зад 1 Пшено и вязкость (экспериментальный тур)
Оборудование: пластиковая бутылка \(1{,}5\) литра со срезанным верхом наполненная водой, линейка \(30\) см, секундомер, порция пшенной крупы (не менее 200 зёрен) в коробочке, спичка, лист бумаги А4, миллиметровая бумага для построения графиков.
Скорость \(v\) падения мелких шариков в воде можно рассчитать по формуле Стокса \[v = \frac{d^2 g (\rho_{\text{ш}} - \rho_{\text{в}})}{18\eta},\] где \(d\) — диаметр шарика, \(\rho_{\text{ш}}\) — плотность шарика, \(\rho_{\text{в}}\) — плотность воды, \(g = 10\) Н/кг, \(\eta\) — физическая величина, характеризующая свойство жидкости и называемая коэффициентом вязкости.
Определите максимально точно средний диаметр \(d\) крупинки пшена.
Измерьте время падения не менее чем 100 крупинок в столбе воды высотой \(h\).
Постройте гистограмму (см. примечание 4) распределения времени падения крупинок и определите наиболее вероятное время \(\tau\).
Вычислите среднюю скорость \(v\) падения крупинок в воде.
Считая, что в нашем эксперименте \((\rho_{\text{ш}} - \rho_{\text{в}}) = 50\) кг/м\(^3\), определите значение коэффициента вязкости \(\eta\) для воды.
Примечания: 1. Для исследования выбирайте крупинки пшена примерно одинакового размера, форма которых наиболее близка к форме шара. 2. Для старта крупинки коснитесь её торцом мокрой спички (крупинка приклеится к торцу спички), а затем довольно резко толкните торец спички в воду, располагая спичку перпендикулярно поверхности воды. На фото зёрнышко пшена на торце спички. 3. Измеряйте время падения только тех крупинок, которые в процессе падения не касались стенок сосуда. 4. Гистограмма — способ представления табличных данных в виде столбчатой диаграммы. Сначала множество значений измеряемой величины разбивается на несколько интервалов, над каждым из которых рисуется прямоугольник, высота которого пропорциональна числу измеренных значений, попавших в соответствующий интервал.
▶ПодсказкаСкрыть
Средний диаметр удобно найти по длине цепочки из большого числа зёрен. Наиболее вероятное время находится по вершине гистограммы, а скорость — как путь, делённый на это время.
▶ОтветСкрыть
1) \(d \approx 2{,}2\) мм; 3) \(\tau \approx 2{,}45\) с; 4) \(v \approx 0{,}1\) м/с; 5) \(\eta \approx 1{,}3\cdot 10^{-3}\) Па\(\cdot\)с.
▶РешениеСкрыть
1) Методом рядов определяют средний размер зёрен пшена \(d \approx 2{,}2\) мм. Однократное измерение длины цепочки оценивается ниже, чем построение зависимости длины цепочки от числа зёрен в ней и определение \(d\) как углового коэффициента полученной прямой.
2) Высота столба воды в бутылке \(h = 25\) см. При 100 измерениях времени падения зёрен время меняется в диапазоне от \(2{,}0\) до \(3{,}0\) с.
3) Диапазон от 2 до 3 с разбивают на 10 или 20 интервалов, над каждым строят прямоугольник, высота которого равна числу измерений, попавших в интервал. Вершина гистограммы даёт наиболее вероятное время падения \(\tau = 2{,}45\) с.
4) \(v = \dfrac{h}{\tau} = \dfrac{0{,}25}{2{,}45} \approx 0{,}1\) м/с.
5) \(\eta = \dfrac{d^2 g(\rho_{\text{ш}} - \rho_{\text{в}})}{18 v} = \dfrac{(2{,}2\cdot 10^{-3})^2\cdot 10\cdot 50}{18\cdot 0{,}1} \approx 1{,}3\cdot 10^{-3}\) Па\(\cdot\)с. Табличное значение коэффициента вязкости воды при 20 \(^\circ\)C: \(\eta_{\text{табл}} = 1{,}0\cdot 10^{-3}\) Па\(\cdot\)с.
