зад 1 Пшено и вязкость (экспериментальный тур)
Оборудование: пластиковая бутылка \(1{,}5\) литра со срезанным верхом наполненная водой, линейка 30 см, секундомер, порция пшенной крупы (не менее 200 зёрен) в коробочке, спичка, лист бумаги А4, миллиметровая бумага для построения графиков.
Скорость \(v\) падения мелких шариков в воде можно рассчитать по формуле Стокса \[v = \frac{d^2 g (\rho_{\text{ш}} - \rho_{\text{в}})}{18\eta},\] где \(d\) — диаметр шарика, \(\rho_{\text{ш}}\) — плотность шарика, \(\rho_{\text{в}}\) — плотность воды, \(g = 10\) Н/кг, \(\eta\) — физическая величина, характеризующая свойство жидкости и называемая коэффициентом вязкости.
Определите максимально точно средний диаметр \(d\) крупинки пшена.
Измерьте время падения не менее чем 100 крупинок в столбе воды высотой \(h\).
Постройте гистограмму (см. примечание 4) распределения времени падения крупинок и определите наиболее вероятное время \(\tau\).
Вычислите среднюю скорость \(v\) падения крупинок в воде.
Считая, что в нашем эксперименте \((\rho_{\text{ш}} - \rho_{\text{в}}) = 50\) кг/м\(^3\), определите значение коэффициента вязкости \(\eta\) для воды.
Примечания: 1. Для исследования выбирайте крупинки пшена примерно одинакового размера, форма которых наиболее близка к форме шара. 2. Для старта крупинки коснитесь её торцом мокрой спички (крупинка приклеится к торцу спички), а затем довольно резко толкните торец спички в воду, располагая спичку перпендикулярно поверхности воды. На фото зёрнышко пшена на торце спички. 3. Измеряйте время падения только тех крупинок, которые в процессе падения не касались стенок сосуда. 4. Гистограмма — способ представления табличных данных в виде столбчатой диаграммы. Сначала множество значений измеряемой величины разбивается на несколько интервалов, над каждым из которых рисуется прямоугольник, высота которого пропорциональна числу измеренных значений, попавших в соответствующий интервал.
▶ПодсказкаСкрыть
Средний диаметр удобно найти по длине цепочки из большого числа зёрен. Наиболее вероятное время находится по вершине гистограммы, а скорость — как путь, делённый на это время.
▶ОтветСкрыть
1) \(d \approx 2{,}2\) мм; 3) \(\tau \approx 2{,}45\) с; 4) \(v \approx 0{,}1\) м/с; 5) \(\eta \approx 1{,}3\cdot 10^{-3}\) Па\(\cdot\)с.
▶РешениеСкрыть
1) Методом рядов определяют средний размер зёрен пшена \(d \approx 2{,}2\) мм. Однократное измерение длины цепочки оценивается ниже, чем построение зависимости длины цепочки от числа зёрен в ней и определение \(d\) как углового коэффициента полученной прямой.
2) Высота столба воды в бутылке \(h = 25\) см. При 100 измерениях времени падения зёрен время меняется в диапазоне от \(2{,}0\) до \(3{,}0\) с.
3) Диапазон от 2 до 3 с разбивают на 10 или 20 интервалов, над каждым строят прямоугольник, высота которого равна числу измерений, попавших в интервал. Вершина гистограммы даёт наиболее вероятное время падения \(\tau = 2{,}45\) с.
4) \(v = \dfrac{h}{\tau} = \dfrac{0{,}25}{2{,}45} \approx 0{,}1\) м/с.
5) \(\eta = \dfrac{d^2 g(\rho_{\text{ш}} - \rho_{\text{в}})}{18 v} = \dfrac{(2{,}2\cdot 10^{-3})^2\cdot 10\cdot 50}{18\cdot 0{,}1} \approx 1{,}3\cdot 10^{-3}\) Па\(\cdot\)с. Табличное значение коэффициента вязкости воды при 20 \(^\circ\)C: \(\eta_{\text{табл}} = 1{,}0\cdot 10^{-3}\) Па\(\cdot\)с.
зад 2 Полипропилен (экспериментальный тур)
Оборудование: весы, отрезок водопроводной трубы из полипропилена длиной \(L = 60\) мм, пластиковый стакан с водой (около 50 мл), шприц 10 мл, кусок пластилина, карандаш, лист бумаги А4.
