Максвелл, 2021/22, региональный этап, 8 класс

Подсказка

Массу капли удобнее найти не взвешиванием одной капли, а по объёму вытекшей воды и её плотности: сосчитайте, сколько капель вытекает из шприца при отмеренном объёме. График \(m(d)\) проходит через начало координат, поэтому \(k\) — его наклон.

Ответ

3) \(k = 2{,}4\cdot10^{-2}\) кг/м (то же: \(2{,}4\cdot10^{1}\) г/м);  4) \(m_x = 4{,}8\cdot10^{-6}\) кг.

Решение

Наберём в шприц воды, наденем на его наконечник одну из игл и расположим иглу вертикально над стаканом. Медленно нажимая на шток поршня, подсчитаем число капель, соответствующее освободившемуся объёму шприца, например \(1\) мл. Зная объём вытекшей воды и её плотность, найдём массу соответствующего числа капель, а по ней — среднюю массу капли для иглы данного диаметра. Измерения для каждой иглы проводим многократно и результаты усредняем. Если давление на поршень превысит необходимое, вместо капель вытечет струйка, и измерение придётся начать сначала.

Результаты авторских измерений: при \(d = 0{,}34\) мм число капель \(n = 122\), масса \(M = 1{,}00\) г, средняя масса капли \(\bar m = 0{,}82\cdot10^{-2}\) г; при \(d = 0{,}41\) мм \(n = 100\), \(M = 1{,}00\) г, \(\bar m = 1{,}00\cdot10^{-2}\) г; при \(d = 0{,}51\) мм \(n = 82\), \(M = 1{,}00\) г, \(\bar m = 1{,}22\cdot10^{-2}\) г. Точка \(d = 0\), \(m = 0\) тоже принадлежит графику.

Строим график \(m(d)\):

Из графика находим \[k = \dfrac{m}{d} = 2{,}4\cdot10^{1}~\dfrac{\text{г}}{\text{м}} = 2{,}4\cdot10^{-2}~\dfrac{\text{кг}}{\text{м}}.\] Для иглы с внутренним диаметром \(d_x = 0{,}20\) мм масса капли \(m_x = k d_x = 4{,}8\cdot10^{-6}\) кг.

Примечание. Внутренний диаметр иглы может отличаться от размеров, которые должны соответствовать калибрам из таблицы: например, при измерении по скану с разрешением 1200 пикселей на дюйм калибру G23 соответствует внутренний диаметр 380 мкм (больше 340 мкм из таблицы).

Подсказка

Пусть трубка лежит на весах одним концом, а вторым опирается на край линейки. Запишите правило моментов относительно точки опоры для двух положений стержня: у края и у пыжа. Масса трубки вместе с содержимым находится одним взвешиванием.

Ответ

\(m = 19{,}1\) г (по первому способу; реальная масса стержня \(18{,}5\) г);  \(l \approx 141\) мм (данные авторского задания: \(z = 68\) мм, \(\mu = 2{,}1\) г — масса и длина пыжа).

Решение

Возможные решения. У автора задания длина пыжа \(z = 68\) мм, а масса \(\mu = 2{,}1\) г.

Измерим длину трубки: \(L = 400\) мм. Конец трубки \(A\), у которого находится пыж, положим на весы. Другой конец \(B\) положим на край линейки; к этому же концу сместим стержень. С помощью линейки приподнимем трубку так, чтобы она заняла почти горизонтальное положение, касаясь концом \(A\) площадки весов. При этом показание весов \(m_1 = 20{,}5\) г. Затем сместим стержень так, чтобы он упёрся в пыж: показание весов \(m_2 = 29{,}6\) г.

Применим правило моментов для обоих случаев (сократив обе части уравнений на \(g\)): \[m_1 L = M\dfrac{L}{2} + m\dfrac{l}{2} + \mu\Bigl(L - \dfrac{z}{2}\Bigr), \tag{1}\] \[m_2 L = M\dfrac{L}{2} + m\Bigl(L - z - \dfrac{l}{2}\Bigr) + \mu\Bigl(L - \dfrac{z}{2}\Bigr), \tag{2}\] \[M = M_0 - m - \mu, \tag{3}\] где \(M\) — масса трубки, \(M_0 = M + m + \mu = 51{,}6\) г — масса трубки со стержнем и пыжом, определённая простым взвешиванием. Решая уравнения (1)–(3), получим \[m = \dfrac{L\,(M_0 + \mu - m_1 - m_2)}{z} - \mu = 19{,}1~\text{г}.\] Длина стержня \[l = \dfrac{2m_1 L - \mu(2L - z) - ML}{m} = \dfrac{(2m_1 - 2\mu - M)L + \mu z}{m} \approx 141~\text{мм}.\] Реальная масса стержня \(m = 18{,}5\) г. При таком проведении эксперимента вращающий момент изоленты пренебрежимо мал.