зад 2 Неразбавленный сироп (экспериментальный тур)
Оборудование: штатив с муфтой и лапкой, электронные весы с точностью измерения \(0{,}01\) г, цилиндрическое тело, нитка, пластиковый стакан с сахаром, пластиковый стакан с водой (\(\rho_{\text{в}} = 1\) г/см\(^3\)), два пустых пластиковых стакана, накладка на весы (защита весов от разлитой воды), салфетки для поддержания чистоты на рабочем месте.
Массовая доля компонента в растворе \(\omega\) — это отношение массы данного компонента к сумме масс всех компонентов. Если речь идёт о растворе какого-либо одного компонента (например, сахара) в воде, то \(\omega = \dfrac{m_{\text{сахара}}}{m_{\text{раствора}}}\). Массовая доля, как правило, выражается в процентах. Например, если в 100 г водного раствора содержится 20 г сахара и 80 г воды, то мы имеем двадцатипроцентный раствор сахара.
Определите плотность \(\rho_{\text{ц}}\) цилиндрического тела.
Исследуйте зависимость плотности \(\rho_{\text{р}}\) раствора сахара в воде от массовой доли сахара \(\omega\) в диапазоне значений \(0 < \omega < 0{,}5\). Укажите, какая масса воды и какая масса сахара использовались вами для приготовления раствора заданной концентрации.
Постройте график полученной зависимости.
Внимание! Используйте накладку на весы для того, чтобы исключить попадание воды или раствора в механизм весов. Региональным оргкомитетом может быть предложен иной механизм такой защиты.
▶ПодсказкаСкрыть
Показание весов при полностью погружённом в жидкость цилиндре равно массе вытесненной жидкости. Это позволяет измерять плотность раствора без мерного сосуда.
▶ОтветСкрыть
1) \(\rho_{\text{ц}} \approx 2{,}73\) г/см\(^3\); 2) плотность раствора растёт от \(1{,}00\) г/см\(^3\) (вода) до \(1{,}20\) г/см\(^3\) при \(\omega \approx 44\)%; 3) график (см. решение).
▶РешениеСкрыть
Метод гидростатического взвешивания. На весы ставят накладку и стакан с водой, весы обнуляют. Цилиндр на нитке опускают в стакан так, чтобы он был полностью погружён. Показание весов \(m_A = \rho_{\text{в}} V = 19{,}2\) г называют «массой Архимеда». Отсюда объём цилиндра \(V = 19{,}2\) см\(^3\). Прямым взвешиванием масса цилиндра \(m = 52{,}4\) г, поэтому \(\rho_{\text{ц}} = \dfrac{m}{V} \approx 2{,}73\) г/см\(^3\).
В стакан наливают 90 г воды и 10 г сахара (10-процентный раствор). Тарируют весы, опускают цилиндр и измеряют «массу Архимеда» \(m_{A1} = \rho_{\text{р}1} V\), отсюда плотность раствора. Затем досыпают сахар порциями по 10 г, каждый раз пересчитывая массовую долю и повторяя измерения. Результаты:
Результаты (массовая доля \(\omega\); масса сахара; масса раствора; «масса Архимеда»; плотность раствора): \(10\)%, \(9{,}90\) г, \(100{,}0\) г, \(20{,}0\) г, \(1{,}04\) г/см\(^3\); \(18\)%, \(20{,}0\) г, \(110{,}1\) г, \(20{,}6\) г, \(1{,}07\) г/см\(^3\); \(25\)%, \(30{,}0\) г, \(120{,}1\) г, \(21{,}1\) г, \(1{,}10\) г/см\(^3\); \(31\)%, \(40{,}1\) г, \(130{,}2\) г, \(21{,}7\) г, \(1{,}13\) г/см\(^3\); \(36\)%, \(50{,}1\) г, \(140{,}2\) г, \(22{,}2\) г, \(1{,}16\) г/см\(^3\); \(40\)%, \(60{,}2\) г, \(150{,}2\) г, \(22{,}6\) г, \(1{,}18\) г/см\(^3\); \(44\)%, \(70{,}2\) г, \(160{,}2\) г, \(23{,}0\) г, \(1{,}20\) г/см\(^3\). Во всех опытах масса воды \(90{,}1\) г.
