МОШ, 1960–1986, 8–11 класс, электричество и магнетизм

Между двумя разноимёнными точечными зарядами \(+q_1\) и \(-q_2\) помещают тонкий диэлектрический стержень (рис. 73).

Как изменятся силы, действующие на заряды?

Линия напряжённости выходит из положительного точечного заряда \(+q_1\) под углом \(\alpha\) к прямой, соединяющей его с отрицательным точечным зарядом \(-q_2\) (рис. 74).

Под каким углом \(\beta\) линия напряжённости войдёт в заряд \(-q_2\)?

Найдите напряжённость \(E\) электрического поля в центре полусферы, создаваемую зарядами, распределёнными равномерно с плотностью \(\sigma\) по всей поверхности этой полусферы.

Напряжённость электрического поля, создаваемая зарядами, равномерно распределёнными по поверхности полусферы, в центре \(O\) этой полусферы равна \(E_0\). Двумя плоскостями, проходящими через один и тот же диаметр и составляющими друг с другом угол \(\alpha\), от этой полусферы отделена часть поверхности (рис. 75).

Найдите напряжённость \(E\) электрического поля в той же точке \(O\), создаваемую зарядами, находящимися на отделённой части поверхности (на «дольке»).

Два плоских конденсатора расположены перпендикулярно общей оси. Расстояние между конденсаторами \(d\) много больше размеров их пластин и расстояния \(l\) между ними. Оба конденсатора заряжены "— заряд первого конденсатора \(q_1\), а второго \(q_2\) (рис. 76).

Найдите силу взаимодействия \(F\) конденсаторов.

Найдите силу взаимодействия \(F\) двух соприкасающихся по всей поверхности полусфер радиуса \(R\), если одна из них равномерно заряжена с поверхностной плотностью \(\sigma_1\), а другая \(\sigma_2\).

Известно, что минимальная напряжённость однородного электрического поля, которое разрывает на две части проводящую незаряженную тонкостенную сферу, равна \(E_0\).

Определите минимальную напряжённость \(E_1\) поля, которое разорвёт сферу вдвое большего радиуса, если толщина её стенок остаётся постоянной.

Три небольших одинаковых незаряженных металлических шарика находятся в вершинах равностороннего треугольника. Шарики поочерёдно по одному разу соединяют с удалённым большим заряженным проводящим шаром, центр которого находится на перпендикуляре, восставленном к плоскости треугольника и проходящем через центр последнего. В результате на первом шарике оказался заряд \(q_1\), а на втором "— заряд \(q_2\).

Определите заряд \(q_3\) третьего шарика.

Металлический шар радиуса \(r_1\), заряженный до потенциала \(\varphi_1\), окружают проводящей тонкостенной сферической оболочкой радиуса \(r_2\) (рис. 77).

Определите потенциал \(\varphi_2\) шара после того, как шар будет на некоторое время соединён проводником с оболочкой?

Очень маленькая заземлённая проводящая сфера находится на расстоянии \(a\) от точечного заряда \(q_1\) и на расстоянии \(b\) от точечного заряда \(q_2\) (\(a < b\)). В некоторый момент сфера начинает расширяться так, что её радиус растёт по закону \(R = vt\).

Определите зависимость силы тока от времени \(I(t)\) в проводнике, осуществляющем заземление. Считать, что точечные заряды и центр сферы неподвижны и в соответствующие моменты времени исходные точечные заряды попадают внутрь расширяющейся сферы, не касаясь её (через небольшие отверстия).

Три незаряженных конденсатора, ёмкости которых равны \(C_1\), \(C_2\) и \(C_3\), соединены, как показано на рис. 78, и подключены к точкам \(A\), \(B\) и \(D\). Потенциалы этих точек равны \(\varphi_A\), \(\varphi_B\) и \(\varphi_D\).

Определите потенциал \(\varphi_0\) общей точки \(O\).

Толщина плоского листка металлической фольги равна \(d\), площадь листка \(S\). Расстояние от некоторого заряда \(q\) до центра листка равно \(l\), причём \(d \ll \sqrt{S} \ll l\).

