МОШ, 1996/97, заключительный этап, 9 класс

Ответ

В точке \(x = 3\) м ускорение \(a = -2\) м/с\(^2\); максимальное по модулю ускорение в точке \(x = 1\) м: \(a = -4\) м/с\(^2\).

Решение

Из графика следует, что при \(x < 1\) м и \(x > 4\) м скорость тела постоянна, а значит, его ускорение равно нулю. В интервале от \(x = 1\) м до \(x = 4\) м связь между численными значениями скорости \(v\) и координаты \(x\), выраженными в СИ, даётся формулой \[v = 5 - kx,\] где \(k\) — размерный коэффициент, \(k = 1\) с\(^{-1}\). Пусть за малое время \(\Delta t\) скорость тела изменилась на величину \(\Delta v\). Тогда: \[\Delta v = v(t + \Delta t) - v(t) = \left(5 - kx(t + \Delta t)\right) - \left(5 - kx(t)\right) =\] \[= -k\left(x(t + \Delta t) - x(t)\right) = -k\Delta x.\] Разделив правую и левую часть на \(\Delta t\), получаем: \[\dfrac{\Delta v}{\Delta t} = -k\dfrac{\Delta x}{\Delta t},\quad\text{или}\quad a = -kv.\] Ещё раз отметим, что в последней формуле множитель \(k\) перед скоростью равен единице и имеет размерность с\(^{-1}\). Таким образом, в точке с координатой \(x = 3\) м тело имеет скорость \(v = 5 - 3 = 2\) м/с и ускорение \(a = -2\) м/с\(^2\).

Максимальное по модулю ускорение тело имеет в той точке интервала \(1\text{ м} < x < 4\text{ м}\), где максимальна по модулю его скорость, то есть в точке, где его координата минимальна. Это точка с координатой \(x = 1\) м. Скорость тела в этой точке равна \(v = 5 - 1 = 4\) м/с, а искомое максимальное ускорение равно \(a = -4\) м/с\(^2\).

Ответ

Взвесить рыбу гирями \(m_1\), затем добавить на чашку с рыбой известную гирю \(m_3\) и уравновесить гирями \(m_4\): тогда \(m = \dfrac{m_1m_3}{m_4 - m_1}\).

Решение

Из рисунка (в условии задачи) понятно, что продавец использует неравноплечие весы, причём длины плеч весов неизвестны и по условию задачи измерять их нельзя! Сначала, ради интереса, рассмотрим, как взвешивает рыбу продавец. Он может взвесить рыбу сначала на одной чашке весов, уравновесив её гирями массой \(m_1\), а затем на второй чашке, уравновесив её гирями массой \(m_2\). Обозначим длину одного из плеч весов \(a\), а другого \(b\). Тогда условия равновесия весов при первом и втором взвешиваниях запишутся в виде: \[ma = m_1b,\quad m_2a = mb,\] где \(m\) — неизвестная масса рыбы. Разделив эти соотношения друг на друга, получим: \(m^2 = m_1m_2\), откуда \(m = \sqrt{m_1m_2}\).

Покупателю этот путь недоступен, так как рыба всё время лежит на одной чашке весов. Однако, он может взвесить рыбу сначала на одной чашке весов, уравновесив её гирями массой \(m_1\), а затем может добавить на чашку, где лежит рыба, гирю известной массы \(m_3\), и вновь провести взвешивание. При этом чашка с рыбой и гирей будет уравновешена гирями массой \(m_4\). Условия равновесия весов в этом случае запишутся в виде: \[ma = m_1b,\quad (m + m_3)a = m_4b.\] Разделив эти соотношения друг на друга, получим: \[\dfrac{m}{m + m_3} = \dfrac{m_1}{m_4},\] откуда для истинной величины массы рыбы \(m\) получается следующее выражение: \[m = \dfrac{m_1m_3}{m_4 - m_1}.\] Так как в знаменателе стоит разность масс гирь при двух взвешиваниях, то для повышения точности измерений необходимо, чтобы эта разность была не очень мала, то есть нужно, чтобы массы \(m_1\) и \(m_4\) были не очень близки. Этого можно достичь, выбирая гирю \(m_3\) побольше, тогда полученный результат будет точнее.

Ответ

\(\mu \geqslant \dfrac{1}{2}\sqrt{\left(\dfrac{3F}{Mg}\right)^2 - 1} \gtrsim 0{,}58\).