По данным точкам строят график \(\rho_{\text{р}}(\omega)\); он монотонно растёт и хорошо согласуется с табличной зависимостью плотности раствора сахара от массовой доли.
зад 3 По трубе (теоретический тур)
Два лёгких небольших упругих шарика движутся внутри закрытой с обоих концов гладкой массивной трубы, расположенной горизонтально. В тот момент времени, когда шарики находятся посередине трубы, их скорости относительно земли равны \(V\) и \(2V\), а трубу начинают двигать с постоянной скоростью \(0{,}1V\), как показано на рисунке. Длина трубы \(2L\).
Через какой промежуток времени \(\tau_1\) левый шарик первый раз столкнется с торцевой стенкой трубы?
Через какой промежуток времени \(\tau_2\) правый шарик первый раз столкнется с торцевой стенкой трубы?
Через какой промежуток времени \(\tau\) шарики в первый раз столкнутся друг с другом?
Найдите скорости \(u_1\) левого и \(u_2\) правого шариков относительно земли непосредственно перед их первым соударением.
Соударения шариков с торцевыми стенками трубы считайте абсолютно упругими. Примечание: в результате абсолютно упругого удара скорость шарика относительно стенки остаётся такой же по величине, как до удара, но направлена противоположно.
▶ОтветСкрыть
1) \(\tau_1 = \dfrac{10L}{11V}\); 2) \(\tau_2 = \dfrac{10L}{19V}\); 3) \(\tau = \dfrac{4L}{3V}\); 4) \(u_1 = 1{,}2V\), \(u_2 = 1{,}8V\).
▶РешениеСкрыть
Перейдём в систему отсчёта, связанную с трубой. Скорость левого шарика в ней \(1{,}1V\), правого — \(1{,}9V\). Тогда \(\tau_1 = \dfrac{L}{1{,}1V} = \dfrac{10L}{11V}\), \(\tau_2 = \dfrac{L}{1{,}9V} = \dfrac{10L}{19V}\).
После ударов о торцы скорости по модулю не меняются. К моменту \(\tau\) левый шарик проходит путь \(l_1 = 1{,}1V\tau\) (от \(L\) до встречи), правый — \(l_2 = 1{,}9V\tau\) (тоже от своего торца), причём \(l_1 + l_2 = 2L\), откуда \(\tau = \dfrac{4L}{3V}\).
Возвращаясь в неподвижную систему отсчёта: \(u_1 = 1{,}1V + 0{,}1V = 1{,}2V\), \(u_2 = 1{,}9V - 0{,}1V = 1{,}8V\).
зад 4 Изогнутая трубка (теоретический тур)
Изогнутая трубка постоянного сечения заполнена несмешивающимися жидкостями с разными плотностями, как показано на рисунке. В левом конце трубки, закрытом пробкой, заперт воздух под давлением \(0{,}8p_0\), где \(p_0\) — атмосферное давление, которое равно гидростатическому давлению столба жидкости плотностью \(\rho\) высотой \(10h\). Правый конец трубки открыт в атмосферу, система находится в состоянии равновесия.
Определите коэффициент \(k\) у плотности жидкости (смотрите рисунок).
В каком направлении и на сколько сместится свободная поверхность жидкости в правом колене трубки в новом состоянии равновесия, если убрать пробку?
▶ОтветСкрыть
1) \(k = 1{,}5\); 2) свободная поверхность в правом колене поднимется на \(s = \dfrac{h}{6}\).
▶РешениеСкрыть
Атмосферное давление \(p_0 = \rho g\cdot 10h = 10\rho g h\). Полное давление в жидкости складывается из внешнего и гидростатического. Пройдём по трубке от левой свободной поверхности к правой: \(0{,}8p_0 + 4\rho g\cdot 2h - \rho g\cdot 3h + k\rho g\cdot 4h - 3\rho g\cdot 3h = p_0\). Подставляя \(p_0 = 10\rho g h\), получаем \(k = 1{,}5\).
Когда пробку убирают, давление на левый свободный уровень увеличивается до \(p_0\), он опускается, а правый свободный уровень поднимается на ту же величину \(s\). Записывая условие равновесия без пробки: \(p_0 + 4\rho g(2h - 2s) - \rho g(3h - 2s) + 1{,}5\rho g\cdot 4h - 3\rho g(3h + 2s) = p_0\), получаем \(s = \dfrac{h}{6}\).
зад 5 Туда-сюда (теоретический тур)
Десятилитровую кастрюлю, заполненную наполовину водой комнатной температуры (\(t_0 = 20\) \(^\circ\)C), Глюк поставили греться на электрической плитке. Через некоторое время в кастрюлю, не снимая её с плиты, он долил воду комнатной температуры неизвестного объёма. А, спустя ещё какое-то время, воду такого же объёма из кастрюли, также не снимая её с плиты, вылил. Затем он дважды измерил температуру воды в кастрюле — через \(\tau_1 = 8\) минут и \(\tau_2 = 9\) минут с момента начала нагрева, и получил значения \(t_1 = 45\) \(^\circ\)C и \(t_2 = 50\) \(^\circ\)C. Всего плитка работала 10 минут.
Какую температуру \(t_{\text{к}}\) имела бы вода в кастрюле к концу эксперимента, если бы по ходу нагрева её масса не изменялась?
Определите наименьшее возможное значение массы \(m_{\min}\) воды, доливаемой Глюком в ходе эксперимента.
Найдите самый ранний от начала нагрева момент времени \(\tau_{\min}\), когда мог происходить забор воды из кастрюли.
Тепловые потери и теплоёмкость кастрюли пренебрежимо малы. Считайте, что при изменении массы воды её температура изменяется мгновенно, а при добавлении воды она не выливается из кастрюли. Удельная теплоёмкость воды равна \(4200\) Дж/(кг\(\cdot{}^\circ\)C), плотность воды \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\).
▶ОтветСкрыть
1) \(t_{\text{к}} = 70\) \(^\circ\)C; 2) \(m_{\min} = 3\) кг; 3) \(\tau_{\min} = 6\) мин.
▶РешениеСкрыть
Мощность плитки \(N = \dfrac{cm\,\Delta t}{\Delta\tau}\), где \(m = 5\) кг — масса воды в половине кастрюли. Между \(\tau_1\) и \(\tau_2\) масса воды равна \(m\), поэтому \(N = \dfrac{cm(t_2 - t_1)}{\tau_2 - \tau_1} = 1{,}75\) кВт.
1) Если масса не меняется, скорость нагрева \(5\) \(^\circ\)C/мин, и за 10 мин температура станет \(t_{\text{к}} = t_0 + 10\cdot 5 = 70\) \(^\circ\)C.
2) Пусть доливают \(\Delta m\) воды при температуре \(t_x < t_{45}\), а забор происходит в момент \(\tau\). Баланс тепла к моменту \(8\tau_0\) (здесь \(\tau_0 = 1\) мин): \(8N\tau_0 = cm(t_{45} - t_0) + c\Delta m(t_x - t_0)\), откуда \[\Delta m = \frac{8N\tau_0 - cm(t_{45} - t_0)}{c(t_x - t_0)}.\] Масса \(\Delta m\) минимальна при максимальной температуре доливаемой воды \(t_x = t_{45} = 45\) \(^\circ\)C: \(\Delta m_{\min} = \dfrac{8\cdot 1750\cdot 60 - 4200\cdot 5\cdot 25}{4200\cdot 25} = 3\) кг, то есть \(m_{\min} = 3\) кг.
