зад 1 UnCl
Экспериментатор Глюк решил исследовать растворимость нового вещества — хлорида унобтания (UnCl). Для этого он стал добавлять с постоянным массовым расходом \(\mu\) порошок UnCl в мерный сосуд с \(V_0 = 100\) мл воды, постоянно помешивая раствор.
На рис. 4 изображен график зависимости плотности раствора UnCl от концентрации (массы растворенного вещества в литре воды), полученный британскими коллегами Глюка. При концентрации \(n_0 = 750\) г/л хлорид унобтания перестает растворяться в воде. Плотность кристаллического UnCl \(\rho_{\text{кр}} = 2{,}5\) г/см\(^3\), плотность воды \(\rho_0 = 1{,}0\) г/см\(^3\).
Определите массу насыпанного порошка UnCl, когда объем содержимого мерного сосуда стал равен: а) \(110\) мл; б) \(150\) мл.
Определите массовый расход \(\mu\) (выразив его в г/с), если в начале эксперимента объем содержимого мерного сосуда увеличивался со скоростью \(0{,}10\) мл/с.
▶ПодсказкаСкрыть
Сначала выясните, насыщен ли раствор при \(110\) мл. Для второго пункта запишите плотность раствора при малой массе порошка и сравните с наклоном графика в начале координат.
▶ОтветСкрыть
1) а) \((46 \pm 1)\) г; б) \(137{,}5\) г; 2) \(\mu = 0{,}6\) г/с.
▶РешениеСкрыть
1. Объем насыщенного раствора (75 г UnCl в 100 мл воды, при \(n_0 = 750\) г/л): \(V_{\text{нас}} = \dfrac{175~\text{г}}{1{,}4~\text{г/см}^3} = 125\) см\(^3\).
а) В первом случае \(V < V_{\text{нас}}\). Пусть \(m\) — масса засыпанного порошка UnCl. Плотность раствора \(\rho = \dfrac{m_{\text{воды}} + m}{V} = \dfrac{100~\text{г} + m}{110~\text{см}^3} = \dfrac{100~\text{г} + 0{,}1~\text{л}\cdot n}{110~\text{см}^3}\). Построив прямую, задаваемую этим уравнением, и найдя точку ее пересечения с графиком \(\rho(n)\), получаем \(\rho = 1{,}325\) г/см\(^3\). Соответственно масса UnCl \(m = (46 \pm 1)\) г.
б) Во втором случае \(V > V_{\text{нас}}\): \(125\) см\(^3\) составляет насыщенный раствор, а остальные \(V_{\text{осад}} = 25\) см\(^3\) — нерастворившиеся кристаллы UnCl. Их масса \(m_{\text{осад}} = \rho_{\text{кр}}V_{\text{осад}} = 62{,}5\) г. Итоговая масса UnCl, насыпанного в сосуд, \(m = 75\) г \(+ 62{,}5\) г \(= 137{,}5\) г.
2. Пусть \(v\) — скорость увеличения объема раствора. Масса порошка в момент времени \(t\) равна \(m = \mu t\), объем раствора \(V = V_0 + vt\). Разность плотностей раствора и чистой воды: \[\rho - \rho_0 = \frac{\mu t - \rho_0 v t}{V} \approx \frac{(\mu - \rho_0 v)\,t}{V_0}\] (при малом \(t\) объем в знаменателе не отличается от \(V_0\)). С другой стороны, при малой массе порошка \(\rho - \rho_0 = kn = k\mu t/V_0\), где \(k\) — наклон касательной к кривой \(\rho(n)\) при \(n = 0\); по графику \(k = 5/6\). Приравнивая, получаем \(\dfrac{5}{6}\mu = \mu - \rho_0 v\), откуда \(\mu = 6\rho_0 v = 0{,}6\) г/с.
зад 2 Вторая ступень
На рис. 5 приведена схема очень длинной подвесной лестницы. Массы каждой из двух первых ступеней равны \(m\), а в последующих парах массы ступеней уменьшаются в два раза по отношению к предыдущим (\(m/2\), \(m/4\), \(m/8\), …). Определите силы натяжения тросов \(T_1\), \(T_2\) и \(T_3\), действующих на вторую ступень, считая все ступени однородными, а тросы легкими. На рис. 5 каждая ступень разделена на четыре одинаковые части.
