МОШ, 1986/87, заключительный этап, 10 класс

Ответ

Центр коробки движется по сторонам равностороннего треугольника, вписанного в окружность радиусом \(R/2\) с центром в центре масс системы.

Решение

Полный импульс системы равен нулю, поскольку массы и скорости у коробки и у шайбы одинаковые. Следовательно, центр масс системы, расположенный на половине расстояния от центра коробки до шайбы, в любой момент времени остаётся неподвижным. Поскольку расстояние от шайбы до центра коробки не может превышать \(R\), то центр коробки всё время находится внутри окружности радиусом \(R/2\) с центром в центре масс системы.

В те моменты, когда центр коробки достигает этой окружности, происходят соударения шайбы со стенками коробки. Из условия задачи следует, что угол падения шайбы на стенку коробки равен \(30^\circ\). Поскольку при ударе шайба и коробка обмениваются нормальными составляющими скоростей, которые равны друг другу, а тангенциальные составляющие скоростей не изменяются, то угол падения будет равен углу отражения. Таким образом, векторы скоростей шайбы и центра коробки при ударе поворачиваются на угол, равный \(180^\circ - 2\cdot 30^\circ = 120^\circ\), и траектория, которую описывает центр коробки, является равносторонним треугольником, вписанным в окружность радиусом \(R/2\) (см. рис. 1.107, где эта траектория изображена сплошными прямыми линиями, а траектория шайбы — пунктиром, и показаны начальные положения и скорости шайбы и коробки).

Ответ

\(I_{\text{к}} = L_{\text{н}}I_{\text{н}}/L_{\text{к}} = 5\) А.

Решение

ЭДС индукции, возникающая в катушке, равна \(\mathcal{E} = -\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}\), где \(\Phi\) — магнитный поток, охватываемый проводом катушки. В свою очередь, \(\Phi = LI\), где \(I\) — текущий в катушке ток. Следовательно, \(\mathcal{E} = -\dfrac{\Delta(LI)}{\Delta t}\). В соответствии с законом Ома для цепи, содержащей ЭДС, можно записать: \(\mathcal{E} = IR\). Поскольку катушка сверхпроводящая, то её сопротивление \(R\) равно нулю, и поэтому \(\mathcal{E} = -\dfrac{\Delta(LI)}{\Delta t} = IR = 0\), откуда \(\Delta(LI) = 0\). Таким образом, магнитный поток \(\Phi = LI\) не зависит от времени и остаётся одинаковым при любом положении сердечника в катушке, то есть \(LI = \text{const}\).

Из приведённого в условии графика следует, что до вынимания сердечника из катушки её индуктивность была равна \(L_{\text{н}} = 5\) мГн, а после вынимания сердечника она стала равной \(L_{\text{к}} = 1\) мГн. С учётом вышесказанного можно записать: \(L_{\text{н}}I_{\text{н}} = L_{\text{к}}I_{\text{к}}\), где \(I_{\text{к}}\) — искомая сила тока, который будет течь в катушке после вынимания из неё сердечника. Отсюда \(I_{\text{к}} = L_{\text{н}}I_{\text{н}}/L_{\text{к}} = 5\) А.

Ответ

\(l_0 = (3/4)\,l\).

Решение

Легко видеть, что движение по «восьмёрке» возможно тогда и только тогда, когда частота колебаний шарика в вертикальном направлении \(\omega_{\text{в}}\) в два раза превышает частоту его колебаний в горизонтальном направлении \(\omega_{\text{г}}\), то есть \(\omega_{\text{в}} = 2\omega_{\text{г}}\).

Обозначим силы натяжения пружин через \(T\), а их коэффициенты жёсткости через \(k\); при этом \(T = k(l - l_0)\). Тогда при отклонении шарика в горизонтальном направлении на расстояние \(x \ll l\) на него будет действовать горизонтальная возвращающая сила \(F = -(2T/l)x\). Поэтому квадрат частоты горизонтальных колебаний равен \(\omega_{\text{г}}^2 = 2T/(ml)\). Для вертикальных колебаний, очевидно, получаем: \(\omega_{\text{в}}^2 = 2k/m\).