Определите силу \(F\), с которой листок притягивается к заряду \(q\). Считать, что прямая, соединяющая заряд с центром листка, перпендикулярна поверхности листка.

К какой паре точек схемы, изображённой на рис. 79, надо подключить источник тока, чтобы зарядить все шесть конденсаторов, ёмкости которых равны?

Плоский конденсатор заполнен диэлектриком, проницаемость которого зависит от напряжения на конденсаторе по закону \(\varepsilon = \alpha U\), где \(\alpha = 1\) В\(^{-1}\). Параллельно этому «нелинейному» конденсатору, который не заряжен, подключают такой же конденсатор, но без диэлектрика, который заряжен до напряжения \(U_0 = 156\) В.

Определите напряжение \(U\), которое установится на конденсаторах.

Два небольших шарика массой \(m\), несущие одинаковый заряд \(q\) каждый, соединены непроводящей нитью длины \(2l\). В некоторый момент времени середина нити начинает двигаться с постоянной скоростью \(v\), перпендикулярной направлению нити в начальный момент времени.

Определите, на какое минимальное расстояние \(d\) сблизятся шарики.

Два шарика с зарядами \(q_1\) и \(q_2\) имели вначале одинаковые по модулю и направлению скорости. После того как на некоторое время было включено однородное электрическое поле, направление скорости 1-го шарика повернулось на \(60^\circ\), а модуль скорости уменьшился вдвое. Направление скорости 2-го шарика повернулось на \(90^\circ\).

Во сколько раз изменилась скорость 2-го шарика? Определите модуль отношения заряда к массе для 2-го шарика, если для 1-го он равен \(k_1\). Электростатическим взаимодействием шариков пренебречь.

В вершинах правильного 1977-угольника со стороной \(a\) были закреплены небольшие одинаковые шарики с равными зарядами. В некоторый момент времени один из шариков был освобождён, а через достаточно большой промежуток времени был освобождён шарик, соседний с 1-ым освобождённым. Оказалось, что на достаточно большом расстоянии от многоугольника кинетические энергии отпущенных шариков различаются на величину \(K\).

Найдите заряд \(q\) каждого шарика.

Почему ударную ионизацию (ионизация в результате соударения) атомов производят электроны, а не ионы, хотя те и другие приобретают в ускоряющем поле одинаковую кинетическую энергию \(mv^2/2 = e\,\Delta\varphi\) (\(e\) "— заряд частиц, \(\Delta\varphi\) "— разность потенциалов ускоряющего поля). Считать, что после соударения ионизируемый атом и налетевшая на него частица имеют приблизительно одинаковые скорости.

Два небольших одинаковых шарика, лежащие на горизонтальной плоскости, соединены невесомой пружиной. Один из шариков закреплён в точке \(O\), другой свободен. Каждый из шариков одинаково зарядили, в результате чего пружина растянулась в два раза.

Определите, во сколько раз изменилась частота гармонических колебаний системы.

Два небольших шарика, имеющих одинаковые массы и заряды и находящихся на одной вертикали на высотах \(h_1\) и \(h_2\), бросили в одну сторону в горизонтальном направлении с одинаковыми скоростями \(v\). Шарик 1-й коснулся земли на расстоянии \(l\) от вертикали бросания.

На какой высоте \(H_2\) будет в этот момент 2-й шарик? Сопротивлением воздуха и влиянием индуцированных на земле зарядов пренебречь.

Моток голой проволоки, состоящий из семи с половиной витков, растянут между двумя вбитыми в доску гвоздями, к которым прикреплены концы проволоки. Подключив к гвоздям приборы, измерили сопротивление цепи между гвоздями.

Определите, во сколько раз изменится это сопротивление, если моток размотать, оставив концы присоединёнными к гвоздям.

Пять одинаковых сопротивлений (спиралей для электрических плиток) включены по схеме, указанной на рис. 80.

