зад 1 Робот-пылесос
Экспериментатор Глюк приобрел робот-пылесос iBot PylSosung и решил его опробовать. Оказалось, что робот может качественно убрать пустую комнату в квартире площадью \(250\,000\) [. . .] за \(30\) [. . .]. Для того чтобы убраться качественно, пылесос проходит по каждому участку комнаты ровно 3 раза. Глюк посчитал, что средняя скорость пылесоса при уборке равна \(50\,000\) [. . .]. Однако он забыл указать, в каких единицах записаны эти величины. Опираясь на ваш жизненный опыт, восстановите пропущенные единицы измерения, а также найдите ширину (диаметр) пылесоса.
Глюк точно помнил, что расстояние и площадь он измерял, соответственно, в обычных и квадратных миллиметрах, сантиметрах, метрах или километрах. Время — в секундах, минутах или часах. Площадью мёртвых зон комнаты (мест, в которые пылесос не может добраться, например, углов) можно пренебречь.
▶ОтветСкрыть
Площадь — в см\(^2\), время — в минутах, скорость — в см/ч; ширина пылесоса \(d = 30\) см.
▶РешениеСкрыть
Комнаты в квартирах обычно имеют площадь не больше нескольких десятков квадратных метров, поэтому площадь измерялась в см\(^2\). Убрать такую площадь за 30 секунд пылесос не сможет, а 30 часов — слишком долго для уборочного прибора, поэтому время измерялось в минутах. Ширина пылесоса — порядка нескольких десятков сантиметров.
Величины связаны формулой \(v = \dfrac{3S}{d\,t}\), где \(S\) — площадь комнаты, \(d\) — ширина пылесоса, \(t\) — время уборки. Подставим площадь и время и ширину \(d \approx 20\) см по порядку величины: \[v = \frac{3\cdot 250\,000\text{ см}^2}{20\text{ см}\cdot 30\text{ мин}} = 1250\ \frac{\text{см}}{\text{мин}} = 75\,000\ \frac{\text{см}}{\text{ч}}.\] Получили скорость порядка \(5\cdot 10^4\) см/ч, как у Глюка, значит скорость измерялась в см/ч. Проверим ширину: \[d = \frac{3S}{v\,t} = \frac{3\cdot 250\,000\text{ см}^2}{50\,000\text{ см/ч}\cdot 0{,}5\text{ ч}} = 30\text{ см}.\] Ширина совпадает с ожиданиями, значит предположения верны. Предположение о мм/мин дало бы ширину в 6 раз меньше — около 5 см, что слишком мало.
зад 2 Час пик
В часы пик на движущемся вверх с неизвестной скоростью \(u\) эскалаторе метрополитена на каждой ступеньке находятся по два человека. Справа люди просто стоят, а слева — поднимаются с неизвестной постоянной скоростью \(v\). Человек, стоящий справа, подсчитал, что за время его подъёма по эскалатору, слева от него успевают пройти \(N_1\) людей. Человек, идущий по эскалатору, подсчитал, что за время его подъёма он проходит мимо \(N_2\) стоящих людей.
Что больше: \(N_1\) или \(N_2\)?
Сколько людей \(N\) одновременно находятся на эскалаторе? Ответ необходимо выразить через величины \(N_1\) и \(N_2\).
▶ОтветСкрыть
1) \(N_1\) больше, \(N_1 > N_2\); 2) \(N = \dfrac{2N_1N_2}{N_1 - N_2}\).
▶РешениеСкрыть
Пусть длина ступеньки \(l_0\), скорость эскалатора \(u\), собственная скорость людей, идущих по эскалатору, \(v\), число ступенек эскалатора \(N_0\). Время подъёма стоящего человека \(t_{\text{ст}} = \dfrac{N_0 l_0}{u}\), а идущего по эскалатору — \(t_{\text{ид}} = \dfrac{N_0 l_0}{u + v}\).