Поскольку \(\omega_{\text{в}}^2 = 4\omega_{\text{г}}^2\), то \(\dfrac{2k}{m} = 4\cdot\dfrac{2k(l - l_0)}{ml}\), или \(1 - (l_0/l) = 1/4\). Следовательно, \(l_0 = (3/4)l\).

Ответ

\(\eta = \dfrac{H_0}{l} \approx \dfrac{2gl}{\omega^2a^2}\).

Решение

Рассмотрим движение одного кольца, прикреплённого к стержню на расстоянии \(H\) от его нижнего конца. В тот момент, когда горизонтальная скорость кольца при его колебаниях вместе со стержнем равна \(v\), центростремительное ускорение этого кольца равно \(v^2/H\), и касательная составляющая силы его давления на стержень \(T = mg - (mv^2/H)\). Усредняя это равенство по времени за период колебаний и учитывая, что верхний конец стержня совершает гармонические колебания \(x = a\sin\omega t\), то есть скорость рассматриваемого кольца изменяется со временем \(t\) по закону \(v = \omega(aH/l)\cos\omega t\), получаем: \[\langle T\rangle = mg - \dfrac{m\langle v^2\rangle}{H} = mg - \dfrac{mv_{\max}^2}{2H} = mg - \dfrac{m(\omega aH/l)^2}{2H} = m\left(g - \dfrac{\omega^2a^2H}{2l^2}\right).\] Здесь \(v_{\max} = \omega aH/l\) — максимальное значение скорости рассматриваемого кольца при колебаниях, а угловыми скобками обозначена операция усреднения по времени.

Из полученного выражения видно, что при достаточно больших частотах и не слишком малой по сравнению с \(l\) величине \(H\) касательная составляющая силы давления кольца на стержень становится в среднем за период отрицательной, то есть направленной вверх. Следовательно, при \(H > \dfrac{2gl^2}{\omega^2a^2}\) кольцо стремится подняться вверх, что непременно и сделает после освобождения. Таким образом, кольца, отстоящие от нижнего конца стержня на расстояние, превышающее \(H_0 \approx \dfrac{2gl^2}{\omega^2a^2}\), слетят с верхнего конца стержня через некоторое время после расплавления припоя, а остальные останутся и упадут вниз, к шарниру. Поэтому часть (доля) колец, которая останется на стержне, равна \(\eta = \dfrac{H_0}{l} \approx \dfrac{2gl}{\omega^2a^2}\).

Ответ

\(q = CU = \dfrac{C(\mathcal{E} - U_0)}{2} = 2{,}15\cdot 10^{-6}\) Кл.

Решение

Сразу после замыкания ключа напряжение на каждом из конденсаторов равно нулю. Поэтому потенциал точки \(A\) в момент времени \(t = 0\) превышает потенциал точки \(B\) на величину \(\Delta\varphi = \mathcal{E} = 5\) В (см. рис. 3.54). Поскольку \(\Delta\varphi > U_0\), то, как видно из приведённой в условии вольт-амперной характеристики, сразу же после замыкания ключа диод окажется открытым, разность потенциалов между точками \(A\) и \(B\) упадёт до \(U_0 = 0{,}7\) В, а через диод будет течь большой ток, ограниченный лишь малым внутренним сопротивлением батареи \(r\). Так как \(r \ll R\), то токами, текущими через резисторы при открытом диоде, можно пренебречь. Поэтому заряжающий конденсаторы ток при открытом диоде будет течь так, как показано стрелками на рисунке. Этот ток будет существовать до тех пор, пока разность потенциалов между точками \(A\) и \(B\) не станет равной \(U_0\), то есть пока каждый из конденсаторов не зарядится до напряжения \(U = \dfrac{\mathcal{E} - U_0}{2}\). После этого диод закроется, и ток через него прекратится. Следовательно, через диод протечёт заряд, равный заряду каждого из конденсаторов:

\[q = CU = \dfrac{C(\mathcal{E} - U_0)}{2} = 2{,}15\cdot 10^{-6}\text{ Кл}.\]

Ответ

\(ny + \sqrt{x^2 + (L - y)^2} = \text{const}\); при \(x \ll L - y\) поверхность — сфера радиусом \(R = (L - y_0)(n - 1) = F(n - 1)\).