Определите плотность полипропилена.
Определите плотность пластилина.
▶ПодсказкаСкрыть
Внутренний объём трубы удобно измерить шприцем, наполнив трубу водой. Внешний диаметр можно найти, пересчитав деления шприца в миллиметры или прокатив трубу по бумаге на один оборот.
▶ОтветСкрыть
1) \(\rho_{\text{пр}} \approx 0{,}88\) г/см\(^3\); 2) \(\rho_{\text{пл}} \approx 1{,}55\) г/см\(^3\).
▶РешениеСкрыть
Приведённые значения получены на авторском комплекте оборудования.
1) Масса отрезка трубы \(m = 10{,}8\) г.
2) Внутренний объём трубы: закрыв один торец пальцем, заполняем трубу водой из шприца, вылитый объём \(V_1 = 7{,}6\) мл \(= 7{,}6\) см\(^3\).
3) Внешний диаметр. Длина трубы 60 мм соответствует 44 делениям шприца, одно деление — \(1{,}364\) мм. Непосредственно по шкале: \(D = 15\) делений \(= 20{,}5\) мм. Прокаткой трубы на один оборот по бумаге длина внешней окружности \(l = 47{,}5\) делений \(= 64{,}8\) мм, так как \(l = \pi D\), находим \(D = 20{,}6\) мм. Далее используем среднее \(D = 20{,}55\) мм.
4) Внешний объём трубы \(V_2 = \dfrac{\pi D^2}{4}L = 19{,}9\) см\(^3\).
5) Объём полипропилена \(V_0 = V_2 - V_1 = 12{,}3\) см\(^3\).
6) Плотность полипропилена \(\rho_{\text{пр}} = \dfrac{m}{V_0} = \dfrac{10{,}8}{12{,}3} \approx 0{,}88\) г/см\(^3\) (табличное значение \(0{,}89\)–\(0{,}92\) г/см\(^3\)).
7) Заполним внутренний объём трубы пластилином без воздушных пузырей. Масса трубы с пластилином \(m_1 = 22{,}6\) г, масса пластилина \(m_{\text{пл}} = m_1 - m = 11{,}8\) г.
8) Плотность пластилина \(\rho_{\text{пл}} = \dfrac{m_{\text{пл}}}{V_1} = \dfrac{11{,}8}{7{,}6} \approx 1{,}55\) г/см\(^3\).
зад 3 В ванной (теоретический тур)
Ванная в квартире экспериментатора Глюка имеет сложную форму (смотрите рисунок).
Пол ванной выложен керамической плиткой одного размера. Причём, при укладке плитки на пол, её пришлось резать только для того, чтобы уложить вдоль стены с дверным проёмом (верхний левый угол рисунка). Глюк проводит свои эксперименты везде. Ванная не является исключением. Однажды он запускал улиток из точек \(A\) и \(B\) в указанных на рисунке направлениях, пытаясь подобрать разность во времени старта так, чтобы улитки непременно встретились, не доползая до противоположной стены. В результате эксперимента Глюк выяснил, что улитку из \(B\) надо отправить в путь на \(\Delta t = 200\) с раньше, чем улитку из \(A\).
Найдите площадь ванной комнаты экспериментатора, если известно, что улитки всегда движутся прямолинейно с одинаковой скоростью \(u = 12\) см/мин, плитки в ванной плотно прилегают краями друг к другу, а коврики одинаковые.
▶ОтветСкрыть
\(S \approx 5{,}95\) м\(^2\).
▶РешениеСкрыть
Пусть длинная сторона плитки имеет размер \(a\), короткая — \(b\). Плитку резали только у стены с дверным проёмом, поэтому по рисунку можно найти соотношение между \(a\) и \(b\): на 4 длинные стороны плитки приходятся 10 коротких сторон (коврик перед унитазом может закрывать только одну целую плитку, поскольку его ширина равна \(2b\)). То есть \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{10}{4} = \dfrac{5}{2}\).
Улитка из \(A\) до встречи проходит путь \(3a\), улитка из \(B\) — путь \((a + 7b)\). Условие встречи: \[\frac{a + 7b}{u} - \frac{3a}{u} = \Delta t.\] С учётом \(a = 2{,}5b\) получаем \(b = \dfrac{u\Delta t}{2} = \dfrac{1}{2}\cdot 12\cdot\dfrac{200}{60}\) см \(= 20\) см, \(a = 2{,}5b = 50\) см.