Как изменится накал правой верхней спирали, если замкнуть ключ \(K\)?

Как изменится сопротивление цепи, состоящей из пяти одинаковых проводников, если добавить ещё два таких же проводника, как показано штриховой линией на рис. 81?

Проволочный каркас в виде тетраэдра \(ADCB\) подключён к источнику постоянного тока (рис. 82). Сопротивления всех рёбер тетраэдра одинаковы.

Определите, исключение какого из рёбер каркаса приведёт к наибольшему изменению тока \(I\) в цепи. Чему равно это максимальное изменение тока \(\Delta I_{\max}\)? Сопротивлением подводящих проводов пренебречь.

В схеме, изображённой на рис. 83, сопротивления всех резисторов одинаковы и равны \(R\). Напряжение на клеммах равно \(U\).

Определите силу тока \(I\) в подводящих проводах, если их сопротивлением можно пренебречь.

Определите сопротивление цепи \(R_{AB}\) между точками \(A\) и \(B\) каркаса, составленного из девяти одинаковых проволочек сопротивлением \(R\) каждая (рис. 84).

Найдите сопротивление \(R_{AB}\) между точками \(A\) и \(B\) каркаса, изготовленного из тонкой однородной проволоки (рис. 85). Число последовательно вложенных равносторонних треугольников (стороны каждого последующего уменьшаются в два раза) считать стремящимся к бесконечности. Сторону \(AB\) принять равной \(a\), сопротивление единицы длины проволоки \(\rho\).

Схема из резисторов состоит из очень большого (бесконечного) числа звеньев (рис. 86). Сопротивления резисторов каждого последующего звена в \(k\) раз отличаются от сопротивления резисторов в предыдущем звене.

Найдите сопротивление \(R_{AB}\) между точками \(A\) и \(B\), если сопротивления в первом звене равны \(R_1\) и \(R_2\).

Для регулирования напряжения на нагрузке собрана схема, изображённая на рис. 87. Сопротивления нагрузки и регулировочного реостата равны \(R\). Нагрузка подключена к половине реостата. Входное напряжение неизменно и равно \(U\).

Определите, как изменится напряжение на нагрузке, если её сопротивление увеличить в два раза.

Имеются два разных амперметра. Отклонение стрелки в каждом амперметре пропорционально силе тока, а шкалы имеют равномерные деления. К первому амперметру подключён резистор с сопротивлением \(R_1\), ко второму амперметру "— резистор с неизвестным сопротивлением \(R_x\). Сначала амперметры соединяют последовательно и подключают к точкам \(A\) и \(B\) (как показано на рис. 88). Отклонения стрелок в амперметрах в этом случае равны \(n_1\) и \(n_2\). Затем эти амперметры соединяют параллельно и подключают к точкам \(A\) и \(B\) (как показано на рис. 89). Отклонения стрелок во втором случае равны \(n_1'\) и \(n_2'\).

Определите неизвестное сопротивление \(R_x\) второго резистора.

Имеются две проволоки одинаковой длины, но разного квадратного сечения, сделанные из одного и того же материала. Сторона сечения первой проволоки \(d_1 = 1\) мм, второй \(d_2 = 4\) мм. Для того чтобы расплавить первую проволоку, через неё нужно пропустить ток \(I_1 = 10\) А.

Определите силу тока \(I_2\), который нужно пропустить через вторую проволоку, чтобы она расплавилась. Считать, что количество теплоты, уходящее в окружающую среду за 1 секунду, подчиняется закону \(Q = kS(T - T_{\text{ср}})\), где \(S\) "— площадь поверхности проволоки, \(T\) "— её температура, \(T_{\text{ср}}\) "— температура окружающей среды вдали от проволоки, \(k\) "— коэффициент пропорциональности, одинаковый для обоих образцов.