▶ПодсказкаСкрыть
Нижняя часть лестницы устроена так же, как вся лестница, но имеет в два раза меньшую массу. Запишите правило моментов для двух ступеней относительно одного и того же края.
▶ОтветСкрыть
\(T_1 = \dfrac{11}{17}\,mg\); \(T_2 = \dfrac{14}{17}\,mg\); \(T_3 = \dfrac{8}{17}\,mg\).
▶РешениеСкрыть
Рассмотрим силы, действующие на первую (верхнюю) и вторую ступени лестницы (см. рис.). Запишем в каждом случае правило моментов относительно левого края ступени: \[\begin{cases} T_2\,l + mg\cdot 2l = T_0\cdot 3l, \\ T_3\,l + mg\cdot 2l = T_2\cdot 3l, \end{cases}\] где \(l\) — длина одного деления ступени. Так как оставшаяся часть лестницы эквивалентна исходной конструкции, но имеет в 2 раза меньшую массу, \(T_0 = 2T_3\). В результате получаем систему \[\begin{cases} T_2 + 2mg = 6T_3, \\ T_3 + 2mg = 3T_2. \end{cases}\] Решая ее, получаем \(T_2 = \dfrac{14}{17}\,mg\), \(T_3 = \dfrac{8}{17}\,mg\). Силу \(T_1\) находим из условия равновесия второй ступени: \(T_1 = T_3 + mg - T_2 = \dfrac{11}{17}\,mg\).
зад 3 Лед
На столе стоит высокий цилиндрический сосуд с водой, в котором с помощью закрепленной на дне нити удерживается полностью погруженная в воду льдинка. На поверхности воды плавает небольшой плотик с встроенным термометром (см. рис. 6 слева). Система находится в тепловом равновесии. В сосуд начинают добавлять горячую воду при температуре \(t_1 = 99\,^\circ\)C с массовым расходом \(\mu = 2{,}0\) г/с.
Считая процессы теплообмена быстрыми, постройте качественный график зависимости скорости подъема верхней границы столбика жидкости термометра относительно стола от времени, указав на нем характерные точки. Вода из сосуда не выливается. Потерями тепла, теплоемкостью термометра и плотика можно пренебречь. Площадь дна сосуда \(S = 20\) см\(^2\). Вначале в сосуде было \(m = 400\) г воды, а сила натяжения нити равнялась \(T = 0{,}07\) Н. Во время таяния лед не всплывал. На рис. 6 справа приведен укрупненный фрагмент шкалы термометра, к которой приложена линейка.
Удельная теплоемкость воды \(c_0 = 4200\) Дж/(кг\(\cdot{}^\circ\)C), удельная теплота плавления льда \(\lambda = 330\) кДж/кг, плотность льда \(\rho = 0{,}9\) г/см\(^3\), плотность воды \(\rho_0 = 1{,}0\) г/см\(^3\), ускорение свободного падения \(g = 10\) Н/кг.
▶ПодсказкаСкрыть
Пока лед тает, температура содержимого сосуда остается нулевой, а уровень воды меняется из-за разной плотности льда и воды. Что меняется после того, как весь лед растаял?
▶ОтветСкрыть
См. график в решении: скорость подъема границы \(v_1 = 0{,}86\) мм/с до момента \(25\) с, затем скачок до \(v_3 = 2{,}16\) мм/с и плавное уменьшение до \(v_2 = 1{,}0\) мм/с.
▶РешениеСкрыть
1. Начальная масса льда \(m_0\) из условия равновесия льдинки: \(T + m_0 g = \rho_0 V g\), где \(V = m_0/\rho\). Отсюда \(m_0 = \dfrac{T\rho}{(\rho_0 - \rho)g} = 63\) г.
2. Вначале все тепло, отводимое от горячей воды, идет на плавление льда, температура содержимого остается \(0\,^\circ\)C, и столбик термометра неподвижен относительно поверхности воды. Уравнение теплового баланса: \(c_0\mu\tau\,(t_1 - 0\,^\circ\text{C}) = \lambda\,\Delta m_{\text{л}}\). Поскольку плотность воды больше плотности льда, объем превратившегося в воду льда уменьшится на \[\Delta V = \Delta m_{\text{л}}\left(\frac{1}{\rho} - \frac{1}{\rho_0}\right) = \frac{c_0\mu\tau\,t_1(\rho_0 - \rho)}{\lambda\rho_0\rho}.\] Объем добавленной за время \(\tau\) воды равен \(\mu\tau/\rho_0\), поэтому общее изменение объема \(\Delta V_{\text{общ}} = \dfrac{\mu\tau}{\rho_0}\left(1 - \dfrac{c_0 t_1(\rho_0 - \rho)}{\lambda\rho}\right)\). Скорость подъема уровня воды, а с ним и границы столбика термометра: \(v_1 = \dfrac{\mu}{\rho_0 S}\left(1 - \dfrac{c_0 t_1(\rho_0 - \rho)}{\lambda\rho}\right) = 0{,}86\) мм/с.
Процесс завершится, когда весь лед растает, через время \(\tau_{\max} = \dfrac{\lambda m_0}{c_0\mu t_1} = 25\) с. Общая масса воды в сосуде к этому моменту \(m_{\text{общ}} = m + m_0 + \mu\tau_{\max} = 513\) г.
3. После того как весь лед растает, уровень воды будет расти только за счет добавления горячей воды: \(v_2 = \dfrac{\mu}{\rho_0 S} = 1\) мм/с.
4. Кроме этого, из-за повышения температуры содержимого сосуда столбик термометра поднимается относительно поверхности воды. Эта скорость максимальна в начале процесса и равна нулю при нагреве содержимого до температуры \(t_1\). Из уравнения теплового баланса \(c\mu\Delta\tau\,(t_1 - t_{\text{уст}}) = c\,m_{\text{общ}}\,(t_{\text{уст}} - 0\,^\circ\text{C})\) при малом \(\Delta\tau\) получаем \(t_{\text{уст}} = \dfrac{\mu\,\Delta\tau\,t_1}{m_{\text{общ}}}\). По рисунку шкалы повышение температуры на \(1\,^\circ\)C дает подъем столбика на \(3\) мм, поэтому скорость подъема столбика относительно поверхности воды \(v_{\text{ст}} = \dfrac{3~\text{мм}/^\circ\text{C}\cdot\mu t_1}{m_{\text{общ}}} = 1{,}16\) мм/с.
5. Скорость подъема верхней границы столбика относительно стола: а) в начале нагрева \(v_3 = v_2 + v_{\text{ст}} = 2{,}16\) мм/с; б) в конце нагрева \(v_2 = 1{,}0\) мм/с.
зад 4 Мост
В электрической цепи, содержащей источник постоянного тока \(I_0\) (см. рис. 7), на двух одинаковых резисторах выделяется мощность \(P = 0{,}5\) Вт, а на двух других — мощности \(2P\) и \(P_{\text{x}}\). При этом через идеальный амперметр протекает ток силой \(I_{\text{А}} = 25\) мА. Определите значение мощности \(P_{\text{x}}\), сопротивления всех резисторов и напряжения на них. Найдите значение \(I_0\) источника.
Примечание: источником постоянного тока называют активный элемент электрической цепи, через который протекает ток силой \(I_0\), при подключении к нему резисторов с различными в широком диапазоне сопротивлениями.
▶ПодсказкаСкрыть
Идеальный амперметр соединяет две точки с одинаковым потенциалом. Какие пары резисторов в такой схеме проводят одинаковые токи?
▶ОтветСкрыть
\(P_{\text{x}} = 1\) Вт; сопротивления резисторов мощностью \(P\) — \(800\) Ом, резисторов \(2P\) и \(P_{\text{x}}\) — \(400\) Ом; напряжение на резисторах \(20\) В; \(I_0 = 75\) мА.
▶РешениеСкрыть
Так как амперметр идеальный, мощности, выделяющиеся на двух одинаковых резисторах, равны, значит, через них текут одинаковые токи \(I_1\) и падения напряжения на них равны половине разности потенциалов на источнике. Но тогда равны мощности и на двух оставшихся резисторах, так как через них текут тоже одинаковые токи \(I_0 - I_1\).
Так как по условию мощности отличаются в 2 раза, то токи и сопротивления резисторов отличаются тоже в 2 раза. Откуда \(I_1 = I_{\text{А}} = I_0/3\). Тогда \(I_0 = 75\) мА.
Напряжение на резисторах одинаково и равно \(U = P/I_1 = 20\) В, а сопротивления резисторов \(R_1 = U/I_1 = 800\) Ом, \(R_2 = 400\) Ом.
зад 5 Пикнометр
Оборудование: пикнометр; весы электронные (погрешность \(0{,}03\) г); секундомер; шприц объемом \(20\) мл; шприц объемом \(5\) мл; пластиковый стакан с водой (комнатной температуры); пустой пластиковый стакан, термометр; штатив деревянный; две банковские резинки для крепления термометра, полоска миллиметровой бумаги; полоска скотча; три листа миллиметровой бумаги формата А5 для построения графиков, лупа, горячая вода по требованию.
Часть 1. Плотность воды при комнатной температуре.
Измерьте плотность воды при комнатной температуре. Повторите измерения еще 2 раза. Усредните полученные результаты. Занесите полученные данные в лист ответов, указав измеренное значение комнатной температуры.
Кратко опишите методику измерений.
Часть 2. Зависимость плотности воды от температуры. В этой части задания вам предлагается исследовать температурную зависимость плотности \(\rho\) воды, а также зависимость показаний термометра \(t\) от времени \(\tau\). Придумайте и опишите способ повышения точности измерений плотности \(\rho\) воды.
В целях экономии времени пункты 1 и 2 выполняйте одновременно. Для остывающей воды снимите:
Зависимость показаний \(\tau\) секундомера от температуры воды \(t\) при ее изменении на \(1\,^\circ\)C;
Зависимость показаний \(t\) термометра от высоты \(h\) столба воды (над риской пикнометра) через каждый миллиметр.
Полученные результаты занесите в таблицы на листе ответов. Постройте графики зависимости \(t(\tau)\) и \(\rho(t)\).
Примечание: тепловым расширением стекла можно пренебречь.
Часть 3. Температурный коэффициент объемного расширения. Температурным коэффициентом объемного расширения называется величина \[\alpha = \frac{1}{V}\,\frac{\Delta V}{\Delta t},\] где \(\Delta V\) — изменение объема \(V\) воды при изменении температуры на \(\Delta t\). Определите температурный коэффициент объемного расширения \(\alpha\) воды, соответствующий температуре воды \(55\,^\circ\)C.
Часть 4. Скорость роста температуры. Определите при помощи графика зависимости \(t(\tau)\) скорости изменения температуры воды \(v = \dfrac{\Delta t}{\Delta\tau}\) при температурах воды \(60\,^\circ\)C и \(45\,^\circ\)C.
Примечание: 1. Пикнометр — стеклянный сосуд специальной формы и определенной вместимости, применяемый для измерения плотности веществ (фото слева). Вам выдан пикнометр вместимостью \(V = 50\) мл. Этому объему соответствует риска на горловине прибора. 2. Способ крепления термометра к штативу показан на фото справа (см. рис. 4).
▶ПодсказкаСкрыть
Для плотности нужны масса и объем воды в пикнометре; объем меняется из-за уровня воды в трубке. Для коэффициента используйте наклон зависимости объема от температуры.
▶ОтветСкрыть
Часть 1: \(\rho = 0{,}9978\) г/см\(^3\) (при комнатной температуре \(22\,^\circ\)C); часть 3: \(\alpha = 4{,}6\cdot 10^{-4}\) \(^\circ\)C\(^{-1}\) (при \(55\,^\circ\)C); часть 4: \(v \approx 0{,}02\) \(^\circ\)C/с при \(60\,^\circ\)C и \(v \approx 0{,}01\) \(^\circ\)C/с при \(45\,^\circ\)C.
▶РешениеСкрыть
Часть 1. Расчетная формула \(\rho = \dfrac{m_i - m_{\text{п}}}{V}\), где \(m_{\text{п}} = 25{,}90\) г — масса пустого пикнометра, \(V = 50{,}0\) см\(^3\), \(m_i\) — масса пикнометра с водой. Комнатная температура \(t_{\text{к}} = 22\,^\circ\)C.
Часть 2. Расчетная формула \(\rho = \dfrac{m - m_{\text{п}}}{V_0 - S(h_0 - h)}\), где \(m\) — масса пикнометра с водой при \(30\,^\circ\)C, \(V_0 = 50\) мл, \(h_0 = 24\) мм, \(S = 0{,}71\) см\(^2\) — площадь сечения трубки с термометром, \(S_{\text{п}} = 1{,}0\) см\(^2\) — площадь сечения трубки пикнометра без термометра, \(m = 74{,}8\) г.