Решение

Так как на столе лежат только \(2/3\) каната, то оставшаяся \(1/3\) каната находится в воздухе и удерживается силой \(F\). Пусть конец висящей части каната составляет с горизонтом угол \(\alpha\) (см. рис. 1.194).

Тогда условия равновесия каната запишутся в виде: \[F\sin\alpha + N = Mg,\qquad(1)\] \[F\cos\alpha \leqslant \mu N,\qquad(2)\] где \(N\) — сила реакции опоры, \(\mu\) — коэффициент трения каната о стол. В точке касания висящей части каната и стола сила натяжения каната направлена горизонтально. Значит, условие равновесия висящей части каната, спроецированное на вертикальную ось, имеет вид: \[F\sin\alpha = \dfrac{1}{3}Mg.\qquad(3)\] Из (1) и (3) для силы реакции опоры получаем: \(N = \dfrac{2}{3}Mg\). Тогда условие (2) записывается в виде \[F\cos\alpha \leqslant \dfrac{2}{3}\mu Mg.\qquad(4)\] Выражая из (3) \(\sin\alpha\) и используя основное тригонометрическое тождество и неравенство (4), находим: \(\sin\alpha = \dfrac{Mg}{3F}\), и \[\mu \geqslant \dfrac{3F\cos\alpha}{2Mg} = \dfrac{\sqrt{9F^2 - M^2g^2}}{2Mg} = \dfrac{1}{2}\sqrt{\left(\dfrac{3F}{Mg}\right)^2 - 1}.\] Полагая \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\), получаем \(\mu \gtrsim 0{,}58\).

Ответ

Льда \(m \approx 22{,}9\) г, воды \(M \approx 120{,}0\) г.

Решение

Построим график зависимости температуры воды в калориметре \(T\) от времени \(t\). Известно, что он должен состоять из горизонтального (плавление льда) и наклонного (нагрев образовавшейся воды) участков. Имеющиеся данные позволяют однозначно восстановить зависимость температуры от времени, которое будем отсчитывать от момента включения нагревателя (см. рис. 2.14).

Из графика можно найти, сколько времени продолжалось таяние льда. Действительно, зависимость температуры воды от времени после того, как весь лёд растаял, даётся формулой \[T = at + b.\] Мы знаем, что при \(t = 3\) мин \(T = 2\,^\circ\)C, а при \(t = 4\) мин \(T = 7\,^\circ\)C. Отсюда \[2 = 3a + b,\quad 7 = 4a + b.\] Решая полученную систему, находим: \(a = 5\), \(b = -13\), и \[T = 5t - 13.\] Время таяния льда \(t_1\) определяется по точке пересечения этой наклонной прямой с прямой \(T = 0\). Отсюда \[t_1 = \dfrac{13}{5} = 2{,}6\text{ мин} = 156\text{ с}.\] Из уравнения теплового баланса найдём начальную массу льда: \[m = \dfrac{Nt_1}{\lambda} \approx 22{,}9\text{ г}.\] После того, как лёд растает, вся получившаяся вода массой \((m + M)\), где \(M\) — масса воды, изначально бывшей в калориметре, нагревается на \(\Delta T = 5\,^\circ\)C за \(t_2 = 1\) мин \(= 60\) с. Значит, \[C(m + M)\Delta T = Pt_2,\] и начальная масса воды: \[M = \dfrac{Nt_2}{C\Delta T} - m \approx 120{,}0\text{ г}.\]

Ответ

С одним мотором \(t_3 = \dfrac{\sqrt2 - 1}{3 - \sqrt2}\,t_1 \approx 13{,}06\) мин; с двумя моторами \(t_4 = \dfrac{\sqrt2 - 1}{2}\,t_1 \approx 10{,}35\) мин.

Решение

Обозначим расстояние от А до Б через \(S\), а скорость течения реки через \(u\). Скорость движения лодки с одним мотором относительно воды обозначим через \(v\). Поскольку при установке на лодку двух моторов сила тяги вырастает вдвое, а сила сопротивления движению лодки пропорциональна квадрату скорости движения лодки относительно воды, то скорость движения лодки с двумя моторами относительно воды равна \(\sqrt2v\). Из условия задачи не известно, какой из населённых пунктов — А или Б — находится выше по течению реки. Поэтому нужно проверить два варианта:

1) А находится выше по течению; 2) Б находится выше по течению.