В схеме, изображённой на рис. 90, переключатель \(K\) может находиться в положениях 1 и 2. В цепь включены два источника постоянного тока, два резистора и амперметр. Э. д. с. одного источника тока равна \(\mathcal{E}_1\), э. д. с. другого неизвестна. Внутреннее сопротивление источников тока равно нулю. Сопротивление резисторов также неизвестно. Сопротивление одного резистора является переменным, и его подбирают так, чтобы ток через амперметр при двух положениях переключателя был одинаковым; этот ток измеряют, и он оказывается равным \(I\).

Определите сопротивление, обозначенное на схеме через \(R_x\).

Может ли сила тока, протекающего через резистор, увеличиться, если замкнуть накоротко один из источников тока, например с э. д. с. \(\mathcal{E}_2\), как показано на рис. 91? Параметры элементов схемы считать заданными.

Скрытая схема, состоящая из резисторов («чёрный ящик»), имеет четыре вывода (рис. 92). Если к зажимам \(1\) и \(2\) подвести напряжение, то при разомкнутых клеммах \(3\) и \(4\) внутри схемы выделяется мощность \(N_1 = 40\) Вт, а при замкнутых клеммах \(3\) и \(4\) \(N_2 = 80\) Вт. Если к тому же источнику подключить клеммы \(3\) и \(4\), то при разомкнутых клеммах \(1\) и \(2\) в схеме выделяется мощность \(N_3 = 20\) Вт.

Определите мощность \(N_4\), которую будет потреблять схема при замкнутых клеммах \(1\) и \(2\), когда то же напряжение будет приложено к клеммам \(3\) и \(4\).

В схеме, изображённой на рис. 93, определите силу протекающего через батарею тока: в первый момент времени после замыкания ключа \(K\); спустя большой промежуток времени. Параметры элементов схемы считать заданными.

Ключ \(K\) (рис. 94) замыкают поочерёдно с каждым из контактов на малые одинаковые промежутки времени, так что изменение заряда конденсатора за время каждого замыкания мало.

Какой заряд \(q_{\text{уст}}\) установится на конденсаторе?

В электрическую цепь включены источник тока с э. д. с. \(\mathcal{E}\) и внутренним сопротивлением \(r\), конденсаторы ёмкостью \(C_1\) и \(C_2\) и резисторы сопротивлением \(R_1\) и \(R_2\) (рис. 95).

Найдите напряжения \(U_1\) и \(U_2\) на каждом конденсаторе.

Между точками \(E\) и \(F\) схемы, изображённой на рис. 96, включают сначала идеальный вольтметр, а затем идеальный амперметр; их показания соответственно равны \(U_0\) и \(I_0\).

Определите силу тока \(I\), который будет течь через резистор сопротивлением \(R\), включённый между точками \(E\) и \(F\).

Пластина \(A\) плоского конденсатора неподвижна, пластина \(Б\) прикреплена к стенке пружиной и может двигаться, оставаясь параллельной пластине \(A\) (рис. 97). После замыкания ключа \(K\) пластина \(Б\) начала двигаться и остановилась в новом положении равновесия. При этом начальное равновесное расстояние \(d\) между пластинами конденсатора (когда пружина не растянута) уменьшилось на \(10\,\%\).

На сколько изменилось бы равновесное расстояние между пластинами, если бы ключ \(K\) замкнули на короткое время? Считать, что за это время пластина \(Б\) не успевает заметно сдвинуться.

Из однородной проволоки постоянного сечения составлена показанная на рис. 98 цепь.

Найдите отношение количества теплоты \(Q_{12}/Q_{34}\), выделяющееся в единицу времени на участках \(1\)–\(2\) и \(3\)–\(4\).

Напряжение между анодом и катодом вакуумного диода равно \(U\), анодный ток равен \(I\).

Найти среднее давление \(p_{\text{ср}}\) электронов на анод площадью \(S\).

На клеммы \(AB\) (рис. 99) подаётся такое меняющееся во времени напряжение, что напряжение на обкладках конденсатора меняется по закону, представленному на рис. 100.

Нарисуйте график зависимости напряжения от времени на клеммах \(CD\).