В системе отсчёта стоящего на эскалаторе человека колонна людей слева движется со скоростью \(v\). Её длина \(v\,t_{\text{ст}}\), значит людей в ней \[N_1 = \frac{v}{u}\,N_0 .\] В системе отсчёта идущего по эскалатору человека встречная колонна движется со скоростью \(v\) и имеет длину \(v\,t_{\text{ид}}\), поэтому \[N_2 = \frac{v}{v + u}\,N_0 .\] Из этих выражений \(N_2 < N_1\), то есть \(N_1\) больше. Это видно и качественно: левые и правые люди встречают новых соседей с одинаковой частотой, но те, кто дольше находится на эскалаторе, встречают больше людей.
Из \(\dfrac{1}{N_2} - \dfrac{1}{N_1} = \dfrac{1}{N_0}\) находим число ступенек \(N_0 = \dfrac{N_1N_2}{N_1 - N_2}\). Людей на эскалаторе вдвое больше, чем ступенек: \(N = 2N_0 = \dfrac{2N_1N_2}{N_1 - N_2}\).
зад 3 Рекорды скорости
Семиклассник Стас тренируется бегать на длинные дистанции. Во время пробежки смартфон следит за положением Стаса при помощи сигнала GPS и рассчитывает темп бега \(T\) в минутах на километр. После окончания пробежки смартфон показывает график зависимости темпа бега от расстояния \(s\), которое пробежал спортсмен с момента старта (см. рисунок). С помощью графика этой зависимости определите:
Чему равнялись максимальная и минимальная скорости во время пробежки? Выразите эти скорости в километрах в час.
За какое минимальное время Стас пробегал участок длиной в один километр? Участок может начинаться в любой части дистанции.
За какое минимальное время Стас пробегал участок длиной в пять километров? Участок может начинаться в любой части дистанции.
▶ОтветСкрыть
1) \(v_{\max} = 20\) км/ч, \(v_{\min} = 10\) км/ч; 2) \(3{,}5\) мин; 3) \(21{,}5\) мин.
▶РешениеСкрыть
Темп — величина, обратная скорости: \(T = \dfrac{1}{v}\). Поэтому чем меньше темп, тем больше скорость. Минимальный темп \(3\) мин/км соответствует скорости \(20\) км/ч, максимальный темп \(6\) мин/км — скорости \(10\) км/ч.
При движении с постоянной скоростью \(v\) время на участке длиной \(s\) равно \(t = \dfrac{s}{v} = sT\). Значит, время на участке пропорционально площади под графиком \(T(s)\) на этом участке. Минимальное время за километр соответствует участку с наименьшей площадью под графиком. Нужно учитывать, что на графике начало координат по вертикали смещено (шкала темпа начинается не с нуля). Минимальное время на километр — участок с третьего по четвёртый километр, площадь клетки соответствует одной минуте, итог \(3{,}5\) мин. Минимальное время на пяти километрах — участок с первого по шестой километр, \(21{,}5\) мин.
зад 4 Консервированные снежки
У Бабы Яги в школе никогда не было уроков физики, но были уроки домоводства и огромное желание заготовить на лето снежки. Помня школьные уроки, она решила воспользоваться рецептом по засолке огурцов. Зимой Баба Яга слепила очень плотные снежки, которые снаружи покрыла тонкой корочкой льда. Этими снежками она до краёв наполнила берёзовую кадушку объёмом \(V = 12\) л, масса снежков при этом оказалась \(m_1 = 4\) кг. Все пустоты между снежками она засыпала поваренной солью, затем залила кадушку доверху холодной водой и выставила её на улицу. На следующий день она с удивлением обнаружила в кадушке только очень солёную воду.
Известно, что в кадушку помещается \(m_2 = 6\) кг плотно утрамбованного снега, плотность которого совпадает с плотностью снега в снежках. Считайте, что за время заполнения кадушки вода проникает между крупинками соли, но ледяная корочка предохраняет снежки от намокания. Консервирование снежков происходит быстро, и соль не успевает прореагировать со снежками. При растворении соли в воде объёмы воды и соли складываются. Поваренная соль, купленная Бабой Ягой, была насыпана в пачки размерами \(18 \times 10 \times 6\) см и массой \(m_{\text{п}} = 1\) кг. Плотность воды \(\rho_0 = 1000\) кг/м\(^3\), плотность кристаллической поваренной соли \(\rho_{\text{с}} = 2150\) кг/м\(^3\). Массой и объёмом ледяной корочки снежка можно пренебречь.