Площадь ванной разбиваем на простые части (прямоугольники и прямоугольные треугольники): \[S = 4a(a + 9b) + 11ab + \frac{5}{2}ab = 4a^2 + 49{,}5\,ab = 5{,}95~\text{м}^2.\] Разбиение может быть и другим, формула тогда будет другой, например \(S = 59{,}5\,ab\), но ответ при этом не меняется.
зад 4 Стадион МФТИ (теоретический тур)
Беговые дорожки стадиона МФТИ — это 4 дорожки шириной \(d = 1{,}22\) м каждая. Дорожки состоят из двух прямолинейных участков длины \(l = 84{,}39\) м и двух участков в виде полуокружностей радиуса \(R\). Радиус траектории атлета или эффективный радиус на первой дорожке \(R_1 = 36{,}80\) м.
Найдите эффективную длину одного круга первой дорожки \(L_1\).
Определите, на каких расстояниях \(\Delta l_{12}\), \(\Delta l_{23}\), \(\Delta l_{34}\) должны располагаться линии стартов на различных дорожках на прямолинейных участках, чтобы длины дистанций в 3 круга совпадали при условии финиша на линии старта первой дорожки.
Какие значения может иметь средняя скорость атлета, пробежавшего 6 кругов по первой дорожке, если он определял время своего забега по стадионным часам (с точностью до минуты)? Стартовал атлет в 13:00, а финишировал в 13:13. Выразите максимальную и минимальную средние скорости и в км/ч, и в м/с.
Примечание: длина окружности радиуса \(R\) равна \(2\pi R\), где \(\pi = 3{,}1416\).
▶ОтветСкрыть
1) \(L_1 \approx 400\) м; 2) \(\Delta l_{12} = \Delta l_{23} = \Delta l_{34} = 6\pi d \approx 23\) м; 3) \(v \in [2{,}86;\ 3{,}33]\) м/с, то есть \(v \in [10{,}3;\ 12]\) км/ч.
▶РешениеСкрыть
1) Эффективная длина круга первой дорожки складывается из двух прямолинейных участков и двух полуокружностей: \(L_1 = 2\pi R_1 + 2l = 2\pi\cdot 36{,}80 + 2\cdot 84{,}39 \approx 400\) м.
2) Длины дорожек различаются только на криволинейных участках. Для первой и второй дорожек на трёх кругах разность длин \(\Delta l_{12} = 3(L_2 - L_1) = 3\cdot 2\pi(R_1 + d) - 3\cdot 2\pi R_1 = 6\pi d \approx 23\) м. Аналогично \(\Delta l_{23} = \Delta l_{34} = 6\pi d \approx 23\) м.
3) Средняя скорость на дистанции 2400 м. Показание часов 13:00 может соответствовать любому моменту от 13:00:00 до \(13{:}00{:}59{,}99\ldots\), поэтому время забега лежит в интервале от 12 до 14 минут. Минимальная скорость \(v_{\min} = \dfrac{2400~\text{м}}{14\cdot 60~\text{с}} \approx 2{,}86\) м/с \(\approx 10{,}3\) км/ч; максимальная скорость \(v_{\max} = \dfrac{2400~\text{м}}{12\cdot 60~\text{с}} \approx 3{,}33\) м/с \(= 12\) км/ч. Значение средней скорости — любое из этого интервала.
зад 5 Шоколад и карамель (теоретический тур)
При производстве конфет в сосуд объёмом \(V = 16{,}0\) л заливают горячий белый шоколад плотностью \(\rho_1 = 1{,}20\) г/см\(^3\). Когда сосуд заполняется на 60%, в него вместо шоколада сразу начинают заливать карамель плотностью \(\rho_2 = 1{,}52\) г/см\(^3\) со скоростью \(\mu = 0{,}60\) л/мин. Автоматика настроена на определение средней плотности содержимого сосуда, и, когда средняя плотность превышает \(\rho_1\) на 10%, подача карамели в сосуд прекращается. Изменением объёма жидкостей при их смешивании можно пренебречь.
Сколько минут происходила подача карамели?
▶ОтветСкрыть
\(t \approx 9{,}6\) мин.