Две батареи с э. д. с. \(\mathcal{E}_1\) и \(\mathcal{E}_2\), конденсатор ёмкостью \(C\) и резистор сопротивлением \(R\) соединены, как показано на рис. 101.

Определите количество теплоты \(Q\), выделяющееся на резисторе после переключения ключа \(K\).

Электрическая цепь составлена из источника тока с э. д. с. \(\mathcal{E}\) и внутренним сопротивлением \(r\) и двух подключённых параллельно к источнику тока резисторов (рис. 102). Сопротивление одного из резисторов \(R_1\) неизменно, а сопротивление другого \(R_2\) можно подобрать так, чтобы выделяемая в этом резисторе мощность была максимальной.

Найдите значение \(R_2\), соответствующее этой максимальной мощности.

Конденсатор ёмкостью \(C_1\) разряжается через резистор сопротивлением \(R\). Когда сила тока разряда достигает значения \(I_0\), ключ \(K\) размыкают (рис. 103).

Найдите количество теплоты \(Q\), которое выделится на резисторе, начиная с этого момента времени.

Батарея с э. д. с., равной \(\mathcal{E}\), конденсаторы ёмкостями \(C_1\) и \(C_2\) и резистор сопротивлением \(R\) соединены, как показано на рис. 104.

Найдите количество теплоты \(Q\), выделяющееся на резисторе после переключения ключа \(K\).

В схеме, показанной на рис. 105, перед замыканием ключа \(K\) конденсатор ёмкостью \(C\) не был заряжен. Ключ замыкают на некоторое время, в течение которого конденсатор зарядился до напряжения \(U\).

Определите, какое количество теплоты \(Q_2\) выделится за это время на резисторе сопротивлением \(R_2\). Э. д. с. источника тока равна \(\mathcal{E}\), его внутренним сопротивлением пренебречь.

По горизонтальным параллельным рельсам, расстояние между которыми равно \(d\), может скользить без трения перемычка, масса которой равна \(m\). Рельсы соединены резистором сопротивлением \(R\) и помещены в вертикальное однородное магнитное поле, индукция которого равна \(B\). Перемычке сообщают скорость \(v_0\) (рис. 106).

Найдите путь \(s\), пройденный перемычкой до остановки. Как зависит ответ от направления индукции \(\vec B\)?

Как будут зависеть от времени показания гальванометра, включённого в цепь расположенного горизонтально кругового контура, если вдоль оси этого контура будет падать заряженный шарик?

В однородном постоянном во времени магнитном поле, индукция которого \(\vec B\) направлена вверх, движется подвешенный на нерастяжимой нити длины \(l\) маленький заряженный шарик. Масса шарика равна \(m\), заряд \(q\), период обращения \(T\). Найдите радиус \(r\) окружности, по которой движется шарик, если нить всё время натянута.

В однородном магнитном поле с индукцией \(\vec B\) с постоянной скоростью \(\vec v\) движется металлический шарик радиуса \(r\).

Укажите точки шарика, разность потенциалов \(\Delta\varphi_{\max}\) между которыми будет максимальна, и определите эту разность потенциалов. Считать, что направление скорости составляет с направлением магнитной индукции угол \(\alpha\).

По обмотке длинного цилиндрического соленоида радиуса \(R\) протекает постоянный ток, создающий внутри соленоида однородное магнитное поле с индукцией \(B\). Между витками соленоида в него влетает по радиусу (перпендикулярно оси соленоида) электрон со скоростью \(v\) (рис. 107). Отклоняясь в магнитном поле, электрон спустя некоторое время покинул соленоид.

Определите время \(t\) движения электрона внутри соленоида.

По двум параллельным металлическим направляющим, наклонённым под углом \(\alpha\) к горизонту и расположенным на расстоянии \(b\) друг от друга, может скользить без трения металлическая перемычка массой \(m\). Направляющие замкнуты снизу на незаряженный конденсатор ёмкостью \(C\), и вся конструкция находится в магнитном поле, индукция которого \(\vec B\) направлена вертикально. В начальный момент перемычку удерживают на расстоянии \(l\) от основания «горки» (рис. 108).

