МОШ, 1992/93, заключительный этап, 11 класс

\(L \approx \dfrac{FgN^2}{4\pi^2f^2l} = 7\) м.

Пусть длина маятника равна \(d\). Тогда период его колебаний: \[T = \dfrac{N}{f} = 2\pi\sqrt{\dfrac{d}{g}},\quad\text{откуда}\quad d = \dfrac{gN^2}{4\pi^2f^2} = 1\text{ м}.\] Видно, что длина изображения маятника на плёнке \(l \ll d\). Это означает, что искомое расстояние \(L\) от камеры до маятника намного превышает фокусное расстояние объектива (\(L \gg F\)). Отсюда, в свою очередь, следует, что изображение маятника находится очень близко к фокусу (то есть расстояние от объектива до плёнки, на которой получается изображение, почти равно \(F\)). Таким образом, \(\dfrac{d}{L} \approx \dfrac{l}{F}\), откуда \[L \approx \dfrac{Fd}{l} = \dfrac{FgN^2}{4\pi^2f^2l} = 7\text{ м}.\]

\(t = \dfrac{\sqrt{2q}}{3g} \approx 320\text{ с} \approx 5{,}4\) мин.

Как следует из решения задачи 1.146, реактивная струя со скоростью \(u\) и силой тяги \(mg\) развивает мощность \[N = \dfrac{\Delta W}{\Delta t} = \dfrac{\Delta m}{\Delta t}\cdot\dfrac{u^2}{2} = \dfrac{\Delta(mu)}{\Delta t}\cdot\dfrac{u}{2} = \dfrac{mgu}{2}.\] Так как практически вся энергия топлива переходит в кинетическую энергию реактивной струи, то \(q = u^2/2\). С учётом этого получаем: \(N\cdot t = \dfrac{mg\sqrt{2q}}{2}\cdot t = \dfrac{qm}{3}\), и искомое время, за которое истребитель истратит всё топливо, равно \(t = \dfrac{\sqrt{2q}}{3g} \approx 320\) с \(\approx 5{,}4\) мин.

\(\Omega = \omega\sqrt{3/2}\).

Расстояние от верхнего кубика до отверстия в поверхности при равновесном скольжении равно, очевидно, \(L = g/\omega^2\). Пусть после того, как дёрнули за нижний кубик, это расстояние увеличилось и в некоторый момент достигло максимального значения \(L + \Delta x\), где \(\Delta x \ll L\), а скорость верхнего кубика стала равна \(v'\). Поскольку при этом для верхнего кубика сохраняется величина \(m\cdot\omega L\cdot L = mv'(L + \Delta x)\) (момент количества движения или, иначе, момент импульса), то полная механическая энергия обоих кубиков в положении наибольшего отклонения равна \[E_1 = \dfrac{mv'^2}{2} + mg\Delta x = \dfrac{m\left(\dfrac{\omega L^2}{L + \Delta x}\right)^2}{2} + mg\Delta x.\] (потенциальная энергия отсчитывается от исходного равновесного положения нижнего кубика). Энергия обоих кубиков в момент прохождения положения равновесия равна \[E_2 = \dfrac{m(\omega L)^2}{2} + \dfrac{2mv^2}{2},\] так как верхний кубик одновременно участвует во вращательном и в поступательном движениях. По закону сохранения механической энергии \(E_1 = E_2\), поэтому \[2v^2 + \omega^2L^2 = \dfrac{\omega^2L^4}{(L + \Delta x)^2} + 2g\Delta x.\] Поскольку \(\Delta x \ll L\), то дробь \(\dfrac{1}{(L + \Delta x)^2}\) можно разложить по степеням \(\Delta x\) до квадратичных членов: \[\dfrac{1}{(L + \Delta x)^2} \approx \dfrac{1}{L^2} + A\cdot\Delta x + B\cdot\Delta x^2.\] (заметим, что при решении данной задачи разложения с точностью до членов первого порядка малости оказывается недостаточно). Найдём коэффициенты этого разложения \(A\) и \(B\), выполнив следующие преобразования: \[1 \approx \dfrac{1}{L^2}\left(L^2 + 2L\Delta x + \Delta x^2\right) + A\Delta x(L^2 + 2L\Delta x) + B\Delta x^2L^2,\] \[\Delta x\left(\dfrac{1}{L^2} + 2AL + BL^2\right) + \left(\dfrac{2}{L} + AL^2\right) = 0.\] Так как это соотношение должно выполняться при любом малом \(\Delta x\), то оба выражения в скобках должны равняться нулю: \[\dfrac{1}{L^2} + 2AL + BL^2 = 0,\quad \dfrac{2}{L} + AL^2 = 0.\] Отсюда \(A = -\dfrac{2}{L^3}\), \(B = \dfrac{3}{L^4}\). Подставляя коэффициенты \(A\) и \(B\) в уравнение, выражающее закон сохранения энергии, получаем: \[2v^2 + \omega^2L^2 = \omega^2L^4\left(\dfrac{1}{L^2} - \dfrac{2\Delta x}{L^3} + \dfrac{3\Delta x^2}{L^4}\right) + 2g\Delta x,\] или \[2v^2 + \omega^2L^2 = \omega^2L^2 + 2(g - \omega^2L)\Delta x + 3\omega^2\Delta x^2,\] откуда с учётом условия равновесного скольжения имеем: \[2v^2 = 3\omega^2\Delta x^2.\] Квадрат круговой частоты колебаний определяется, как известно, отношением коэффициентов при \(\Delta x^2\) и при \(v^2\), поэтому искомая частота равна \(\Omega = \omega\sqrt{3/2}\).