3) Тепло, выделившееся к моменту \(\tau\), идёт на нагрев всей воды массой \(m + \Delta m\) от \(t_0\) до \(t_x\): \(N\tau = c(m + \Delta m)(t_x - t_0)\). Подставив \(t_x - t_0\) из баланса для \(8\tau_0\), получаем \[\tau = \left(1 + \frac{m}{\Delta m}\right)\left(8\tau_0 - \frac{cm(t_{45} - t_0)}{N}\right).\] Время \(\tau\) минимально при наибольшей доливаемой массе \(\Delta m = m = 5\) кг (кастрюля 10 л заполнена наполовину): \(\tau_{\min} = 2\left(480~\text{с} - 300~\text{с}\right) = 360\) с \(= 6\) мин.
Графически: в координатах «время–температура» график состоит из трёх отрезков. Первый — до долива, на прямой через точку (0 мин; 20 \(^\circ\)C) с наклоном \(N/(cm)\); второй — после долива (масса \(m + \Delta m\)), идёт более полого; третий — после забора воды (масса \(m\)), параллелен первому. Прямая из точки излома до пересечения с третьим отрезком даёт \(\tau_{\min} = 6\) мин, а второй отрезок не может пересечься с третьим позже точки, соответствующей \(m_{\min} = 3\) кг.
зад 6 Ползущий рельс (теоретический тур)
На отдельно стоящих роликовых лёгких опорах, оси которых находятся на расстоянии \(l = 9\) м, лежит однородный рельс постоянного сечения. Ролики начинают вращаться, в результате чего рельс движется горизонтально с некоторой постоянной скоростью, как показано на рисунке (масштаб не выдержан).
Под опорами находятся динамометры. Зависимости показаний \(F\) динамометров от времени \(t\) для каждой из опор сняли и решили построить их графики. Однако лаборант, который должен был это сделать, случайно пролил на таблицы с данными кофе и смог восстановить только три точки (они показаны на рисунке).
Помогите лаборанту восстановить графики.
Определите массу рельса \(m\).
Найдите скорость рельса \(v\).
Какую минимальную длину \(L_{\min}\) мог иметь рельс?
▶ОтветСкрыть
1) \(m = 600\) кг; 2) \(v = 0{,}25\) м/с; 3) \(L_{\min} = 15\) м.
▶РешениеСкрыть
Пусть \(x\) — расстояние от левой опоры до центра масс в начальный момент, \(F_1\) и \(F_2\) — показания левого и правого динамометров. Моменты сил относительно опор дают \(F_1 = Mg - \dfrac{Mgx}{l} - \dfrac{Mgv}{l}t\), \(F_2 = \dfrac{Mgx}{l} + \dfrac{Mgv}{l}t\). Оба графика линейны, их угловые коэффициенты противоположны по знаку, а \(F_1 + F_2 = Mg\).
Точки 2 и 3, а также 1 и 3 не могут принадлежать одному графику: это приводит к отрицательной силе реакции в начальный момент или к опрокидыванию рельса до старта. Значит, точки 1 и 2 принадлежат одному графику (возрастающему \(F_2\)), а точка 3 — другому (\(F_1\)).
По графикам \(Mg = 6\) кН, откуда \(M = 600\) кг. Продлевая графики до оси \(t\), находим, что рельс проехал бы путь \(l\) за 36 с, значит \(v = \dfrac{9}{36} = 0{,}25\) м/с.
Минимальная длина: в начальный момент центр масс на расстоянии \(6{,}75\) м от правой опоры, а в момент точки 3 (\(t = 21\) с) центр масс смещён на \(vt = 5{,}25\) м и находится на расстоянии \(7{,}5\) м от левой опоры. Значит, длина рельса не меньше \(L_{\min} = 2\cdot 7{,}5 = 15\) м.
Источник: Олимпиада имени Дж. К. Максвелла, 2023/24, региональный этап, 8 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.