Максвелл, 2024/25, региональный этап, 8 класс

Подсказка

Радиус шарика удобно найти по диаметру, измеренному в нескольких местах. Для степени \(n\) выгодно построить зависимость в координатах, где она становится прямой.

Ответ

1) \(R = 19{,}5\) мм;  2) \(n = 1\), \(k = 0{,}043\) г/мм;  3) \(m_0 = 1{,}68\) г;  4) \(\rho_S \approx 0{,}35\) кг/м\(^2\), \(\rho_V \approx 0{,}92\) кг/м\(^3\).

Решение

1) Радиус найден двумя способами. Метод 1: шарик зажимают между брусками в разных местах, диаметр измеряют несколько раз, среднее \(D_{\text{ср}} = 39\) мм, \(R = 0{,}5D_{\text{ср}} = 19{,}5\) мм. Метод 2: шарик прокатывают по столу на \(n = 3\) оборота, средний путь \(L_{\text{ср}} = 368\) мм, \(R = \dfrac{L_{\text{ср}}}{2\pi n} \approx 19{,}5\) мм.

2) Масса сегмента взвешивается на весах, высота сегмента уменьшается срезанием полосок ножницами; параллельность брусков контролируется по миллиметровой бумаге. Получены точки \((h, m)\): \((35; 1{,}50)\), \((33; 1{,}41)\), \((29; 1{,}23)\), \((26; 1{,}10)\), \((22; 0{,}96)\), \((18; 0{,}76)\), \((14; 0{,}60)\), \((11; 0{,}48)\), \((8; 0{,}35)\); \(h\) в мм, \(m\) в граммах. Точки ложатся на прямую, проходящую через начало координат, значит \(n = 1\). По наклону прямой \(k = \dfrac{1{,}2}{28} \approx 0{,}043\) г/мм.

3) Масса целого шарика получается экстраполяцией к диаметру, \(m_0 = kD = 0{,}043\cdot 39 \approx 1{,}68\) г.

4) Поверхностная плотность: \(\rho_S = \dfrac{m_0}{4\pi R^2} = \dfrac{1{,}68\cdot 10^{-3}} {4\cdot 3{,}14\cdot(19{,}5\cdot 10^{-3})^2} \approx 0{,}35~\text{кг/м}^2\). Объёмная плотность: толщину стенки находят методом рядов. Обрезки шарика укладывают в ряд длиной \(l = 5\) мм из \(N = 13\) обрезков, \(l_1 = l/N\). Тогда \(\rho_V = \dfrac{m_0}{4\pi R^2 l_1} = \dfrac{m_0 N}{4\pi R^2 l} \approx 0{,}92~\text{кг/м}^3\).

Подсказка

Объём трубки находят по выталкивающей силе: погружайте открытую трубку в воду, а затем трубку с закрытым скотчем концом. Для массы трубки используйте правило моментов.

Ответ

1) \(V \approx 302\) см\(^3\);  2) \(D/d \approx 1{,}5\);  3) \(M = 274\) г;  4) \(\rho \approx 0{,}91\) г/см\(^3\).

Решение

1) Метод гидростатического взвешивания: трубку погружают в воду на \(x\) делений, показания весов переводят в объём погружённой части, \(V_{\text{откр}}(x) = \dfrac{1}{32}V\,x\) (трубка разделена на 32 части). По угловому коэффициенту \(k_{\text{откр}} = \dfrac{V}{32} = \dfrac{66}{7}\) см\(^3\) находят \(V \approx 302\) см\(^3\).

2) Для трубки с закрытым скотчем концом объём погружённой части \(V_{\text{закр}}(x) = \dfrac{\pi D^2}{4}\cdot\dfrac{x}{32}L\), для открытой \(V_{\text{откр}}(x) = \left(\dfrac{\pi D^2}{4}-\dfrac{\pi d^2}{4}\right)\dfrac{x}{32}L\). Отношение угловых коэффициентов \(\dfrac{k_{\text{закр}}}{k_{\text{откр}}} = \dfrac{D^2}{D^2-d^2} = \dfrac{115}{66}\), откуда \(D/d \approx 1{,}5\).

3) Собираем установку. Правило моментов относительно точки \(O\): \(Mg\left(\dfrac{L}{2}-\alpha L\right) = mg(L-\alpha L)\), откуда \(m = M\,\dfrac{1-2\alpha}{2(1-\alpha)}\), то есть зависимость линейна в координатах \(\left(\dfrac{1-2\alpha}{2(1-\alpha)};\ m\right)\) с угловым коэффициентом, равным массе трубки. По данным измерений (например, \(\alpha = 0{,}11\): \(m = 29\) г; \(\alpha = 0{,}44\): \(m \approx 122\) г) получаем \(M = 274\) г.