Решение

Световой луч, проходящий через некоторые точки \(A\) и \(B\), распространяется по такому пути между ними, который имеет экстремальную оптическую длину (это утверждение называется принципом Ферма). Для параллельного пучка лучей, проходящих через нашу пластину, это означает, что все лучи, идущие от её левой поверхности до фокуса, имеют одинаковую оптическую длину. Кроме того, понятно, что правая поверхность пластины должна быть осесимметричной — в противном случае параллельный пучок не сможет собраться в фокусе.

Изобразим на рисунке 4.19 сечение пластины плоскостью, в которой лежит указанная ось симметрии. Обозначим расстояние от плоской поверхности пластины до фокуса через \(L\) и рассмотрим произвольный луч из пучка, упавший на плоскую поверхность пластины на расстоянии \(x\) от начала координат. Тогда оптическая длина пути для этого луча равна

\[l = ny + \sqrt{x^2 + (L - y)^2} = \text{const},\] так как все лучи независимо от точки падения должны иметь одинаковую оптическую длину. Это условие представляет собой записанное в неявном виде искомое уравнение функции \(y(x)\), определяющей форму правой поверхности пластины.

Для малых отклонений \(x\) падающих лучей от оси симметрии (при \(x \ll (L - y)\)) полученное уравнение можно преобразовать. Вынесем из-под знака корня величину \((L - y)\) и применим приближённую формулу \(\sqrt{1 + z} \approx 1 + (z/2)\). В результате получим: \[y(n - 1) + L + \dfrac{x^2}{2(L - y)} \approx \text{const}.\] Для удобства представления этого результата найдём максимальную толщину пластины \(y_0\). Для этого положим в полученном уравнении \(x = 0\). Тогда \(y_0 = (\text{const} - L)/(n - 1)\) и \[y \approx y_0 - \dfrac{x^2}{2(n - 1)(L - y_0)}.\] При записи последнего уравнения мы учли, что вблизи оси симметрии пластины \(L - y \approx L - y_0\). Полученное уравнение при \(x \ll (L - y)\) представляет собой уравнение сферы радиусом \(R = (L - y_0)(n - 1)\). Отметим, что так как \(L - y_0 = F\) (где \(F\) — фокусное расстояние), то \(R = F(n - 1)\), что совпадает с известным результатом для радиуса кривизны поверхности линзы.

Ответ

\(v = \dfrac{l}{t} = \dfrac{c}{n}\cdot\dfrac{l}{l_2 - l_1} \approx 0{,}9c\).

Решение

Частица находится в точках А и Б (и испускает свет) в разные моменты времени. Так как \(l_1 < l_2\) (см. чертёж в условии), то частица движется от точки Б к точке А — в противном случае свет, испущенный в точке Б, приходил бы к прибору П всегда позже, чем свет, испущенный в точке А. Запишем условие того, что свет от точек Б и А приходит к прибору П одновременно. Обозначая время движения частицы от Б к А через \(t\) и принимая во внимание, что скорость света в жидкости с показателем преломления \(n\) равна \(c/n\) (\(c\) — скорость света в вакууме), получим: \[\dfrac{l_2}{c/n} = t + \dfrac{l_1}{c/n}.\] Отсюда \(t = \dfrac{n}{c}(l_2 - l_1)\), и искомая скорость частицы: \[v = \dfrac{l}{t} = \dfrac{c}{n}\cdot\dfrac{l}{l_2 - l_1}.\] Видно, что в правую часть последней формулы входит отношение длин \(l\) и \(l_2 - l_1\). Так как схема опыта приведена в определённом масштабе, то для получения численного значения скорости можно просто измерить все длины на чертеже линейкой и подставить получившиеся числа в выражение для \(v\). Сделав это, получим, что \(l \approx 19\) мм, \(l_1 \approx 32\) мм, \(l_2 \approx 45\) мм, и \(v \approx 0{,}9c\).

Следует отметить, что скорость частицы в данном эксперименте превышает фазовую скорость света в жидкости, которая равна \(c/n \approx 0{,}63c\). Излучение движущейся таким образом частицы называется излучением Вавилова — Черенкова (или черенковским излучением).