Для первого варианта имеем уравнения: \[\dfrac{S}{u + v} = t_1,\quad \dfrac{S}{u + \sqrt2v} = t_2 = \dfrac{t_1}{2}.\qquad(1)\] Для второго варианта: \[\dfrac{S}{v - u} = t_1,\quad \dfrac{S}{\sqrt2v - u} = t_2 = \dfrac{t_1}{2}.\qquad(2)\] Для варианта (1), разделив одно уравнение на другое, получим: \[\dfrac{u + \sqrt2v}{u + v} = 2,\quad\text{откуда}\quad\dfrac{u}{v} = \sqrt2 - 2 < 0.\] Так как \(u\) и \(v\) положительны, то отсюда следует, что система (1) не имеет решения. Значит, Анискино (А) находится ниже по течению, чем Борискино (Б). Из системы (2), поделив уравнения друг на друга, получаем: \[\dfrac{u}{v} = 2 - \sqrt2.\] Чтобы найти время движения из Б в А на лодке с одним или двумя моторами, нужно вычислить величины: \[t_3 = \dfrac{S}{u + v}\quad\text{и}\quad t_4 = \dfrac{S}{u + \sqrt2v}.\qquad(3)\] Выражая из (2) \(S\) через \(t_1\) и подставляя в (3), получаем: \[t_3 = \dfrac{1 - (u/v)}{1 + (u/v)}\cdot t_1 = \dfrac{\sqrt2 - 1}{3 - \sqrt2}\cdot t_1 \approx 13{,}06\text{ мин}\] — время движения с одним мотором; \[t_4 = \dfrac{1 - (u/v)}{\sqrt2 + (u/v)}\cdot t_1 = \dfrac{\sqrt2 - 1}{2}\cdot t_1 \approx 10{,}35\text{ мин}\] — время движения с двумя моторами.

Ответ

\(a_2 = \dfrac{(m + m_1)m_2}{m(4m_1 + m_2) + m_1m_2}\,g\).

Решение

Направим координатную ось \(X\) вертикально вниз (см. рис. 1.56). Тогда, если координаты тяжёлой оси блока, первого груза и второго груза равны \(x\), \(x_1\) и \(x_2\) соответственно, условие нерастяжимости нити имеет вид: \[x_1 + 2x_2 - x = L = \text{const}.\]

Это соотношение справедливо для любых двух близких моментов времени \(t\) и \(t + \Delta t\), откуда следует связь изменений координат за время \(\Delta t\): \[\Delta x_1 + 2\Delta x_2 - \Delta x = 0.\] Деля полученное уравнение на \(\Delta t\), находим связь скоростей грузов и блока: \[v_1 + 2v_2 - v = 0.\] Повторяя описанную процедуру, получаем соотношение, связывающее проекции ускорений первого груза, второго груза и тяжёлой оси блока на ось \(X\): \[a_1 + 2a_2 - a = 0.\] Обозначим через \(T\) силу натяжения нити, прикреплённой к первому грузу и тяжёлой оси блока (сила натяжения постоянна вдоль нити, так как нить невесома). Тогда уравнения движения грузов и оси блока, спроецированные на координатную ось \(X\), имеют вид: \[m_1a_1 = m_1g - T,\quad m_2a_2 = m_2g - 2T,\quad ma = mg + T.\] Решая совместно четыре последних уравнения, получаем: \[a_2 = \dfrac{(m + m_1)m_2}{m(4m_1 + m_2) + m_1m_2}\,g.\]

Ответ

\(v = \sin^2\alpha\sqrt{\dfrac{gL}{\cos\alpha}}\).

Решение

В момент отрыва тела от стола на него со стороны стола не действуют никакие силы, а ускорение в вертикальном направлении равно нулю. Следовательно, в этот момент вертикальная составляющая силы натяжения нити равна \(mg\), где \(m\) — масса тела. Таким образом, величина силы натяжения нити равна \(T = mg/\cos\alpha\).

Перейдём в систему отсчёта, движущуюся вверх с искомой скоростью \(v\). В этой системе отсчёта тело движется по окружности, так как точка, за которую тянут нить, покоится. Скорость \(u\) тела в этой системе отсчёта перпендикулярна нити (см. рис. 1.92) и равна \(u = v/\sin\alpha\), а сумма проекций сил на направление нити равна произведению массы тела на центростремительное ускорение:

\[T - mg\cos\alpha = \dfrac{mu^2}{L}.\] Отсюда с учётом выражений для \(T\) и \(u\) находим скорость \(v\) подъёма конца нити: \[v = \sin^2\alpha\sqrt{\dfrac{gL}{\cos\alpha}}.\]