4) Плотность \(\rho = \dfrac{M}{V} = \dfrac{274}{302} \approx 0{,}91\) г/см\(^3\).

Ответ

\(t_0 = \dfrac{8}{3}\tau\);  \(\dfrac{v_{\text{к}}}{v_{\text{т}}} = \dfrac{5}{3}\).

Решение

Обозначим скорость реки \(u\), собственные скорости катера и теплохода относительно реки \(v_{\text{к}}\) и \(v_{\text{т}}\). Перейдём в систему отсчёта реки, где плот неподвижен. Тогда: плот: \(x_{\text{п}} = 0\); катер: \(x_{\text{к}} = v_{\text{к}} t\) при \(t \in [0, 2\tau]\) и \(x_{\text{к}} = 2v_{\text{к}}\tau - v_{\text{к}}(t-2\tau)\) при \(t > 2\tau\); теплоход: \(x_{\text{т}} = x_0 - v_{\text{т}} t\).

Встреча теплохода с катером в момент \(\tau\): \(x_0 - v_{\text{т}}\tau = v_{\text{к}}\tau\), откуда \(x_0 = (v_{\text{к}} + v_{\text{т}})\tau\).

Вторая встреча катера с плотом: \(2v_{\text{к}}\tau - v_{\text{к}}(t_1 - 2\tau) = 0\), откуда \(t_1 = 4\tau\). Вторая встреча катера с теплоходом в момент \(6\tau\): \(2v_{\text{к}}\tau - v_{\text{к}}\cdot 4\tau = x_0 - 6v_{\text{т}}\tau\), то есть \(-2v_{\text{к}}\tau = (v_{\text{к}} + v_{\text{т}})\tau - 6v_{\text{т}}\tau\), откуда \(\dfrac{v_{\text{к}}}{v_{\text{т}}} = \dfrac{5}{3}\).

Встреча теплохода с плотом в момент \(t_0\): \(0 = x_0 - v_{\text{т}} t_0\), откуда \(t_0 = \tau\dfrac{v_{\text{к}}+v_{\text{т}}}{v_{\text{т}}} = \dfrac{8}{3}\tau\).

Решение графическим методом (в системе отсчёта реки) даёт те же результаты: точка встречи теплохода и плота является точкой пересечения медиан треугольника на графике, что даёт \(t_0 = \tfrac{2}{3}\cdot 4\tau = \tfrac{8}{3}\tau\).

Подсказка

Пока первый автомобиль едет по мосту, сила реакции опоры \(A\) меняется линейно. Правило моментов относительно опоры \(B\) даст зависимость \(N(t)\) на каждом участке.

Ответ

1) график состоит из четырёх линейных участков (см. решение);  2) \(L = 75\) м;  3) \(\Delta t = 11\) с;  4) \(M = 248{,}4\) т;  5) \(m = 1{,}5\) т.

Решение

Правило моментов относительно опоры \(B\) после въезда первого автомобиля: \(NL = \dfrac{MgL}{2} + mg(L - vt)\), откуда \(N = \dfrac{1}{2}Mg + mg - \dfrac{mgvt}{L}\) (1).

После въезда второго автомобиля: \(N = \dfrac{1}{2}Mg + mg - \dfrac{mgv\Delta t}{L}\) (2), не зависит от времени.

После съезда первого автомобиля с моста: \(N = \dfrac{1}{2}Mg - \dfrac{mgv\Delta t}{L} + \dfrac{mgvt}{L}\) (3).

После съезда второго автомобиля: \(N = \dfrac{1}{2}Mg\) (4).

График \(N(t)\) состоит из четырёх линейных участков: первый убывает с угловым коэффициентом \(-\dfrac{mgv}{L}\), второй горизонтален, третий возрастает с угловым коэффициентом \(\dfrac{mgv}{L}\), четвёртый горизонтален. Точки 1 и 2 относятся к первому участку, точка 3 — ко второму, точка 4 — к третьему.

Каждый автомобиль проводит на мосту 15 с (точка 6 — момент съезда первого автомобиля). Тогда \(L = vt_6 = 5 \cdot 15 = 75\) м, где \(v = 18\) км/ч \(= 5\) м/с. Время между въездами автомобилей \(\Delta t = 11\) с (начало горизонтального участка).