Определите время \(t\), за которое перемычка достигнет основания «горки» после того, как её отпустят. Какую скорость \(v_{\text{к}}\) она будет иметь у основания? Сопротивлением направляющих и перемычки пренебречь.

Квадратная недеформируемая сверхпроводящая рамка массой \(m\) со стороной \(a\) расположена горизонтально и находится в неоднородном магнитном поле, индукция которого меняется в пространстве по закону \(B_x = -\alpha x\), \(B_y = 0\), \(B_z = \alpha z + B_0\) (рис. 109). Индуктивность рамки равна \(L\). В начальный момент времени центр рамки совпадает с началом координат \(O\), а стороны параллельны осям \(x\) и \(y\). Ток в рамке в этот момент равен нулю. Рамку отпускают.

Как она будет двигаться и где окажется спустя время \(t\) после начала движения?

Длинная цилиндрическая катушка, намотанная на каркас диаметром \(D_1\), имела индуктивность \(L_1\). При подключении катушки к источнику тока внутри неё создавалось магнитное поле с индукцией \(B_1\). Потом катушку решили переделать. Её размотали и тот же провод намотали на каркас диаметром \(D_2\). Индуктивность катушки стала \(L_2\).

Определите индукцию \(B_2\) магнитного поля внутри новой катушки при подключении её к тому же источнику тока. Считать, что длина провода намного больше длины катушек.

Две длинные цилиндрические катушки с равномерной намоткой одинаковой длины и почти одинакового радиуса имеют индуктивности \(L_1\) и \(L_2\). Их вставили друг в друга (соосно) и присоединили к цепи так, как показано на рис. 110. Направление тока в цепи и в витках катушек показано стрелками.

Найдите индуктивность \(L\) такой составной катушки.

Лебёдка приводится в движение электродвигателем с независимым возбуждением, питающимся от батареи с э. д. с. \(\mathcal{E} = 300\) В. Без груза конец троса с крюком поднимается со скоростью \(v_1 = 4\) м/с, с грузом массой \(m = 10\) кг со скоростью \(v_2 = 1\) м/с.

Определите, с какой скоростью \(v'\) будет двигаться груз и какова должна быть его масса \(m'\), чтобы лебёдка развивала максимальную мощность. Массой троса с крюком пренебречь.

Схема с идеальным диодом включена в сеть переменного тока (рис. 111).

Определите, в каких пределах изменяется напряжение между точками \(A\) и \(K\).

Конденсатор неизвестной ёмкости, катушка индуктивностью \(L\) и резистор сопротивлением \(R\) подключены к источнику переменного напряжения \(\mathcal{E} = \mathcal{E}_0 \cos\omega t\) (рис. 112). Сила тока в цепи равна \(I = (\mathcal{E}_0/R)\cos\omega t\).

Определите амплитуду напряжения \(U_0\) между обкладками конденсатора.

Под действием постоянного напряжения \(U\) конденсатор ёмкостью \(C = 10^{-11}\) Ф, входящий в схему, указанную на рис. 113, заряжается до заряда \(q_1 = 10^{-9}\) Кл. Индуктивность катушки равна \(L = 10^{-5}\) Гн, сопротивление резистора \(R = 100\) Ом.

Определите амплитуду установившихся колебаний заряда \(q_0\) конденсатора при резонансе, если амплитуда внешнего синусоидального напряжения равна \(U_0 = U\).

Батарея из двух последовательно соединённых конденсаторов ёмкостью \(C\) каждый заряжена до напряжения \(U\) и в начальный момент времени подключена к катушке индуктивностью \(L\), так что образовался колебательный контур (рис. 114). Спустя интервал времени \(\tau\) один из конденсаторов пробивается и сопротивление между его обкладками становится равным нулю.

Найдите амплитуду колебаний заряда \(q_0\) на непробитом конденсаторе.

Как можно избежать аварии, связанной с перегоранием обмотки сверхпроводящего соленоида?