МОШ, 1994/95, заключительный этап, 11 класс

\(\nu = \dfrac{1}{l}\sqrt{\dfrac{2\rho_2gd}{\rho_1}} \approx 1\) кГц \(\sim 10^3\) Гц.

Пусть комар машет крыльями с частотой \(\nu\). Предположим, что амплитуда взмахов его крыльев имеет порядок длины крыла, то есть равна \(l\), и что крылья опускаются плашмя, а поднимаются ребром, так, что сопротивлением воздуха при поднимании крыльев можно пренебречь. Средняя скорость воздуха, отбрасываемого крыльями, равна \(v = \nu l\). Сила сопротивления движению крыла даётся формулой \(f = (1/2)\rho_1Sv^2\), где \(S = ld\) — площадь крыла. (Для нахождения оценки можно получить эту формулу методом размерностей, предположив, что сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости. В этом случае в результате будет отсутствовать коэффициент \(1/2\), что является несущественным.)

Подъёмная сила равна произведению средней по времени силы сопротивления движению крыла на число крыльев (у комара их два). Так как крыло отбрасывает воздух только тогда, когда опускается вниз, то средняя по времени сила сопротивления вдвое меньше \(f\). Значит, подъёмная сила равна \[F = 2\cdot\dfrac{f}{2} = \dfrac{1}{2}\rho_1Sv^2 = \dfrac{1}{2}\rho_1\nu^2l^3d,\] и поскольку комар не падает, то она должна уравновешивать его вес: \[\dfrac{1}{2}\rho_1\nu^2l^3d = mg = \rho_2ld^2g.\] Отсюда \[\nu = \dfrac{1}{l}\sqrt{\dfrac{2\rho_2gd}{\rho_1}} \approx 1\text{ кГц} \sim 10^3\text{ Гц}.\] Этот результат достаточно хорошо согласуется с реально наблюдаемой частотой писка комара.

\(\omega_0 = \dfrac{l_1\sin\alpha}{l}\sqrt{\dfrac{k}{m}}\).

Пусть груз сместился от положения равновесия на величину \(x\). Обозначим длину пружины в положении равновесия через \(x_0\), длину пружины после смещения груза — через \(x_1\), величину смещения точки соединения пружины и стержня — через \(x'\), и найдём удлинение пружины \(\Delta x\). Применяя к треугольнику \(ABD\) (рис. 1.204) теорему косинусов, получим:

\[x_1^2 \approx x'^2 + x_0^2 - 2x'x_0\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right).\] Здесь учтено, что смещения \(x\) и \(x'\) малы, и поэтому \(\angle CAD \approx \pi/2\). Перенося \(x_0^2\) в левую часть уравнения, применяя формулу разности квадратов и учитывая, что \(x_1 - x_0 = \Delta x\), \(x_1 + x_0 \approx 2x_0\), получим: \(2x_0\Delta x \approx x'^2 + 2x'x_0\sin\alpha\). Пренебрегая величиной \(x'^2\) ввиду её малости, найдём удлинение пружины: \(\Delta x \approx x'\sin\alpha\). Смещения \(x\) и \(x'\) связаны между собой соотношением: \(x' = \dfrac{l_1}{l}x\), поэтому окончательно для удлинения пружины имеем: \[\Delta x \approx \dfrac{l_1\sin\alpha}{l}x.\] Запишем теперь выражения для кинетической энергии груза \(W\) и потенциальной энергии \(U\), запасённой в пружине: \[W = \dfrac{mv^2}{2};\qquad U = \dfrac{k\Delta x^2}{2} = \dfrac{k}{2}\left(\dfrac{l_1\sin\alpha}{l}\right)^2x^2.\] Здесь \(v = dx/dt\) — скорость, соответствующая координате \(x\). Квадрат искомой круговой частоты равен отношению коэффициентов при \(x^2\) и при \(v^2\) в выражениях для \(U\) и \(W\). Поэтому окончательно получаем: \[\omega_0 = \dfrac{l_1\sin\alpha}{l}\sqrt{\dfrac{k}{m}}.\] Заметим, что по аналогии с колебаниями груза, подвешенного на пружине, начальную потенциальную энергию пружины, имеющуюся в положении равновесия нашей системы, а также потенциальную энергию груза в поле силы тяжести можно не учитывать, потому что коэффициент при \(x^2\) в выражении для \(U\) от этого не меняется.

