Максвелл, 2021/22, региональный этап, 7 класс

Подсказка

Массу капли удобнее найти не взвешиванием одной капли, а по объёму вытекшей воды и её плотности: сосчитайте, сколько капель вытекает из шприца при отмеренном объёме. График \(m(d)\) проходит через начало координат, поэтому \(k\) — его наклон.

Ответ

3) \(k = 2{,}4\cdot10^{-2}\) кг/м (то же: \(2{,}4\cdot10^{1}\) г/м);  4) \(m_x = 4{,}8\cdot10^{-6}\) кг.

Решение

Наберём в шприц воды, наденем на его наконечник одну из игл и расположим иглу вертикально над стаканом. Медленно нажимая на шток поршня, подсчитаем число капель, соответствующее освободившемуся объёму шприца, например \(1\) мл. Зная объём вытекшей воды и её плотность, найдём массу соответствующего числа капель, а по ней — среднюю массу капли для иглы данного диаметра. Измерения для каждой иглы проводим многократно и результаты усредняем. Если давление на поршень превысит необходимое, вместо капель вытечет струйка, и измерение придётся начать сначала.

Результаты авторских измерений: при \(d = 0{,}34\) мм число капель \(n = 122\), масса \(M = 1{,}00\) г, средняя масса капли \(\bar m = 0{,}82\cdot10^{-2}\) г; при \(d = 0{,}41\) мм \(n = 100\), \(M = 1{,}00\) г, \(\bar m = 1{,}00\cdot10^{-2}\) г; при \(d = 0{,}51\) мм \(n = 82\), \(M = 1{,}00\) г, \(\bar m = 1{,}22\cdot10^{-2}\) г. Точка \(d = 0\), \(m = 0\) тоже принадлежит графику.

Строим график \(m(d)\):

Из графика находим \[k = \dfrac{m}{d} = 2{,}4\cdot10^{1}~\dfrac{\text{г}}{\text{м}} = 2{,}4\cdot10^{-2}~\dfrac{\text{кг}}{\text{м}}.\] Для иглы с внутренним диаметром \(d_x = 0{,}20\) мм масса капли \(m_x = k d_x = 4{,}8\cdot10^{-6}\) кг.

Примечание. Внутренний диаметр иглы может отличаться от размеров, которые должны соответствовать калибрам из таблицы: например, при измерении по скану с разрешением 1200 пикселей на дюйм калибру G23 соответствует внутренний диаметр 380 мкм (больше 340 мкм из таблицы).

Подсказка

Обведите грани бруска на бумаге и покройте лист прямоугольниками, площадь которых равна площади грани; по массе бумаги с известной поверхностной плотностью найдите площадь. Перемножьте результаты для трёх граней: в произведении появится \(V^2\).

Ответ

\(\rho = \dfrac{m_0}{V}\), где \(V = 139{,}5\) см\(^3\) (размеры бруска \(7{,}5\times3{,}9\times4{,}9\) см), \(m_0\) — масса бруска. Значение \(\rho\) зависит от номера бруска: масса у каждого своя.

Решение

Приложим брусок к листу бумаги одной гранью, обведём его и повторим эту процедуру так, чтобы покрыть максимально возможную площадь листа прямоугольниками площадью \(ab\) (прямоугольники укладываем плотно, без зазоров). Вырежем получившуюся фигуру и с помощью весов определим её массу \(M_{ab} = m_{ab}\,n\), где \(n\) — число прямоугольников. Это метод рядов: масса бумажного прямоугольника площадью \(S_{ab} = ab\) равна \(m_{ab} = M_{ab}/n = \sigma S_{ab} = \sigma ab\).

Повторим измерения для двух других граней \(ac\) и \(bc\) и получим систему уравнений: \[m_{ab} = \sigma ab, \qquad m_{ac} = \sigma ac, \qquad m_{bc} = \sigma bc.\] Перемножив три уравнения, получим \[m_{ab}\,m_{ac}\,m_{bc} = \sigma^3 (abc)^2 = \sigma^3 V^2,\] где \(V\) — объём бруска. Численное значение \(V^2\) находим по измеренным массам, а \(V\) — с помощью графика \(y = x^2\). С помощью весов находим массу \(m_0\) бруска и рассчитываем его плотность \(\rho = m_0/V\).

Для бруска размерами \(7{,}5\times3{,}9\times4{,}9\) см объём \(V = 139{,}5\) см\(^3\).

Подсказка

Выразите число кранов, под которыми ёмкость окажется за время \(t_0\), через \(\upsilon t_0/L\), а время под одним краном — через диаметр ёмкости и скорость ленты. Заметьте, что скорость ленты в итоговом объёме сокращается.

Ответ

1) \(V/4\);  2) \(\dfrac{3}{16}\,V_1\).

Решение

Если \(t_0 \ll L/\upsilon\), то за время \(t_0\) ёмкость окажется под кранами \(n = \dfrac{\upsilon t_0}{L}\) раз. Под каждым краном ёмкость будет находиться в течение времени \(\tau = \dfrac{d}{\upsilon}\), где \(d\) — диаметр ёмкости. Таким образом, за время \(t_0\) в ёмкость нальётся объём \[V_1 = \mu\tau n = \mu\,\dfrac{d}{\upsilon}\,\dfrac{\upsilon t_0}{L} = \dfrac{\mu d t_0}{L},\] где \(\mu\) — объёмный расход крана. Видно, что скорость заполнения ёмкости не зависит от скорости \(\upsilon\) движения ленты. По условию задачи \(\dfrac{\mu d t_0}{L} = \dfrac{V}{2}\).

