\tau\) по условию обгона, затем найдите границы для длины второго участка, рассмотрев крайние случаи обгона на финише и в момент \(\tau\).

Ответ

\(\dfrac{3v\tau}{7} < s_2 < \dfrac{3v\tau}{4}\);  \(t_0 = \dfrac{\tau}{7}\).

Решение

Пусть \(s\) — длина всей дистанции. Путь, пройденный смешариками до момента первого обгона, равен \(v\tau\). Отрезок пути, равный \(s/4\), Крош бежал со скоростью \(0{,}8v\), а оставшийся участок — со скоростью \(1{,}5v\), поэтому \[\dfrac{s/4}{0{,}8v} + \dfrac{v\tau - s/4}{1{,}5v} = \tau \quad\Rightarrow\quad s = \dfrac{16}{7}\,v\tau.\] Общее время движения Бараша равно \(T = 16\tau/7\), а время движения Кроша на первом участке \(t_1 = \dfrac{s/4}{0{,}8v} = \dfrac{5\tau}{7}\).

Длина второго участка будет максимальной, когда Бараш обгонит Кроша практически на самом финише. Пусть \(s_2\) — длина второго участка. Тогда \[\dfrac{s_2}{1{,}5v} + \dfrac{\frac{3}{4}s - s_2}{0{,}9v} = \dfrac{11}{7}\tau \quad\Rightarrow\quad s_2 = \dfrac{3v\tau}{4}.\] Длина второго участка минимальна, когда Крош закончит движение со скоростью \(1{,}5v\) в момент обгона Бараша (в момент времени \(\tau\)). Поэтому минимальная длина второго участка равна \(v\tau - s/4 = 3v\tau/7\).

Отставание Кроша от Бараша будет максимальным, когда \(s_2\) будет минимальным. Оставшийся путь до финиша составляет \(9v\tau/7\). Максимальное время \(t_0\) равно \[t_0 = \dfrac{9v\tau/7}{0{,}9v} - \dfrac{9v\tau/7}{v} = \dfrac{10\tau}{7} - \dfrac{9\tau}{7} = \dfrac{\tau}{7}.\]

Подсказка

Масса содержимого растёт линейно со временем, а объём равен массе, делённой на плотность. Разбейте график плотности на участки постоянной и линейно меняющейся плотности и для каждого найдите объём и скорость поршня.

Ответ

\(v_{\max} = 10\) см/с;  \(v_{\min} = 0\);  \(\tau = 21\) с.

Решение

Ответ: \(v_{\max} = 10\) см/с; \(v_{\min} = 0\) см/с; \(\tau = \dfrac{\rho_3 V}{\mu} = 21\) с.

Рассмотрим все три участка графика.

1. На первом плотность пены постоянна и равна \(\rho_1 = 0{,}1\) г/см\(^3\). Объём пены в этом случае изменяется по закону \(V_1(t) = \dfrac{\mu t}{\rho_1} = 1000\,\dfrac{\text{см}^3}{\text{с}}\cdot t\). Так как объём изменяется равномерно, скорость, с которой движется поршень, равна \(v_1 = \dfrac{\mu}{\rho_1 S} = 10\) см/с.

2. На втором участке плотность пены изменяется линейно по закону \(\rho_2(t) = 0{,}02\,\dfrac{\text{г}}{\text{см}^3\cdot\text{с}}\cdot t\). Для этого случая \(V_2(t) = \dfrac{\mu t}{\rho_2(t)} = 5000\) см\(^3\). Так как на этом участке объём постоянен, скорость движения поршня равна нулю.

3. На третьем участке плотность пены постоянна и равна \(\rho_3 = 0{,}3\) г/см\(^3\). Рассматривая этот случай аналогично первому, находим, что скорость движения поршня составляет \(v_3 = \dfrac{\mu}{\rho_3 S} = 3{,}3\) см/с.

В результате минимальная скорость поршня равна нулю, а максимальная — 10 см/с. Объём пены \(V = 7\) дм\(^3 = 7000\) см\(^3\) превышает объём \(V_2\) на втором участке, поэтому в момент времени \(\tau\) плотность пены равна \(\rho_3 = 0{,}3\) г/см\(^3\). Отсюда \[\tau = \dfrac{m}{\mu} = \dfrac{\rho_3 V}{\mu} = 21~\text{с}.\]

Подсказка

Пока поршни прижаты друг к другу, они движутся как одно целое. Контакт между ними исчезает, когда давление жидкости на каждый поршень уравновешивает силу упругости его пружины.

Ответ

\(p_1 = p_0/6\);  \(V_{\text{а}} = lS/20\);  \(V_{\text{б}} = 11lS/12\).

Решение

В исходном положении без жидкости обе пружины сжаты на \(l/4\), и поршни упираются друг в друга. При закачивании первых порций жидкости оба поршня движутся вправо, сохраняя контакт. Пусть \(x\) — смещение поршней. Условие равновесия системы: \[k\left(\dfrac{l}{4} - x\right) + p(2S - S) = k\left(\dfrac{l}{4} + x\right),\] откуда \(p = \dfrac{2kx}{S} = \dfrac{2p_0 V}{V_0}\), где \(p_0 = \dfrac{kl}{S}\), \(V_0 = lS\).

Контакт между поршнями исчезает, если сила давления жидкости на поршни равна силе упругости соответствующих пружин. Это происходит при смещении поршней вправо на расстояние \(x_1\) при давлении \(p_1\): \[p_1 S = k\left(\dfrac{l}{4} - x_1\right), \qquad p_1 \cdot 2S = k\left(\dfrac{l}{4} + x_1\right) \quad\Rightarrow\quad p_1 = \dfrac{kl}{6S} = \dfrac{p_0}{6}, \quad x_1 = \dfrac{l}{12}.\] Объём, занятый жидкостью, при этом составляет \(V_1 = Sx_1 = \dfrac{V_0}{12}\).

На следующем этапе поршни разъезжаются в разные стороны. Пусть \(y_1\) и \(y_2\) — смещения левого и правого поршня соответственно. Условия равновесия поршней: \[pS = k\left(\dfrac{l}{4} + y_1\right), \qquad p\cdot 2S = k\left(\dfrac{l}{4} + y_2\right) \quad\Rightarrow\quad 2y_1 - y_2 = -\dfrac{l}{4}.\] Объём залитой воды при этом равен \(V = Sy_1 + 2Sy_2\), поэтому \[y_1 = l\left(\dfrac{V}{5V_0} - \dfrac{1}{10}\right), \qquad y_2 = l\left(\dfrac{2V}{5V_0} + \dfrac{1}{20}\right).\] Отсюда давление жидкости в сосуде равно \[p = \dfrac{k}{S}\left(\dfrac{l}{4} + y_1\right) = p_0\left(\dfrac{V}{5V_0} + \dfrac{3}{20}\right).\]

Используя полученные формулы, определим объёмы закачанной жидкости. Давление \(p_0/10 < p_1\) соответствует первому случаю: \[\dfrac{p_0}{10} = \dfrac{2p_0 V_{\text{а}}}{V_0} \quad\Rightarrow\quad V_{\text{а}} = \dfrac{V_0}{20} = \dfrac{lS}{20}.\] Значение давления \(p_0/3 > p_1\) соответствует второму случаю: \[\dfrac{p_0}{3} = p_0\left(\dfrac{V_{\text{б}}}{5V_0} + \dfrac{3}{20}\right) \quad\Rightarrow\quad V_{\text{б}} = \dfrac{11V_0}{12} = \dfrac{11lS}{12}.\]

Подсказка

Работа силы за цикл равна площади под замкнутой кривой на графике \(F(x)\). Сравните силы в точках цикла с наибольшей и наименьшей деформацией пружины: их отношение задано условием.

Ответ

\(\Delta l_{\min} = 4\) см;  \(k = F_0/\Delta l_{\min} = 250\) Н/м.

Решение

Ответ: \(\Delta l_{\min} = 4\) см; \(k = \dfrac{F_0}{\Delta l_{\min}} = 250\) Н/м.

Максимальная и минимальная силы упругости пружины отличаются в 3 раза, следовательно, минимальная деформация в 3 раза меньше максимальной и составляет \(\Delta l_{\min} = 4\) см. При этом на участке 1–2 конец пружины, к которому приложена сила \(F\), смещается на 2 см. Из этого следует, что противоположный конец пружины на участке 1–2 также смещается (на 6 см).

Работа \(A\) силы \(F\) за цикл пропорциональна площади внутри цикла и в условных единицах составляет \(F_0 \cdot 5\) см. Это позволяет найти значение силы \(F_0 = 10\) Н и коэффициент жёсткости пружины \(k = F_0/\Delta l_{\min} = 250\) Н/м.

Координаты середины пружины можно найти по формуле \[x_c = x - 0{,}5\,(l_0 + \Delta l), \qquad \text{где удлинение } \Delta l = F/k.\] График зависимости \(x_c(x)\):