\(\omega \sim \sqrt{\dfrac{\sigma}{\rho r^3}} \approx 93{,}5\) рад/с, или \(\nu = \dfrac{\omega}{2\pi} \approx 15\) Гц.

Частота малых колебаний капли воды может зависеть только от коэффициента поверхностного натяжения воды \(\sigma\) и массы капли \(m\). В соответствии с правилом размерностей и по аналогии с задачей о колебаниях груза на пружине получаем: \(\omega \sim \sqrt{\sigma/m}\). Заметим, что коэффициент поверхностного натяжения в данном случае определяет величину возвращающей силы, то есть играет роль коэффициента жёсткости из задачи о колебаниях груза на пружине, и имеет с ним одинаковую размерность. Далее, учитывая, что \(m \sim \rho r^3\), окончательно получаем: \[\omega \sim \sqrt{\dfrac{\sigma}{\rho r^3}} \approx 93{,}5\text{ рад/с},\quad\text{или}\quad \nu = \dfrac{\omega}{2\pi} \approx 15\text{ Гц}.\] Полученный ответ справедлив с точностью до числового коэффициента, имеющего порядок единицы.

\(F = F_0\left(\dfrac{3\varepsilon}{2}\right)^2\).

Пусть после того, как в конденсатор внесли пластины, напряжённость электрического поля около его обкладок вне диэлектрика стала равной \(E\). Тогда напряжённость поля внутри диэлектрических пластин стала равной \(E' = E/\varepsilon\), а разность потенциалов между каждой из обкладок и металлической пластиной \(\varphi' = \dfrac{d}{3}E' = \dfrac{Ed}{3\varepsilon}\). Поскольку исходный конденсатор с вставленной в него металлической пластиной можно рассматривать, как два последовательно соединённых конденсатора, заряженных до разности потенциалов \(\varphi'\) каждый, то разность потенциалов между обкладками исходного конденсатора равна просто \(2\varphi'\). С другой стороны, исходный конденсатор подключён к источнику постоянного напряжения с ЭДС, равной \(\mathcal{E}\). Поэтому \(\mathcal{E} = 2\varphi' = \dfrac{2Ed}{3\varepsilon}\). Отсюда \(E = \dfrac{3\varepsilon\mathcal{E}}{2d}\).

Так как сила притяжения обкладок друг к другу пропорциональна квадрату напряжённости электрического поля, то \(\dfrac{F}{F_0} = \left(\dfrac{E}{E_0}\right)^2\). Здесь \(E_0 = \mathcal{E}/d\) — напряжённость электрического поля между обкладками конденсатора до того, как в него были вставлены пластины, \(F\) — искомая сила. Принимая во внимание выражение для \(E\), получим ответ: \[F = F_0\left(\dfrac{3\varepsilon}{2}\right)^2.\]

\(I_{3\text{ эфф}} \approx 1{,}11\) А. Для \(A_1\) и \(A_2\) возможны два набора: при первом способе включения обмоток \(I_{1\text{ эфф}} \approx 0{,}22\) А, \(I_{2\text{ эфф}} \approx 1{,}33\) А; при втором \(I_{1\text{ эфф}} \approx 0{,}156\) А, \(I_{2\text{ эфф}} \approx 0{,}955\) А.

