МОШ, 1989/90, заключительный этап, 10 класс

Ответ

\(M \approx FR\); \(v_{\text{верт}} \approx mgR\omega/F\).

Решение

Из условия понятно, что сила трения скольжения цилиндра по кольцу равна \(F\). Предположим, что цилиндр при повороте на угол \(\Delta\alpha\) смещается вниз на расстояние \(\Delta y\). Тогда сила трения, действующая против направления движения, может быть разложена на две ортогональные составляющие: вертикальную, направленную вверх, и горизонтальную, направленную противоположно направлению вращения. Они соответственно равны \[F_{\text{верт}} = F\dfrac{\Delta y}{\sqrt{(R\Delta\alpha)^2 + (\Delta y)^2}} = F\dfrac{v_{\text{верт}}}{\sqrt{(R\omega)^2 + (v_{\text{верт}})^2}}\] и \[F_{\text{гор}} = F\dfrac{R\Delta\alpha}{\sqrt{(R\Delta\alpha)^2 + (\Delta y)^2}} = F\dfrac{R\omega}{\sqrt{(R\omega)^2 + (v_{\text{верт}})^2}},\] где \(v_{\text{верт}}\) — вертикальная составляющая скорости цилиндра. Вертикальная составляющая силы трения должна быть меньше силы тяжести или равна ей: \[F_{\text{верт}} = F\dfrac{v_{\text{верт}}}{\sqrt{(R\omega)^2 + (v_{\text{верт}})^2}} \leqslant mg.\] Отсюда \[v_{\text{верт}} \leqslant \dfrac{mgR\omega}{\sqrt{F^2 - (mg)^2}} \approx \dfrac{mgR\omega}{F},\] поскольку по условию \(F \gg mg\). По истечении некоторого времени скорость установится и станет равной \(v_{\text{верт}} \approx mgR\omega/F\).

Найдём теперь момент силы, необходимый для вращения. Поскольку цилиндр вращается с постоянной угловой скоростью \(\omega\), то момент горизонтальной составляющей силы трения должен быть равен искомому моменту: \[M = F_{\text{гор}}R = F\dfrac{R\omega}{\sqrt{(R\omega)^2 + (v_{\text{верт}})^2}}\cdot R \approx\] \[\approx \dfrac{FR\cdot R\omega}{\sqrt{(R\omega)^2 + \dfrac{(mgR\omega)^2}{F^2}}} \approx \dfrac{FR}{\sqrt{1 + (mg/F)^2}} \approx FR.\]

Ответ

\(\dfrac{v_1}{v_2} = -\dfrac{M\operatorname{tg}\beta + M_2(\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta)}{M\operatorname{tg}\alpha + M_1(\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta)}\).

Решение

В системе отсчёта, в которой горизонтальная скорость цилиндра равна нулю (см. рис. 1.133), смещение цилиндра по вертикали за малое время на \(\Delta y < 0\) вызывает смещения клиньев по горизонтали, равные \(\Delta y\operatorname{ctg}\alpha\) и \(-\Delta y\operatorname{ctg}\beta\).

Поскольку в неподвижной системе отсчёта центр цилиндра смещается по горизонтали ещё на некоторое расстояние \(\Delta x\), то суммарные смещения клиньев относительно поверхности равны \(\Delta x_1 = \Delta x + \Delta y\operatorname{ctg}\alpha\) и \(\Delta x_2 = \Delta x - \Delta y\operatorname{ctg}\beta\). Поэтому скорости левого и правого клиньев \(v_1\) и \(v_2\) и проекции скорости цилиндра \(v_x\) и \(v_y\) связаны соотношениями: \(v_1 = v_x + v_y\operatorname{ctg}\alpha\) и \(v_2 = v_x - v_y\operatorname{ctg}\beta\). Проекция импульса данной системы тел на горизонтальное направление во время движения постоянна и равна нулю: \(M_1v_1 + M_2v_2 + Mv_x = 0\). Исключая \(v_x\) и \(v_y\) из написанных уравнений, получим, что отношение скоростей клиньев равно: \[\dfrac{v_1}{v_2} = -\dfrac{M\operatorname{tg}\beta + M_2(\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta)}{M\operatorname{tg}\alpha + M_1(\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta)}.\] Заметим, что контакт цилиндра с обоими клиньями сохраняется до момента его соприкосновения с горизонтальной поверхностью, и полученное отношение будет справедливо и после этого момента, когда скорости клиньев достигнут максимума и далее уже не будут изменяться.

Ответ

\(F = \pi b^2p\), направлена влево, перпендикулярно круговому сечению.

Решение

Мысленно разрежем сосуд по упомянутому в условии задачи круговому сечению. Сила, с которой газ действует на стенки левой части сосуда, по третьему закону Ньютона равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой эти стенки сосуда действуют на газ. Поскольку газ в левой части сосуда находится в равновесии, то сумма сил, действующих на него со стороны стенок и со стороны газа в правой части сосуда, равна нулю. Таким образом, искомая сила давления газа на стенки левой части сосуда равна силе давления газа, действующей на рассматриваемое круговое сечение со стороны газа в правой части сосуда. Величина этой силы равна \(F = \pi b^2p\), а направлена она влево, перпендикулярно данному круговому сечению.

Ответ

Напряжение на конденсаторе изменяется пилообразно с амплитудой \(\Delta U_C \approx 4{,}5\cdot 10^{-4}\) В около среднего значения \(\langle U_C\rangle = 0{,}97\) В (рис. 3.94).

Решение

Как видно из приведённого в условии задачи рисунка, на каждом периоде следования импульсов напряжение на клеммах генератора в течение времени \(T_1 = 4{,}5\cdot 10^{-3}\) с равно нулю, а в течение остального времени \(T_2 = 0{,}5\cdot 10^{-3}\) с оно равно \(U_0 = 1\) В. Предположим, что напряжение на конденсаторе \(U_C\) в установившемся режиме всё время не очень сильно отличается от \(U_0\). Если это так, то и среднее значение напряжения на конденсаторе \(\langle U_C\rangle\) также близко к \(U_0\). Тогда в течение времени \(T_1\) напряжение на диоде равно \(U_C \approx -U_0\), и поэтому ток, текущий через диод, равен \(I_1 \approx I_0(2^{-U_0/W} - 1) \approx -I_0\), так как \(U_0 \gg W\). Поэтому в течение времени \(T_1\) конденсатор разряжается через диод обратным током диода \(-I_0\), и напряжение \(U_C\) на конденсаторе уменьшается на величину \(\Delta U_C = \dfrac{I_0T_1}{C} = 4{,}5\cdot 10^{-4}\) В.

В течение времени \(T_2\) происходит зарядка конденсатора током \(I_2 = I_0(2^{(U_0 - U_C)/W} - 1)\). Так как \(U_C \approx \langle U_C\rangle\), то ток \(I_2\) за время \(T_2\) также изменяется незначительно. Тогда, поскольку в установившемся режиме напряжение на конденсаторе должно за время \(T_2\) увеличиваться на такую же величину \(\Delta U_C\), на какую оно уменьшается за время \(T_1\), то \(\Delta U_C = \dfrac{I_0T_1}{C} = \dfrac{I_2T_2}{C}\). Отсюда следует, что \(I_0T_1 = I_2T_2\), то есть \(T_1 = T_2(2^{(U_0 - \langle U_C\rangle)/W} - 1)\), откуда среднее напряжение на конденсаторе \[\langle U_C\rangle = U_0 - W\log_2\left(\dfrac{T_1}{T_2} + 1\right) \approx 0{,}97\text{ В}.\] Видно, что предположение о том, что \(U_C \approx U_0\), верно. Кроме того, оправдывается и предположение о незначительности изменения тока \(I_2\). Действительно, такое предположение справедливо, поскольку изменение напряжения на диоде за время \(T_2\), равное \(\Delta U_C = 4{,}5\cdot 10^{-4}\) В, мало по сравнению со средним (за тот же промежуток времени) значением напряжения на диоде \(U_0 - \langle U_C\rangle \approx 0{,}03\) В, величиной которого и определяется ток \(I_2\).

Итак, напряжение на конденсаторе изменяется пилообразно с амплитудой \(\Delta U_C \approx 4{,}5\cdot 10^{-4}\) В около среднего значения \(\langle U_C\rangle = 0{,}97\) В (см. рис. 3.94).

Ответ

\(v \approx h\sqrt{\dfrac{mg}{2Ml}}\).

Решение

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. При падении тела \(m\) в поле силы тяжести его потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая — увеличивается, пока тело не зацепится за нить. Далее одновременно с его опусканием происходит подъём и ускорение двух грузов массой \(M\). Скорости тела и грузов связаны между собой, поскольку нить по условию задачи нерастяжима. Если тело \(m\) сместилось вместе с нитью вниз на расстояние \(x\) от положения, когда нить горизонтальна, то скорость грузов \(v\) и скорость тела \(u\) связаны соотношением: \(u = \dfrac{v}{x/\sqrt{l^2 + x^2}} \approx \dfrac{vl}{x}\). Здесь использовано то обстоятельство, что, поскольку масса тела мала по сравнению с массами грузов, и оно падает на нить с небольшой высоты \(h\), то смещение тела \(x\) будет также невелико по сравнению с \(h\) и, тем более, с \(l\), то есть \(x \ll h \ll l\). При этом из закона сохранения энергии следует, что \[mg(h + x) = 2Mg\left(\sqrt{x^2 + l^2} - l\right) + \dfrac{mu^2}{2} + 2\cdot\dfrac{Mv^2}{2},\] откуда \[mg(h + x) - Mg\cdot\dfrac{x^2}{l} \approx \dfrac{m(vl/x)^2}{2} + 2\cdot\dfrac{Mv^2}{2} = v^2\left(M + \dfrac{m(l/x)^2}{2}\right),\] \[v^2 \approx \dfrac{mg(h + x) - (Mgx^2/l)}{M + \dfrac{m(l/x)^2}{2}} \approx \dfrac{mgh - (Mgl\cdot x^2/l^2)}{M + \dfrac{m(l/x)^2}{2}}.\] Обозначим малый параметр \(z = x^2/l^2\). Теперь задача свелась к отысканию максимума выражения: \[v^2 = \dfrac{mgh - Mglz}{M + (m/(2z))},\] для чего нужно приравнять нулю его производную по \(z\). Это даёт уравнение: \(2M^2l\cdot z^2 + 2mMl\cdot z - m^2h = 0\). Решая его, получим, что \(z \approx mh/(2Ml)\). Следовательно, искомая максимальная скорость движения грузов будет равна: \(v \approx h\sqrt{\dfrac{mg}{2Ml}}\).

Ответ

Примерно на 30 см.

Решение

По условию задачи диаметр трубки достаточно велик для того, чтобы можно было не учитывать капиллярных явлений. При наливании в левое колено трубки большого количества воды ртуть может переместиться настолько, что вода доберётся до низа трубки. Дальнейшее увеличение количества налитой воды не будет приводить к перемещению ртути, так как вода из левого колена через изогнутый участок будет перетекать в правое колено. При этом перетёкшая вода будет располагаться поверх ртути.

Выясним, хватит ли двух литров воды для того, чтобы часть воды перетекла из левого колена в правое. Сечение трубки равно \(S = \pi d^2/4 \approx 0{,}785\) см\(^2\). Общая длина столбика ртути в этой трубке составляет \(V_0/S \approx 63{,}7\) см. Максимальное давление, которое может создать столбик ртути такой длины, равно \(p_{\text{рт}} = \rho gV_0/S \approx 84{,}9\) кПа. Два литра воды плотностью \(\rho_0 = 1\) г/см\(^3\) могут создать в вертикальной трубке максимальное давление \(p_{\text{в}} = \rho_0gV_1/S \approx 249{,}7\) кПа. Так как \(p_{\text{в}} > p_{\text{рт}}\), то это означает, что в процессе наливания воды ртуть сместится настолько, что её верхний уровень в том колене, куда налита вода, совпадёт с верхней точкой самого нижнего поперечного сечения трубки, и часть воды перетечёт в правое колено. Поскольку радиус закругления нижней части трубки по порядку величины сравним с её внутренним диаметром, то длину столбика оставшейся в левом колене ртути можно оценить из следующих соображений: по теореме Пифагора длина горизонтальной части поверхности ртути в этом колене равна \(\sqrt{3^2 - 2^2} \approx 2{,}2\) см, но с учётом того, что ртутью заполнен не весь этот объём, а примерно \(3/4\) его, в левой части трубки остаётся столбик с эффективной длиной, примерно равной 1,7 см. Поэтому смещение ртути вдоль оси трубки составит: \(L \approx \dfrac{V_0}{2S} - 1{,}7\text{ см} \approx 31{,}8\text{ см} - 1{,}7\text{ см} \approx 30\) см.

Ответ

\(\dfrac{p'}{p} = \dfrac{T_2V_1 + T_1V_2}{T_1T_2(V_1 + V_2)}\cdot\dfrac{C_{V_1}T_1 + C_{V_2}T_2}{C_{V_1} + C_{V_2}}\).

Решение

В начальный момент времени давление в цилиндре \[p = \dfrac{\nu_1RT_1}{V_1} = \dfrac{\nu_2RT_2}{V_2},\] где \(\nu_1\) и \(\nu_2\) — число молей газа в каждой из частей цилиндра. Отсюда \[\dfrac{\nu_2}{\nu_1} = \dfrac{T_1V_2}{T_2V_1},\qquad p(V_1 + V_2) = R(\nu_1T_1 + \nu_2T_2).\] После выравнивания температур конечная температура \(T'\) и давление \(p'\) связаны соотношением \[p'(V_1 + V_2) = (\nu_1 + \nu_2)RT',\] поскольку суммарный объём сохраняется. Отсюда \[\dfrac{p'}{p} = \dfrac{(\nu_1 + \nu_2)T'}{\nu_1T_1 + \nu_2T_2} = \dfrac{T_2V_1 + T_1V_2}{T_1T_2(V_1 + V_2)}T'.\] Температура \(T'\) находится из закона сохранения энергии: внутренняя энергия идеального газа не зависит от объёма и равна \(U = C_VT\). Поэтому \(C_{V_1}T_1 + C_{V_2}T_2 = (C_{V_1} + C_{V_2})T'\). Отсюда \[\dfrac{p'}{p} = \dfrac{T_2V_1 + T_1V_2}{T_1T_2(V_1 + V_2)}\cdot\dfrac{C_{V_1}T_1 + C_{V_2}T_2}{C_{V_1} + C_{V_2}}.\]

Ответ

\(\Delta C \simeq 2\pi\varepsilon_0\dfrac{r^3}{R^2}\).

Решение

Если бы бугорка не было, то заряд \(Q\), равномерно распределённый по поверхности проводящей сферы, создавал бы в её центре потенциал \(\varphi = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\), и ёмкость сферы была бы равна \(C = \dfrac{Q}{\varphi} = 4\pi\varepsilon_0R\). Однако из-за наличия бугорка часть заряда находится не на расстоянии \(R\) от центра, а на немного большем расстоянии. В результате потенциал \(\varphi\) изменяется на малую величину \(\Delta\varphi\). Для того, чтобы оценить \(\Delta\varphi\), примем, что на бугорке находится малый заряд \(q\), и будем считать, что он находится на расстоянии порядка \(r\) от поверхности сферы. Тогда \[\Delta\varphi \sim \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0(R + r)} - \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0R} \approx -\dfrac{qr}{4\pi\varepsilon_0R^2}.\] Для оценки величины заряда бугорка \(q\) рассмотрим напряжённость электрического поля вблизи центра бугорка, которая должна обращаться в нуль. Заряды на сфере создают в этой точке поле с напряжённостью \(E_1 \simeq \dfrac{Q}{2\cdot 4\pi\varepsilon_0R^2}\), а заряды на бугорке — с напряжённостью \(E_2 \simeq \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\). Из условия \(\vec E_1 + \vec E_2 = 0\) находим: \(q \simeq \dfrac{Qr^2}{2R^2}\) (этот результат имеет следующий физический смысл: поверхностные плотности зарядов на сфере и на бугорке одинаковы по порядку величины). Окончательно для изменения ёмкости сферы, обусловленного наличием бугорка, получаем: \[\Delta C = \dfrac{Q}{\varphi + \Delta\varphi} - \dfrac{Q}{\varphi} \approx -\dfrac{Q}{\varphi^2}\Delta\varphi \simeq 2\pi\varepsilon_0\dfrac{r^3}{R^2}.\]