Есть и альтернативный способ: измерение координат центра масс трубки при двух положениях стержня (у пыжа и у противоположного конца) — см. решение организаторов.

Подсказка

Жёлтая лампочка загорается, когда первая пластина начинает перекрывать сигнал. Подумайте, какая из пластин первой перестаёт мешать сигналу, когда лампочка снова становится жёлтой: это может быть любая из двух. Каждая пластина за время сближения проходит расстояние \(2L\).

Ответ

\(\tau = 4{,}8\) с (первый случай);  \(\tau = 4{,}2\) с (второй случай).

Решение

Жёлтая лампочка загорается в момент, когда одна из пластин (назовём её первой) начинает перекрывать путь сигналу. В момент, когда загорается красная лампочка, на пути сигнала возникает вторая пластина. Красный цвет меняется на жёлтый, когда одна из пластин перестаёт мешать прохождению сигнала; это может быть как первая, так и вторая пластина.

В первом случае скорости пластин: \[v_1 = \dfrac{L}{t_1 + t_2}, \qquad v_2 = \dfrac{L}{t_2 + t_3}.\] Во втором случае скорости пластин: \[u_1 = \dfrac{L}{t_1 + t_2 + t_3}, \qquad u_2 = \dfrac{L}{t_2}.\] Пластины движутся навстречу друг другу, поэтому любая из них проходит мимо другой со скоростью \(v_1 + v_2\) или \(u_1 + u_2\), преодолевая расстояние \(2L\). В первом случае \[\tau_1 = \dfrac{2L}{v_1 + v_2} = \dfrac{2(t_1 + t_2)(t_2 + t_3)}{t_1 + 2t_2 + t_3} = 4{,}8~\text{с}.\] Во втором случае \[\tau_2 = \dfrac{2L}{u_1 + u_2} = \dfrac{2t_2(t_1 + t_2 + t_3)}{t_1 + 2t_2 + t_3} = 4{,}2~\text{с}.\]

Подсказка

Правило моментов относительно точек крепления пружин даёт их силы натяжения. Затем сравните давления под поршнями: по закону Гука найдите деформации пружин и выразите разность уровней жидкости через \(M\).

Ответ

\(M = \dfrac{8\rho S l k}{5\rho g S + k}\).

Решение

Введём обозначения: \(T_1\), \(l_1\) и \(\Delta l_1\) — сила упругости, длина и деформация левой пружины; \(T_2\), \(l_2\) и \(\Delta l_2\) — сила упругости, длина и деформация правой пружины; \(\Delta h\) — разница высот между поршнями.

Силы упругости пружин найдём из правила моментов для балки относительно точек крепления правой и левой пружин: \[T_1 \cdot 4l = Mg\cdot l, \qquad T_2 \cdot 4l = Mg\cdot 3l,\] откуда \[T_1 = \dfrac{1}{4}Mg, \qquad T_2 = \dfrac{3}{4}Mg.\] Таким образом, давление под правым поршнем будет выше, чем под левым (площади отличаются в 2 раза, а силы — в 3). Значит, левый поршень поднимется, а правый опустится.

Из закона Гука: \[\Delta l_1 = \dfrac{Mg}{8k}, \qquad \Delta l_2 = \dfrac{3Mg}{4k}. \tag{1}\] Из условия равенства давлений на дне сообщающихся сосудов: \[\dfrac{Mg}{8S} = \rho g\,\Delta h, \qquad \dfrac{3Mg}{4\cdot 2S} = \dfrac{Mg}{4\cdot S} + \rho g\,\Delta h. \tag{2}\] Поскольку балка горизонтальна: \[l_1 - \Delta l_1 + \Delta h = l_2 - \Delta l_2. \tag{3}\] С учётом разницы длин пружин: \[\Delta h = l - \Delta l_2 + \Delta l_1 = l - \dfrac{3Mg}{4k} + \dfrac{Mg}{8k}. \tag{4}\] Подставляя (4) в (2), получим \(\dfrac{Mg}{8S} = \rho g\left(l - \dfrac{5Mg}{8k}\right)\). Откуда \[M = \dfrac{8\rho S l k}{5\rho g S + k}.\]

Подсказка

Потери тепла пропорциональны разности температур кухни и улицы. В установившемся режиме мощность пола равна потерям; запишите это для трёх случаев и поделите уравнения друг на друга.