Так как паяльник работает нормально, то амперметр \(A_3\) показывает эффективное значение тока \(I_{3\text{ эфф}} = \dfrac{40\text{ Вт}}{36\text{ В}} \approx 1{,}11\) А. Для нахождения показаний амперметров \(A_1\) и \(A_2\) следует заметить, что первичная и вторичная обмотки трансформатора включены параллельно, и поэтому напряжения \(U_1\) и \(U_2\) на обеих обмотках одинаковы. Напряжение на каждой из обмоток пропорционально числу витков \(N_1\) и \(N_2\) в соответствующей обмотке и скорости изменения магнитного потока через один виток. Так как сердечник трансформатора замкнут, то магнитный поток \(\Phi\) одинаков для всех витков. Учитывая всё сказанное, можно записать: \[U_1 = N_1\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t} = U_2 = N_2\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}.\] Так как трансформатор является понижающим, то количество витков в обмотках разное. Следовательно, записанное равенство может выполняться только в том случае, когда \(\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t} = 0\). Это означает, что магнитное поле внутри сердечника равно нулю, то есть поле, создаваемое током, текущим по одной обмотке, компенсируется полем, создаваемым током, текущим по второй обмотке. Магнитное поле внутри каждой из обмоток пропорционально току, текущему через обмотку, и числу витков в ней. Поэтому должно выполняться одно из двух соотношений между мгновенными значениями токов \(I_1\) и \(I_2\) и числами витков \(N_1\) и \(N_2\) в обмотках: \[N_1I_1 + N_2I_2 = 0\quad\text{или}\quad N_1I_1 - N_2I_2 = 0.\] Первое соотношение соответствует способу включения витков, при котором токи \(I_1\) и \(I_2\) текут навстречу друг другу, а второе — способу включения, при котором токи текут в одну сторону. При этом всегда выполняется равенство \[I_1 + I_2 = I_3.\] Решая совместно эти уравнения и учитывая, что \(\dfrac{N_1}{N_2} = \dfrac{220\text{ В}}{36\text{ В}} \approx 6{,}11\), получим для эффективных значений токов \(I_{\text{эфф}} = \sqrt{\langle I^2\rangle}\) через амперметры \(A_1\) и \(A_2\) два возможных набора, соответствующие различным способам включения обмоток: \[I_{1\text{ эфф}} = \dfrac{I_{3\text{ эфф}}}{|1 - (N_1/N_2)|} \approx 0{,}22\text{ А},\quad I_{2\text{ эфф}} = \dfrac{N_1}{N_2}\cdot\dfrac{I_{3\text{ эфф}}}{(N_1/N_2) - 1} \approx 1{,}33\text{ А}\] (первый способ включения); \[I_{1\text{ эфф}} = \dfrac{I_{3\text{ эфф}}}{1 + (N_1/N_2)} \approx 0{,}156\text{ А},\quad I_{2\text{ эфф}} = \dfrac{N_1}{N_2}\cdot\dfrac{I_{3\text{ эфф}}}{1 + (N_1/N_2)} \approx 0{,}955\text{ А}\] (второй способ включения).

В заключение отметим, что трансформатор, включённый таким образом, как описано в условии задачи, не оказывает никакого влияния на работу паяльника. Паяльник работает нормально благодаря конденсатору.

\(\operatorname{tg}\beta = \dfrac{3}{5}\operatorname{tg}\alpha\).

Разложим силу, с которой стержень действует на средний шарик, на вертикальную и горизонтальную составляющие. Ясно, что вертикальная составляющая равна \(mg\), а горизонтальная равна \(f = m\omega^2\dfrac{l}{2}\sin\alpha\), где \(m\) — масса шарика, \(\omega\) — угловая скорость вращения стержня, \(l\) — его длина. Для крайнего шарика вертикальная составляющая также равна \(mg\), а горизонтальная вдвое больше, то есть равна \(2f\). Стержень образует с вертикалью неизменный угол \(\alpha\), значит, моменты сил, действующих на него со стороны шариков, уравновешены относительно шарнира: \[mgl\sin\alpha + mg\dfrac{l}{2}\sin\alpha - 2fl\cos\alpha - f\dfrac{l}{2}\cos\alpha = 0,\] откуда получаем: \(f = \dfrac{3}{5}mg\operatorname{tg}\alpha\). Следовательно, искомая сила образует с вертикалью угол \(\beta\), тангенс которого равен \[\operatorname{tg}\beta = \dfrac{f}{mg} = \dfrac{3}{5}\operatorname{tg}\alpha.\]

\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l^2}{gh}}\).

Гайка движется по кривой линии, причём в любой момент сумма расстояний от точек закрепления концов нити до места нахождения гайки постоянна и равна \(2l\). Таким свойством обладает эллипс. Следовательно, траектория гайки — дуга эллипса с полуосями \(h\) и \(l\) (см. рис. 1.221).

Как известно, такой эллипс можно получить сжатием окружности радиусом \(R = l\) в \(l/h\) раз. Значит, радиус кривизны эллипса в его нижней точке в \(l/h\) раз больше радиуса этой окружности: \(R_{\text{кр}} = l^2/h\). При малых амплитудах колебаний гайка движется так же, как математический маятник длиной \(R_{\text{кр}}\). Таким образом, период малых колебаний гайки \[T = 2\pi\sqrt{\dfrac{R_{\text{кр}}}{g}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{l^2}{gh}}.\]