1) Если расстояние между кранами увеличить в 2 раза, то за то же время, независимо от скорости конвейера, заполнится объём \(V/4\).

2) Если все размеры ёмкости увеличить в 2 раза, то её диаметр увеличится в 2 раза (\(d_1 = 2d\)), а объём — в 8 раз (\(V_1 = 8V\)). За время \(4{,}5\,t_0\) готовым продуктом заполнится объём \[\dfrac{\mu\cdot 2d}{3L}\cdot 4{,}5\,t_0 = \dfrac{2\cdot 4{,}5}{3}\cdot\dfrac{\mu d t_0}{L} = \dfrac{3}{2}\,V = \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{V_1}{8} = \dfrac{3}{16}\,V_1.\]

Подсказка

Отметьте точки таблицы на графике \(x(t)\) и проведите через них три прямые, как для трёх равномерных движений. Точки пересечения прямых — это моменты, когда автомобили поравнялись.

Ответ

(a) \(\upsilon_a = 24\) км/ч;  \(\upsilon_b = 72\) км/ч;  \(\upsilon_c = 72\) км/ч (по модулю; автомобиль \(c\) движется в сторону уменьшения \(x\)). (b) \(x = 33\) км при \(t = 12\) ч \(46\) мин \(10\) с (\(a\) и \(c\));  \(x = 32{,}6\) км при \(t = 12\) ч \(46\) мин \(30\) с (\(b\) и \(c\));  \(x = 33{,}4\) км при \(t = 12\) ч \(47\) мин \(10\) с (\(a\) и \(b\)).

Решение

На координатной сетке \(x\) от \(t\) отметим положение автомобилей в разные моменты времени (согласно табличным данным). Так как автомобили едут с постоянной скоростью, проведём через нанесённые точки три прямые (\(a\), \(b\), \(c\)) так, чтобы не осталось точек вне прямых. По угловому коэффициенту этих прямых вычислим искомые скорости: \[\upsilon_a = 24~\text{км/ч}; \qquad \upsilon_b = 72~\text{км/ч}; \qquad \upsilon_c = 72~\text{км/ч}.\]

Точки 1, 2 и 3 соответствуют моментам времени встреч или обгонов автомобилями друг друга. Встреча автомобилей \(a\) и \(c\): \(x = 33\) км при \(t = 12\) ч \(46\) мин \(10\) с. Встреча автомобилей \(b\) и \(c\): \(x = 32{,}6\) км при \(t = 12\) ч \(46\) мин \(30\) с. Встреча автомобилей \(a\) и \(b\): \(x = 33{,}4\) км при \(t = 12\) ч \(47\) мин \(10\) с.

Подсказка

Запишите среднюю плотность как отношение суммарной массы к суммарному объёму. Объём воды, вытесненной промокшим медведем, обозначьте отдельно и исключите его из двух получившихся уравнений.

Ответ

\(m = \dfrac{V_0\bigl(\rho_1\rho_2 - \rho_0(2\rho_2 - \rho_1)\bigr)}{2(\rho_2 - \rho_1)}\).

Решение

Пусть при погружении одного медведя суммарный объём содержимого аквариума стал равным \(V_0 + V_1\), где \(V_1\) — объём воды, вытесненной промокшим медведем. Найдём среднюю плотность системы: \[\rho_1 = \dfrac{\rho_0 V_0 + m}{V_0 + V_1}.\] Поскольку медведи одинаковые, при погружении второго медведя объём системы станет равным \(V_0 + 2V_1\). Средняя плотность системы: \[\rho_2 = \dfrac{\rho_0 V_0 + 2m}{V_0 + 2V_1}.\] Решая систему уравнений (1) и (2), получим \[m = \dfrac{V_0\bigl(\rho_1\rho_2 - \rho_0(2\rho_2 - \rho_1)\bigr)}{2(\rho_2 - \rho_1)}.\]

Подсказка

Пока жидкости умещаются в сосуде, средняя плотность — это отношение суммарной массы к суммарному объёму. Значения на начальном участке и на горизонтальном участке графика дают плотности. Излом графика соответствует моменту, когда объём смеси достиг \(V_0\).

Ответ

\(\rho_1 = 0{,}6\) г/см\(^3\);  \(\rho_2 = 1{,}2\) г/см\(^3\);  \(\mu = 0{,}96\) г/с;  \(V_0 = 300\) мл.

Решение

Для \(t \le t_1\), где \(t_1 = \dfrac{\rho_2 (V_0 - V_1)}{\mu}\): \[\rho_{\text{ср}}(t) = \dfrac{\rho_1 V_1 + \mu t}{V_1 + \dfrac{\mu t}{\rho_2}}.\] Для \(t_1 \le t \le t_2\), где \(t_2 = \dfrac{\rho_2 V_0}{\mu}\): \[\rho_{\text{ср}}(t) = \dfrac{\rho_1\Bigl(V_0 - \dfrac{\mu t}{\rho_2}\Bigr) + \mu t}{V_0}.\] Для \(t \ge t_2\): \(\rho_{\text{ср}}(t) = \rho_2\).

Из графика при \(t = 0\) получаем \(\rho_1 = 0{,}6\) г/см\(^3\), а при \(t > 375\) с — \(\rho_2 = 1{,}2\) г/см\(^3\). Излом графика при \(t_1 = 250\) с и \(t_2 = 375\) с. Решая совместно уравнения для \(t_1\) и \(t_2\), находим \(\mu = 0{,}96\) г/с и \(V_0 = 300\) мл.