зад 1 Радиосигнал между кораблями
В межзвёздном пространстве навстречу друг другу двигаются два космических корабля: один со скоростью \(v_1 = 2\cdot 10^7\) м/с, а второй — со скоростью \(v_2 = 3\cdot 10^7\) м/с. В некоторый момент времени первый корабль посылает короткий радиосигнал, который отражается от второго и принимается первым кораблём через \(t = 2{,}4\) с после отправления. Радиосигналы распространяются со скоростью \(c = 3\cdot 10^8\) м/с, которая не зависит от скорости источника, посылающего сигнал. Какое расстояние было между кораблями в момент: 1) посылки сигнала? 2) приёма сигнала первым кораблём?
▶ОтветСкрыть
1) \(L = \dfrac{(v_1 + c)(v_2 + c)}{2c}\,t = 4{,}224\cdot 10^8\) м; 2) \(L_1 = \dfrac{(c - v_1)(c - v_2)}{2c}\,t = 3{,}024\cdot 10^8\) м.
▶РешениеСкрыть
Будем решать задачу в системе отсчёта, в которой скорости кораблей равны \(v_1\) и \(v_2\) соответственно. Обозначим расстояние между кораблями в момент подачи радиосигнала (\(t = 0\)) через \(L\). Тогда встреча радиосигнала и второго корабля состоится в момент времени \(t_1 = \dfrac{L}{v_2 + c}\). В этот момент расстояние между кораблями равно \[S = L - (v_1 + v_2)t_1 = L\left(1 - \dfrac{v_1 + v_2}{v_2 + c}\right) = L\cdot\dfrac{c - v_1}{v_2 + c}.\] После отражения от второго корабля радиосигнал движется навстречу первому кораблю. До их встречи пройдёт время \(t_2 = \dfrac{S}{v_1 + c}\). Общее время равно: \[t = t_1 + t_2 = \dfrac{L}{v_2 + c} + \dfrac{L\left(\dfrac{c - v_1}{v_2 + c}\right)}{v_1 + c}.\] Отсюда \(L = \dfrac{(v_1 + c)(v_2 + c)}{2c}\cdot t = 4{,}224\cdot 10^8\) м. В момент приёма отражённого сигнала первым кораблём расстояние между кораблями равно: \[L_1 = L - (v_1 + v_2)t = \dfrac{(c - v_1)(c - v_2)}{2c}\cdot t = 3{,}024\cdot 10^8\text{ м}.\]
Замечание. Относительная скорость кораблей равна \(5\cdot 10^7\) м/с. Эта скорость в 6 раз меньше скорости света, поэтому релятивистские поправки будут не слишком велики. Они определяются множителем типа \(\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} = \sqrt{1 - \dfrac{1}{36}} \approx 0{,}986\). Поэтому можно было бы решать нашу задачу в системе отсчёта, связанной, например, с первым кораблём, и использовать нерелятивистскую формулу сложения скоростей. Результат, полученный таким образом, будет отличаться от точного результата, приведённого выше, не более чем на 1,4%.
зад 2 Мостовая схема
Найдите силу тока, текущего через сопротивление \(R_5\) (см. рисунок), если \(R_1 = R_2 = R_3 = R_4 = 10\) Ом, \(R_5 = 3\) Ом, \(U = 12\) В. Найдите также общее сопротивление цепи.
▶ОтветСкрыть
Ток через \(R_5\) равен нулю; общее сопротивление цепи \(R_{\text{общ}} = R = 10\) Ом.
▶РешениеСкрыть
Приведённую в условии схему можно перерисовать так, как показано на рисунке 3.42.
Получившаяся эквивалентная цепь представляет собой мостовую схему, состоящую из одинаковых резисторов с сопротивлениями \(R = R_1 = R_2 = R_3 = R_4 = 10\) Ом. Так как схема симметрична, то разность потенциалов между её точками \(A\) и \(B\) равна нулю. Поэтому ток через сопротивление \(R_5\) также равен нулю.
Для того, чтобы определить общее сопротивление цепи, заметим, что сила тока, текущего через резисторы \(R_1\) и \(R_2\), равна \(\dfrac{U}{R_1 + R_2} = \dfrac{U}{2R}\). Такой же ток течёт через резисторы \(R_4\) и \(R_3\). Следовательно, ток, текущий через источник напряжения, равен \(I_{\text{общ}} = U/R\), а общее сопротивление цепи составляет \(R_{\text{общ}} = U/I_{\text{общ}} = R = 10\) Ом.