Точка 7, в которую первая прямая пришла бы к 15-й секунде, даёт массу моста \(M = 248{,}4\) т. Разность начального значения силы реакции опоры и \(N_7\) даёт массу автомобиля \(m = 1{,}5\) т.

Ответ

1) \(\rho_2 = \rho_1\left(1 - \dfrac{H}{2h}\right)\);  2) при \(h < H\): \(m = \dfrac{\rho_1 HS}{2}\); при \(\dfrac{5H}{4} > h > H\): \(m = \dfrac{\rho_1 H(2H-h)S}{2h}\).

Решение

1) Давления у дна в левом и правом сосудах равны: \(\rho_2 gh + \rho_1 g\left(\dfrac{3H}{2} - h\right) = \rho_1 gH\), откуда \(\rho_2 = \rho_1\left(1 - \dfrac{H}{2h}\right)\).

2) Когда уровни сравняются, каждый будет на высоте \(\dfrac{5H}{4}\): в левом сосуде уровень опустится на \(\dfrac{H}{4}\), в правом поднимется на \(\dfrac{H}{4}\). Учтём, что \(h > \dfrac{H}{2}\).

Случай \(h < H\): нижняя граница второй жидкости не опускается до трубочки. Масса поршня из условия равенства давлений у дна: \(\dfrac{mg}{S} + \rho_2 gh + \rho_1 g\left(\dfrac{5H}{4} - h\right) = \rho_1 g\dfrac{5H}{4}\), откуда \(m = (\rho_1 - \rho_2)hS = \dfrac{\rho_1 H}{2}S\).

Случай \(\dfrac{5H}{4} > h > H\): нижний уровень жидкости с плотностью \(\rho_2\) при опускании поршня доходит до трубочки, жидкость начинает перетекать в правый сосуд и всплывает там (так как \(\rho_2 < \rho_1\)). Столб жидкости с \(\rho_1\) в левом сосуде доходит до уровня \(\dfrac{H}{4}\), столб с \(\rho_2\) имеет высоту \(H\). В правом сосуде столб с \(\rho_1\) имеет высоту \(\left(\dfrac{9H}{4} - h\right)\), столб с \(\rho_2\) — высоту \((h - H)\). Тогда \(\dfrac{mg}{S} + \rho_2 gH + \rho_1 g\dfrac{H}{4} = \rho_1 g\left(\dfrac{9H}{4} - h\right) + \rho_2 g(h - H)\), откуда \(m = \rho_1\dfrac{H(2H-h)}{2h}S\).

Ответ

1) \(P \approx 4{,}9\) кВт;  2) \(t_{\text{н}} = 10\) \(^\circ\)C;  3) \(\mu_1 \approx 1{,}3\cdot 10^{-5}\) м\(^3\)/с \(\approx 0{,}78\) л/мин.

Решение

Пусть \(\tau\) — время, в течение которого вода находится в нагревателе. Нагреватель передаёт воде \(Q_1 = P\tau\), вода получает \(Q_2 = cm(t_{\text{г}} - t_{\text{н}})\). Тепловой баланс: \(P\tau = cm(t_{\text{г}} - t_{\text{н}})\). Масса воды \(m = \rho V = \rho\mu\tau\), поэтому \(P = c\rho\mu(t_{\text{г}} - t_{\text{н}})\).

По графику выберем две хорошо определяемые точки: \(t_{\text{г1}} = 45\) \(^\circ\)C при \(\mu_1 = 2\) л/мин \(= \dfrac{2}{60}\) л/с и \(t_{\text{г2}} = 20\) \(^\circ\)C при \(\mu_2 = 7\) л/мин \(= \dfrac{7}{60}\) л/с. Система: \(P = c\rho\mu_1(t_{\text{г1}} - t_{\text{н}})\), \(P = c\rho\mu_2(t_{\text{г2}} - t_{\text{н}})\). Отсюда \(t_{\text{н}} = \dfrac{\mu_2 t_{\text{г2}} - \mu_1 t_{\text{г1}}}{\mu_2 - \mu_1} = 10\) \(^\circ\)C.

Мощность \(P = 4200\cdot 1000\cdot\dfrac{0{,}002}{60}\cdot(45 - 10) \approx 4{,}9\) кВт.

При \(t_{\text{к}} = 100\) \(^\circ\)C: \(\mu_1 = \dfrac{P}{c\rho(100 - 10)} = \dfrac{4900}{4200\cdot 1000\cdot 90} \approx 1{,}3\cdot 10^{-5}\) м\(^3\)/с \(\approx 0{,}78\) л/мин.