Ответ

\(t_0 = 17\,^{\circ}\text{C}\);  \(t_x = 26\,^{\circ}\text{C}\).

Решение

Мощность тепловых потерь пропорциональна разности температур между улицей и кухней. Пусть \(P\) — базовая мощность тёплого пола, а \(\alpha\) — коэффициент пропорциональности тепловых потерь. Тогда условия теплового равновесия для каждого из случаев: \[\alpha(t_1 - t_0) = P, \qquad \alpha(t_2 - t_0) = 4P, \qquad \alpha(t_x - t_0) = 9P.\] Разделив второе уравнение на первое, получим \(\dfrac{t_2 - t_0}{t_1 - t_0} = 4\), откуда \[t_0 = \dfrac{4t_1 - t_2}{3} = 17\,^{\circ}\text{C}.\] Аналогично, разделив третье уравнение на первое, получим \(\dfrac{t_x - t_0}{t_1 - t_0} = 9\), откуда \[t_x = 9t_1 - 8t_0 = 26\,^{\circ}\text{C}.\]

Подсказка

Граница между областями «вода» и «вода+лёд» соответствует состоянию, когда весь лёд растаял, но не нагрелся. Граница «лёд» и «вода+лёд» — когда поступающая вода полностью замерзает, а лёд успевает нагреться до \(0\,^{\circ}\)C.

Ответ

1) \(t_2 = 20\,^{\circ}\)C;  2) граница «лёд» — «вода+лёд»: \(\mu_1 = 5{,}0\,\mu_2\); граница «вода+лёд» — «вода»: \(\mu_1 = 0{,}20\,\mu_2\).

Решение

Прямая, разделяющая на диаграмме две области «вода» и «вода+лёд», соответствует состоянию, в котором сосуд заполнен только водой при \(0\,^{\circ}\)C, т.е. весь лёд тает, но не нагревается. Тогда уравнение теплового баланса для поступивших за время \(\tau\) порций воды и льда: \[\mu_1\tau\lambda = \mu_2\tau c_в(t_2 - t_0), \qquad t_0 = 0\,^{\circ}\text{C}.\] По угловому коэффициенту прямой \(\mu_1 = \mu_2 c_в t_2/\lambda\) найдём температуру воды: \(c_в t_2/\lambda = 0{,}25\), откуда \(t_2 = 20\,^{\circ}\)C.

Если по первой трубе поступает «холодный» лёд, содержимое сосуда может находиться в трёх различных равновесных состояниях: 1) только лёд; 2) смесь воды и льда; 3) только вода.

Граница 1 и 2 состояний. Вся поступающая вода замерзает, но остаётся при \(0\,^{\circ}\)C; до этой же температуры нагревается поступающий лёд. Уравнение теплового баланса: \[\mu_1\tau c_л(t_0 - t_3) = \mu_2\tau c_в(t_2 - t_0) + \mu_2\tau\lambda,\] из которого коэффициент наклона прямой, разделяющей 1 и 2 состояния: \[\dfrac{\mu_1}{\mu_2} = \dfrac{c_в(t_2 - t_0) + \lambda}{c_л(t_0 - t_3)} = 5{,}0.\] Граница 2 и 3 состояний находится аналогично, только теперь весь поступающий лёд тает и остаётся при \(0\,^{\circ}\)C: \[\mu_1\tau c_л(t_0 - t_3) + \mu_1\tau\lambda = \mu_2\tau c_в(t_2 - t_0), \qquad \dfrac{\mu_1}{\mu_2} = \dfrac{c_в(t_2 - t_0)}{c_л(t_0 - t_3) + \lambda} = 0{,}20.\] Строим новую диаграмму состояний: