зад 1 Струя на лёд
Имеется сосуд с небольшим отверстием у дна (см. рисунок). В сосуд помещён большой кусок кристаллического льда при температуре \(T_0 = 0\ {}^\circ\text{C}\). Сверху на лёд падает струя воды, её температура \(T_1 = 20\ {}^\circ\text{C}\), а расход \(q = 1\) г/с. Найдите расход воды, вытекающей из сосуда, если её температура \(T = 3\ {}^\circ\text{C}\). Теплообменом с окружающим воздухом и с сосудом можно пренебречь. Удельная теплоёмкость воды \(C = 4{,}2\) кДж/(г \(\cdot\) \({}^\circ\text{C}\)), удельная теплота плавления льда \(\lambda = 340\) Дж/г. Вода в сосуде не накапливается.
▶ОтветСкрыть
\(q' = q\left(1 + \dfrac{T_1 - T}{T - T_0 + (\lambda/C)}\right) \approx 1{,}2\) г/с.
▶РешениеСкрыть
За время \(\Delta t\) в сосуд втекает масса воды \(\Delta m = q\Delta t\), имеющей температуру \(T_1\). Она плавит лёд и нагревает получившуюся воду до температуры \(T\). Втекающая вода отдаёт количество тепла \[Q_1 = C\Delta m(T_1 - T) = Cq\Delta t(T_1 - T),\] а при плавлении льда и нагревании получившейся воды поглощается количество тепла \[Q_2 = \lambda\Delta m_1 + C\Delta m_1(T - T_0),\] где \(\Delta m_1\) — масса растаявшего за время \(\Delta t\) льда. Из уравнения теплового баланса следует, что \(Q_1 = Q_2\), откуда \[\Delta m_1 = \dfrac{Cq\Delta t(T_1 - T)}{\lambda + C(T - T_0)}.\] Из сосуда за время \(\Delta t\) вытекает вода, которая в него за это время втекла, и, дополнительно, вода, получившаяся при плавлении льда. Следовательно, расход вытекающей из сосуда воды равен \[q' = \dfrac{\Delta m + \Delta m_1}{\Delta t} = q\left(1 + \dfrac{T_1 - T}{T - T_0 + (\lambda/C)}\right) \approx 1{,}2\text{ г/с}.\]
зад 2 Чёрный ящик с тремя клеммами
У «чёрного ящика» есть три клеммы. Если на клеммы \(A\) и \(B\) подают напряжение 20 В, то с клемм \(B\) и \(C\) снимают напряжение 8 В. Если на клеммы \(B\) и \(C\) подают напряжение 20 В, то с клемм \(A\) и \(C\) снимают напряжение 15 В. Изобразите схему «чёрного ящика», считая, что внутри него находятся только резисторы.
▶ОтветСкрыть
Три резистора с сопротивлениями \(R_0\), \(R_1 = 2R_0\), \(R_2 = 3R_0\), соединённые «треугольником» (рис. 3.63.1), или три резистора \(r_0\), \(r_1 = \tfrac{2}{3}r_0\), \(r_2 = 2r_0\), соединённые «звездой» (рис. 3.63.2); \(R_0\) и \(r_0\) — любые, отличные от нуля.
▶РешениеСкрыть
Ясно, что между каждой парой клемм «чёрного ящика» должны быть включены резисторы — в противном случае невозможно будет снимать ненулевое напряжение либо с клемм \(BC\), либо с клемм \(AC\). Простейшие схемы подключения этих резисторов («треугольник» и «звезда») изображены на рисунках 3.63.1 и 3.63.2.
Вначале рассмотрим первую схему и найдём, чему должны быть равны сопротивления \(R_0\), \(R_1\) и \(R_2\). Обозначим подаваемое на клеммы напряжение через \(V = 20\) В, а снимаемое с соответствующих пар клемм напряжение через \(U_{BC} = 8\) В и \(U_{AC} = 15\) В. Тогда можно записать: \[U_{BC} = \dfrac{VR_1}{R_1 + R_2},\qquad U_{AC} = \dfrac{VR_2}{R_0 + R_2}.\] Отсюда \[R_2 = \dfrac{U_{AC}}{V - U_{AC}}R_0 = 3R_0,\qquad R_1 = \dfrac{U_{BC}}{V - U_{BC}}R_2 = 2R_0.\] Теперь найдём, чему должны быть равны сопротивления \(r_0\), \(r_1\) и \(r_2\) во второй схеме, используя те же обозначения для напряжений, что и в первом случае. Поскольку во второй схеме при подаче напряжения \(V\) на клеммы \(AB\) ток не течёт через резистор \(r_2\) и напряжение на нём не падает, а при подаче напряжения \(V\) на клеммы \(BC\) ток не течёт через резистор \(r_0\) и на нём также отсутствует падение напряжения, то \[U_{BC} = U_{OB} = \dfrac{Vr_1}{r_0 + r_1},\qquad U_{AC} = U_{OC} = \dfrac{Vr_2}{r_1 + r_2}.\] Отсюда \[r_1 = \dfrac{U_{BC}}{V - U_{BC}}r_0 = \dfrac{2}{3}r_0,\qquad r_2 = \dfrac{U_{AC}}{V - U_{AC}}r_1 = 3r_1 = 2r_0.\] Таким образом, «чёрный ящик» в простейших случаях должен состоять из трёх резисторов с сопротивлениями \(R_0\), \(R_1 = 2R_0\) и \(R_2 = 3R_0\), соединённых «треугольником» — так, как показано на рисунке 3.63.1, или из трёх резисторов с сопротивлениями \(r_0\), \(r_1 = \tfrac{2}{3}r_0\) и \(r_2 = 2r_0\), соединённых «звездой», как показано на рисунке 3.63.2. Величины сопротивлений \(R_0\) и \(r_0\) могут быть любыми, отличными от нуля.