Определите насыпную плотность \(\rho_{\text{нас}}\) поваренной соли.
Какая масса \(m_c\) соли была насыпана в кадушку?
Какой объём \(V_{\text{в}}\) занимает солёная вода?
Чему равна масса \(M\) солёной воды в кадушке?
Чему равна плотность \(\rho_{\text{к}}\) солёной воды в кадушке?
▶ОтветСкрыть
1) \(\rho_{\text{нас}} \approx 930\) кг/м\(^3\); 2) \(m_c \approx 3{,}7\) кг; 3) \(V_{\text{в}} = 8\) л; 4) \(M = 10\) кг; 5) \(\rho_{\text{к}} = 1250\) кг/м\(^3\).
▶РешениеСкрыть
Пустоты между снежками. Снег массой \(m_2 = 6\) кг занимает всю кадушку объёмом \(V = 12\) л, значит его плотность \(6\) кг/\(12\) л. Снежки массой \(m_1 = 4\) кг имеют объём \(\dfrac{2V}{3} = 8\) л, на пустоты между ними приходится \(\dfrac{V}{3} = 4\) л.
Насыпная плотность соли. Пачка соли объёмом \(V_{\text{пачки}} = 18\cdot 10\cdot 6\) см\(^3\) \(= 1080\) см\(^3\) весит \(1\) кг, значит \[\rho_{\text{нас}} = \frac{1000\text{ г}}{1080\text{ см}^3} \approx 0{,}93\ \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 930\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}.\]
Масса соли: \(m_c = \rho_{\text{нас}}\cdot\dfrac{V}{3} = 930\cdot 4\cdot 10^{-3} \approx 3{,}7\) кг. Объём самой соли: \(V_{\text{с}} = \dfrac{m_c}{\rho_{\text{с}}} = \dfrac{3{,}7}{2150}\text{ м}^3 \approx 1{,}7\) л. Пустоты между крупинками соли: \(4 - 1{,}7 = 2{,}3\) л — это объём налитой воды.
Объём солёной воды складывается из воды от таяния снега (\(4\) л), объёма соли (\(1{,}7\) л) и налитой воды (\(2{,}3\) л): \(V_{\text{в}} = 4 + 1{,}7 + 2{,}3 = 8\) л. Масса солёной воды: \(M = 4 + 3{,}7 + 2{,}3 = 10\) кг. Плотность солёной воды: \(\rho_{\text{к}} = \dfrac{M}{V_{\text{в}}} = \dfrac{10}{8}\ \dfrac{\text{кг}}{\text{л}} = 1250\ \dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}\).
зад 5 Взвешивание коэффициента
Как известно, площадь \(S\) квадрата со стороной \(a\) определяется выражением \(S = a^2\), площадь прямоугольника со сторонами \(a\) и \(b\) определяется \(S = ab\).
Эллипс — это замкнутая плоская кривая, сумма расстояний от каждой точки которой до двух точек \(F_1\) и \(F_2\) равна постоянной величине. \(MF_1 + MF_2 = \text{const}\). Точки \(F_1\) и \(F_2\) называются фокусами эллипса (см. рис. 1). Отрезок \(A_1A_2\) называют большой осью эллипса, отрезок \(B_1B_2\) называют малой осью эллипса. Обозначим \(A_1A_2 = A\), \(B_1B_2 = B\).
Эллипс легко нарисовать, используя данное определение. Расположите лист картона на столе на мягкой опоре. Отметьте на нём фокусы будущего эллипса. В эти точки вертикально воткните две кнопки (булавки). На них накиньте петлю из нити, длина которой немного больше удвоенного расстояния между этими точками. Натяните нить карандашом (ручкой) и, сохраняя нить натянутой, рисуйте линию (см. рис. 2). Потренируйтесь рисовать эллипсы разных размеров на одной из сторон выданного вам картона.
Массы плоских геометрических фигур пропорциональны их площадям. Площадь эллипса можно рассчитать по формуле \(S = \dfrac{1}{4}kAB\). Здесь \(k\) — коэффициент, значение которого Вам предстоит определить.
Для вырезания фигур используйте ножницы. Будьте аккуратны при работе с ножницами и кнопками (булавками). Проведённые измерения представьте в виде таблиц.