▶РешениеСкрыть
Средняя плотность: \(\rho = \dfrac{m_1 + m_2}{V_1 + V_2}\), где масса шоколада \(m_1 = \rho_1\cdot 0{,}6V\), объём карамели \(V_2 = \mu t\), масса карамели \(m_2 = \rho_2\mu t\). Условие \(\rho = 1{,}1\rho_1\) даёт \[1{,}1\rho_1 = \frac{0{,}6\rho_1 V + \rho_2\mu t}{0{,}6V + \mu t}.\] Отсюда \[t = \frac{0{,}6V\cdot 0{,}1\rho_1}{\mu(\rho_2 - 1{,}1\rho_1)} = \frac{0{,}6\cdot 16\cdot 0{,}1\cdot 1{,}2} {0{,}6\cdot(1{,}52 - 1{,}32)} = 9{,}6~\text{мин}.\] Проверка: объём карамели \(V_2 = \mu t = 0{,}60\cdot 9{,}6 = 5{,}76\) л, что меньше свободного объёма \(0{,}4V = 6{,}4\) л. Карамель не выливалась, ответ допустим.
зад 6 Догонялки (теоретический тур)
Два автомобиля одновременно начинают движение из пункта \(A\) в пункт \(B\) по прямолинейной дороге. Известно, что первый автомобиль едет с постоянной скоростью \(v_1\), не останавливаясь до пункта \(B\). В пункте \(B\) он останавливается и ждёт прибытия второго автомобиля. Второй автомобиль движется с постоянной скоростью \(v_2\), меньшей чем \(v_1\). Через некоторое время он останавливается, и, когда первый автомобиль достигает пункта \(B\), вновь продолжает движение с той же скоростью \(v_2\).
На рисунке приведён график зависимости расстояния между автомобилями от времени вплоть до момента \(t_1 = 4\) мин. В момент времени \(t_2 = 14\) мин автомобили встретились.
Определите скорости автомобилей \(v_1\) и \(v_2\).
В течение какого времени \(\Delta t\) второй автомобиль покоился?
Найдите расстояние \(L\) между пунктами \(A\) и \(B\).
▶ОтветСкрыть
1) \(v_1 = 1{,}5\) км/мин \(= 90\) км/ч, \(v_2 = 0{,}9\) км/мин \(= 54\) км/ч; 2) \(\Delta t = 4\) мин; 3) \(L = 9\) км.
▶РешениеСкрыть
Обозначим: \(T_1\) — всё время в пути первого автомобиля, \(T_2\) — всё время в пути второго, \(\tau_2\) — время движения второго автомобиля до остановки. Тогда \(T_1 = \tau_2 + \Delta t\) и \(T_2 = t_2 = 14\) мин (второй автомобиль приходит в \(B\) в момент встречи).
1) Излом графика соответствует остановке второго автомобиля: \(\tau_2 = 2\) мин. За это время расстояние между автомобилями становится \(S_1 = 1{,}2\) км, откуда \(S_1 = (v_1 - v_2)\tau_2\), то есть \(v_1 - v_2 = 0{,}6\) км/мин. За следующие 2 мин первый автомобиль уехал от стоящего второго на \(S_2 = 4{,}2 - 3{,}2 = 3\) км, значит \(v_1 = \dfrac{3~\text{км}}{2~\text{мин}} = 1{,}5\) км/мин, а \(v_2 = 1{,}5 - 0{,}6 = 0{,}9\) км/мин.
2) Пути из \(A\) в \(B\): \(L = v_1 T_1 = v_1(\tau_2 + \Delta t)\) и \(L = v_2(T_2 - \Delta t)\). Приравняв правые части, найдём время остановки: \[\Delta t = \frac{v_2 T_2 - v_1\tau_2}{v_1 + v_2} = \frac{0{,}9\cdot 14 - 1{,}5\cdot 2}{2{,}4} = 4~\text{мин}.\] Время остановки можно найти и графически: построением прямой из точки излома с наклоном \(-v_2\) до пересечения с графиком первого автомобиля.
3) \(L = v_2(T_2 - \Delta t) = 0{,}9\cdot(14 - 4) = 9\) км; проверка: \(L = v_1(\tau_2 + \Delta t) = 1{,}5\cdot 6 = 9\) км.
Источник: Олимпиада имени Дж. К. Максвелла, 2023/24, региональный этап, 7 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.