Часть 3. По данным измерений построим зависимость объема воды от температуры и по угловому коэффициенту наклона при \(t = 55\,^\circ\)C найдем \(\alpha = 4{,}6\cdot 10^{-4}\) \(^\circ\)C\(^{-1}\).
Часть 4. Скорости изменения температуры найдем из графика \(t(\tau)\) по касательным в интересующих точках; угловые коэффициенты касательных дают \(\left(\dfrac{\Delta t}{\Delta\tau}\right)_{60\,^\circ\text{C}} \approx 0{,}02\) \(^\circ\)C/с и \(\left(\dfrac{\Delta t}{\Delta\tau}\right)_{45\,^\circ\text{C}} \approx 0{,}01\) \(^\circ\)C/с.
зад 6 Исследование транзистора
Транзистор — это полупроводниковый элемент с тремя выводами (база, эмиттер, коллектор), который в этом задании используется для усиления тока. На рисунке слева показаны обозначения этих выводов на электрических схемах. На рисунке справа показано, как определить выводы выданного вам транзистора.
Оборудование: круглая батарейка АА с проводами; батарейка типа «Крона» с проводами; мультиметр с отключенным режимом амперметра (погрешность \(1\,\%\) + 2 ед. последнего разряда) с проводами; макетная плата; потенциометр (переменный резистор с тремя выводами); транзистор; два резистора; 4 провода для коммутации; лист миллиметровой бумаги формата А5 (для построения графика).
Примечание: макетная плата (рис. 6) используется для сборки электрической цепи, подключения к ней источников питания и измерительных приборов. Каждые пять соседних гнезд макетной платы, расположенные в одном ряду, внутри платы соединены между собой. Например, соединены выводы, отмеченные на рисунке справа серым цветом.
Задание:
Измерьте сопротивления выданных вам постоянных резисторов. Запишите полученные значения в лист ответов (\(R_1 > R_2\)).
Соберите цепь (см. рис. 7) с источником питания и потенциометром. Убедитесь, что при вращении ручки потенциометра показания вольтметра изменяются в диапазоне от \(0\) до \(1\) В.
Соберите электрическую цепь согласно схеме, изображенной на рисунке 8. Изменяя потенциометром напряжение между базой и эмиттером, снимите зависимость силы тока \(I_{\text{К}}\) в цепи коллектора (ток, текущий через резистор \(R_2\)) от силы тока \(I_{\text{Б}}\) в цепи базы (ток, текущий через резистор \(R_1\)). Выполните \(20\) измерений тока коллектора \(I_{\text{К}}\) в диапазоне значений от \(0\) до максимального значения. Результаты измерений занесите в таблицу в листе ответов. Постройте на миллиметровой бумаге график зависимости \(I_{\text{К}}\) от тока базы \(I_{\text{Б}}\).
Определите коэффициент усиления по току \(\beta = \dfrac{I_{\text{К}}}{I_{\text{Б}}}\) при \(I_{\text{К}} = 4\) мА.
Током насыщения называется максимальная сила тока в цепи коллектора. Определите ток насыщения \(I_{\text{нас}}\).
▶ПодсказкаСкрыть
Коэффициент усиления — отношение токов коллектора и базы на линейном участке графика \(I_{\text{К}}(I_{\text{Б}})\). Ток насыщения — значение, при котором график перестает расти.
▶ОтветСкрыть
1) \(R_1 = 4{,}7\) кОм, \(R_2 = 1{,}0\) кОм; 4) \(\beta \approx 130\); 5) \(I_{\text{нас}} = 8{,}8\) мА.
▶РешениеСкрыть
Таблица измерений (21 строка: \(U_1\), \(I_{\text{Б}}\), \(U_2\), \(I_{\text{К}}\)) и график \(I_{\text{К}}(I_{\text{Б}})\) — см. рисунки. На линейном участке графика при \(I_{\text{К}} = 4\) мА ток базы \(I_{\text{Б}} \approx 31\) мкА, поэтому \(\beta = I_{\text{К}}/I_{\text{Б}} \approx 130\). При дальнейшем росте \(I_{\text{Б}}\) ток коллектора выходит на насыщение: \(I_{\text{нас}} \approx 8{,}8\) мА.
Источник: Олимпиада имени Дж. К. Максвелла, 2018/19, заключительный этап, 8 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.