Определите поверхностную плотность (массу единицы площади) \(\rho_S\) картона. Для этого используйте лист картона, на котором вы тренировались рисовать эллипсы. Проведите несколько измерений с прямоугольниками (квадратами) разных размеров. Постройте график зависимости массы прямоугольного (квадратного) листа картона от его площади. Используя график, определите поверхностную плотность картона \(\rho_S\).
Определите коэффициент \(k\) из формулы площади эллипса. Для этого на втором листе картона нарисуйте несколько эллипсов разных размеров, вложенных друг в друга (см. рис. 3). Вам придётся изменять длину нити и расстояние между фокусами. Линии эллипсов не должны пересекаться. Вырезая поочерёдно эллипсы (первым вырезайте самый большой), исследуйте зависимость площади эллипса от произведения длин его осей и определите величину \(k\), используя график исследуемой зависимости.
Определите толщину \(h\) картонного листа. Получите формулу связи поверхностной и объёмной плотностей и рассчитайте объёмную плотность. Определите объёмную плотность (массу единицы объёма) картона \(\rho_V\). В задании 3 не требуется построение графиков.
Оборудование: два листа картона формата А5, мягкая основа с двумя канцелярскими силовыми кнопками (или булавками), нить, весы, линейка длиной не менее 20 см, ножницы, два листа миллиметровой бумаги А4 для построения графиков.
▶ОтветСкрыть
1) \(\rho_S \approx 0{,}30\) кг/м\(^2\) (\(0{,}03\) г/см\(^2\)); 2) \(k \approx 3{,}1\) (теоретическое значение \(\pi \approx 3{,}14\)); 3) \(h \approx 0{,}35\) мм, \(\rho_V \approx 860\) кг/м\(^3\).
▶РешениеСкрыть
Поверхностная плотность. Массы прямоугольников и квадратов связаны с площадью соотношением \(m = \rho_S S\). Вырезали квадраты и прямоугольники, отрезая от квадрата \(10\times 10\) см полоски шириной \(1\) см; измерения (сторона \(a\times b\), см; \(S = ab\), см\(^2\); \(m\), г): \(10\times 10\), \(100\), \(3{,}02\); \(10\times 9\), \(90\), \(2{,}66\); \(9\times 9\), \(81\), \(2{,}45\); \(9\times 8\), \(72\), \(2{,}12\); \(8\times 8\), \(64\), \(1{,}91\); \(8\times 7\), \(56\), \(1{,}72\); \(7\times 7\), \(49\), \(1{,}44\); \(7\times 6\), \(42\), \(1{,}25\); \(6\times 6\), \(36\), \(1{,}10\); \(6\times 5\), \(30\), \(0{,}94\); \(5\times 5\), \(25\), \(0{,}76\); \(5\times 4\), \(20\), \(0{,}62\); \(4\times 4\), \(16\), \(0{,}47\); \(4\times 3\), \(12\), \(0{,}35\); \(3\times 3\), \(9\), \(0{,}26\). По графику \(m(S)\) (рисунок в решении) угловой коэффициент \[\rho_S = \frac{\Delta m}{\Delta S} = \frac{3{,}0 - 0{,}3}{100 - 9}\ \frac{\text{г}}{\text{см}^2} = 0{,}03\ \frac{\text{г}}{\text{см}^2} = 0{,}30\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^2}.\]
Толщина и объёмная плотность. Толщину листа определяем методом рядов: из остатков картона складываем стопку, прижимаем и измеряем высоту, \(h = 0{,}35\) мм. Связь плотностей: \(\rho_S = \rho_V h\), откуда \[\rho_V = \frac{\rho_S}{h} = \frac{0{,}03}{0{,}035}\ \frac{\text{г}}{\text{см}^3} \approx 0{,}86\ \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 860\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}.\]
