зад 1 Лыжник в снегопад
Во время сильного снегопада лыжник, бегущий по полю со скоростью \(v = 20\) км/ч, заметил, что ему в открытый рот попадает \(N_1 = 50\) снежинок в минуту. Повернув обратно, он обнаружил, что в рот попадает \(N_2 = 30\) снежинок в минуту. Оцените дальность прямой видимости в снегопад, если площадь рта спортсмена \(S = 24\) см\({}^2\), а размер снежинки \(l = 1\) см.
▶ОтветСкрыть
\(L \approx \dfrac{2vS}{(N_1 + N_2)l^2} = 200\) м.
▶РешениеСкрыть
Пусть в 1 м\({}^3\) содержится \(n\) снежинок. Тогда \[N_1 = nS(v + v_x),\qquad N_2 = nS(v - v_x),\] где \(v_x\) — горизонтальная проекция скорости снежинок вдоль лыжни. Отсюда \(n = \dfrac{N_1 + N_2}{2vS} = 50\ \dfrac{\text{снежинок}}{\text{м}^3}\). Дальность прямой видимости \(L\) может быть оценена по среднему расстоянию, на котором снежинка перекрывает луч зрения. Площадь снежинки \(S_{\text{снеж}} \approx l^2\). Условием перекрытия является попадание в объём \(S_{\text{снеж}}L\) хотя бы одной снежинки: \(nS_{\text{снеж}}L = 1\), откуда \(L = \dfrac{1}{nS_{\text{снеж}}} \approx \dfrac{2vS}{(N_1 + N_2)l^2} = 200\) м.
зад 2 Лазерный ракетный двигатель
Предложен следующий проект ракетного двигателя: луч лазера направляется на кусок льда, помещённого в резервуар с отверстием площадью \(S\). Мощность лазера \(N\) полностью идёт на испарение льда, в который добавлен чёрный краситель. Удельная теплота испарения льда равна \(\lambda\), плотность образовавшихся паров \(\rho\). Найдите силу тяги такого двигателя.
▶ОтветСкрыть
\(F = \dfrac{1}{\rho S}\left(\dfrac{N}{\lambda}\right)^2\).
▶РешениеСкрыть
За время \(\Delta t\) через отверстие площадью \(S\) из резервуара выходит масса пара, равная \(\Delta m = \dfrac{N\Delta t}{\lambda} = \rho Sv\Delta t\), со скоростью \(v = \dfrac{1}{\rho S}\cdot\dfrac{N}{\lambda}\). Поэтому сила тяги такого двигателя равна \[F = \dfrac{\Delta m\cdot v}{\Delta t} = \dfrac{N}{\lambda}v = \dfrac{1}{\rho S}\left(\dfrac{N}{\lambda}\right)^2.\]
зад 3 Бревно падает в воду
Однородное бревно квадратного сечения размером \(a\times a\) и длиной \(L \gg a\) в исходном состоянии держат параллельно поверхности воды так, что оно касается воды своей длинной гранью (см. рисунок). Плотность бревна \(\rho\) равна плотности воды. Бревно отпускают. Найдите количество теплоты, которое выделится, пока система не придёт в равновесие.
▶ОтветСкрыть
\(\Delta Q = \dfrac{mga}{2} = \dfrac{\rho gLa^3}{2}\).
▶РешениеСкрыть
Так как плотность бревна равна плотности воды, то в конечном состоянии равновесия бревно окажется полностью погружённым в воду. Вначале, после отпускания бревна, под действием силы тяжести оно приобретёт некоторую скорость, затем по инерции пройдёт под водой какое-то расстояние, постепенно тормозясь, и в конце концов остановится на некоторой глубине под поверхностью воды.
Пусть центр масс бревна при погружении опустился на расстояние \(h\). Тогда потенциальная энергия бревна уменьшилась на величину \(\Delta U_1 = mgh\), где \(m = \rho La^2\) — масса бревна. При этом бревном был вытеснен на поверхность объём воды в форме прямоугольного параллелепипеда массой \(m\). Можно считать, что эта вода «растеклась» по поверхности тонким слоем, то есть её центр масс поднялся на высоту \((h - (a/2))\), а её потенциальная энергия увеличилась на \(\Delta U_2 = mg(h - (a/2))\). Искомое количество теплоты равно разности этих двух величин: \[\Delta Q = \Delta U_1 - \Delta U_2 = \dfrac{mga}{2} = \dfrac{\rho gLa^3}{2}.\]
зад 4 Установившаяся температура в ванне
В ванну за одну секунду вливается \(m = 0{,}01\) кг воды, нагретой до \(T_1 = 50\ {}^\circ\text{C}\). Известно, что теплоотдача от ванны составляет \(Q = k(T - T_0)\), где \(k = 100\) Дж/(с \(\cdot\) \({}^\circ\text{C}\)), \(T_0 = 20\ {}^\circ\text{C}\) — температура окружающего воздуха. Определите установившуюся температуру воды в ванне, если уровень воды поддерживается постоянным за счёт вытекания её из ванны. Удельная теплоёмкость воды \(C = 4200\) Дж/(кг \(\cdot\) \({}^\circ\text{C}\)). Считайте, что втекающая вода успевает полностью перемешаться с водой, которая была в ванне.
▶ОтветСкрыть
\(T = \dfrac{CmT_1 + kT_0}{Cm + k} \approx 29\ {}^\circ\text{C}\).
▶РешениеСкрыть
Пусть \(T\) — установившаяся температура воды в ванне. За время \(\Delta t\) в ванну поступает масса \(m\Delta t\) нагретой воды. Она перемешивается с водой, которая уже была в ванне, и остывает от температуры \(T_1\) до температуры \(T\), отдавая количество тепла \(Q = Cm\Delta t(T_1 - T)\). Оно, в свою очередь, должно равняться количеству тепла \(Q = k(T - T_0)\Delta t\), отдаваемому ванной в окружающую среду. Отсюда \[Cm(T_1 - T) = k(T - T_0),\] и \[T = \dfrac{CmT_1 + kT_0}{Cm + k} \approx 29\ {}^\circ\text{C}.\]