Коэффициент \(k\). Для эллипсов, вложенных друг в друга, измеряем большую и малую оси \(A\), \(B\) и массу \(m\) (вырезанный эллипс), данные: \(AB/4\), см\(^2\); \(m\), г: \(54{,}5\); \(5{,}12\); \(42{,}5\); \(4{,}11\); \(31{,}8\); \(3{,}00\); \(20{,}3\); \(1{,}91\); \(16{,}4\); \(1{,}49\); \(12{,}1\); \(1{,}13\); \(9{,}1\); \(0{,}84\); \(5{,}2\); \(0{,}49\). Масса \(m = \rho_S S = \rho_S\dfrac{k}{4}AB = C\cdot\dfrac{AB}{4}\), где \(C = \rho_S k\). Угловой коэффициент графика \(m\left(\dfrac{AB}{4}\right)\) (рисунок в решении): \[C = \frac{\Delta m}{\Delta(AB/4)} = \frac{5{,}1 - 0{,}5}{55 - 5}\ \frac{\text{г}}{\text{см}^2} = 0{,}092\ \frac{\text{г}}{\text{см}^2} = 0{,}92\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^2}.\] Отсюда \(k = \dfrac{C}{\rho_S} = \dfrac{0{,}092}{0{,}03} \approx 3{,}1\), что близко к теоретическому значению \(\pi = 3{,}14\ldots\)
зад 6 Трение качения
Пусть по горизонтальной поверхности катится без проскальзывания тело, имеющее в вертикальной плоскости круглое сечение. С течением времени скорость тела будет уменьшаться. Это явление объясняется действием силы трения качения. Под действием силы тяжести катящееся тело будет давить на поверхность, и она будет деформироваться. В свою очередь со стороны деформированной поверхности на катящееся тело будет действовать сила, имеющая горизонтальную составляющую, которая препятствует движению. Это и есть сила трения качения \(F_{\text{тр}}\).
При увеличении деформации поверхности возрастает сила трения качения. Поэтому мы воспользуемся мягкой основой, по которой будем катать стальной шарик. Чтобы сообщить шарику необходимую скорость, будем его скатывать с наклонного уголка, закреплённого в штативе. Угол наклона следует подобрать таким образом, чтобы при скатывании с вершины уголка шарик останавливался, чуть не доезжая до края основы.
Теоретические расчёты показывают, что путь \(s\), пройденный шариком до остановки по горизонтальной поверхности, связан с начальной высотой \(H\) выражением \[s = \frac{R}{kH}.\] Здесь \(R\) — радиус шарика, \(k\) — постоянный размерный коэффициент, значение которого вам надо определить.
Измерьте радиус шарика;
исследуйте зависимость \(s(H)\);
постройте график зависимости \(s(H)\);
определите значение коэффициента \(k\).
Примечание: длина окружности \(L\) связана с диаметром круга \(D\) соотношением \(L = \pi D\), где \(\pi\) — безразмерный коэффициент, значение которого равно \(\pi = 3{,}14\). Оборудование: металлический шарик, мягкая основа, линейка, уголок, штатив с лапкой, миллиметровая бумага.
▶ОтветСкрыть
1) \(R \approx 1{,}24\) см; 2)–3) график \(s(H)\) (см. решение); 4) \(k \approx 0{,}12\) см.
▶РешениеСкрыть
Радиус шарика. Методом прокатывания находим диаметр \(D = 2{,}47\) см, радиус \(R = \dfrac{D}{2} = 1{,}24\) см.
Зависимость \(s(H)\). Скатываем шарик с разных высот, для каждой высоты берём среднее значение \(s\) (несколько повторов). Данные \(H\), см; \(s\), см: \(0{,}4\); \(4{,}8\). \(1{,}1\); \(13{,}0\). \(1{,}8\); \(21{,}8\). \(2{,}5\); \(28{,}8\). \(3{,}2\); \(35{,}3\). \(3{,}9\); \(41{,}0\). \(5{,}6\); \(58{,}0\). По этим точкам строим график \(s(H)\) (рисунок в решении).
Коэффициент \(k\). По графику угловой коэффициент \[\frac{\Delta s}{\Delta H} = \frac{59}{5{,}6} \approx 10{,}5 .\] Так как \(\dfrac{\Delta s}{\Delta H} = \dfrac{R}{k}\), получаем \[k = \frac{R}{\Delta s/\Delta H} = \frac{1{,}24}{10{,}5} \approx 0{,}12\text{ см}.\]
Источник: Олимпиада имени Дж. К. Максвелла, 2024/25, региональный этап, 7 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.