МОШ, 1998/99, заключительный этап, 8 класс

Ответ

Пешеход должен идти в сторону велосипедиста со скоростью \(v = \dfrac{20}{3}\text{ км/ч} \approx 6{,}7\text{ км/ч}\).

Решение

Обозначим расстояние между велосипедистом и мотоциклистом \(S\), а скорость пешехода \(v\). Дальше задачу можно решать двумя способами — с помощью составления системы уравнений и графически. Рассмотрим оба способа.

1. Составим систему уравнений. Пусть велосипедист, мотоциклист и пешеход встретятся через время \(t\). Предположим, что пешеход идёт по направлению к велосипедисту. До момента встречи мотоциклист проедет путь \(60t\), а велосипедист — путь \(20t\). Так как вначале расстояние между ними было равно \(S\), то получаем уравнение: \[60t + 20t = S.\] Второе уравнение можно получить, рассмотрев встречу пешехода с велосипедистом или с мотоциклистом. В начальный момент времени расстояние между мотоциклистом и пешеходом было равно \(2S/3\), а между велосипедистом и пешеходом \(S/3\). Так как встреча произошла через время \(t\), то справедливы соотношения: \[\dfrac{2S}{3} + vt = 60t,\quad \dfrac{S}{3} - vt = 20t.\] Легко видеть, что полученная система трёх уравнений не позволяет найти время \(t\) и начальное расстояние \(S\). Однако скорость пешехода \(v\) из неё найти можно, причём для нахождения \(v\) достаточно решить только два любых уравнения из числа имеющихся. Это связано с тем, что велосипедист, мотоциклист и пешеход встречаются в одной точке. Выражая из любого уравнения величину \(S\) и подставляя её в два оставшихся уравнения, находим скорость пешехода: \[v = \dfrac{20}{3} \approx 6{,}7\text{ км/ч}.\] Скорость получилась положительной. Это означает, что мы вначале правильно решили, что пешеход идёт по направлению к велосипедисту. Если бы мы ошиблись и предположили, что пешеход идёт в обратную сторону, то два последних уравнения изменились бы, и в результате мы бы получили величину скорости \(v \approx -6{,}7\text{ м/с}\). Знак «минус» показывал бы, что на самом деле пешеход идёт в обратную сторону.

2. Графический способ решения задачи более нагляден. Начертим графики зависимости положения мотоциклиста, велосипедиста и пешехода от времени в одной системе координат (\(X\)–\(t\)) и обозначим их начальные положения буквами \(M\), \(V\) и \(P\) соответственно (см. рисунок). За начало координат выберем положение мотоциклиста, а за момент начала отсчёта времени — начало движения. Так как движение происходит с постоянной скоростью, то графики будут представлять собой прямые линии, пересекающиеся в некоторой точке \(A\) (точка встречи).

Перпендикуляр, опущенный из точки \(A\) на ось \(X\), пересечёт её в точке \(B\) (эта точка соответствует расстоянию от начального положения мотоциклиста до места встречи). Из условия задачи вытекает следующая пропорция: \[\dfrac{MP}{PV} = \dfrac{2}{1}.\] Кроме того, длины отрезков \(MB\) и \(BV\) относятся так же, как скорости мотоциклиста и велосипедиста: \[\dfrac{MB}{BV} = \dfrac{60\text{ км/ч}}{20\text{ км/ч}} = \dfrac{3}{1}.\] Из этих пропорций вытекают следующие соотношения: \[\dfrac{MV}{BV} = \dfrac{MB + BV}{BV} = \dfrac{4}{1},\quad \dfrac{MV}{PV} = \dfrac{MP + PV}{PV} = \dfrac{3}{1}.\] Деля два последних отношения друг на друга, получаем: \[\dfrac{PV}{BV} = \dfrac{4}{3}.\] Наконец, используя последнее выражение, находим: \[\dfrac{PB}{BV} = \dfrac{PV - BV}{BV} = \dfrac{1}{3}.\] Но отношение длин отрезков \(PB\) и \(BV\) равно отношению скоростей пешехода и велосипедиста. Значит, скорость пешехода должна быть равна \(v = \dfrac{20\text{ км/ч}}{3} \approx 6{,}7\text{ км/ч}\). Кроме того, из чертежа видно, что пешеход должен двигаться в сторону велосипедиста.

Ответ

Поршень массой \(M_1\) поднимется на ту же высоту \(h\).

Решение

Пусть после того, как на поршень массой \(M_1\) положили груз массой \(m\), этот поршень опустился на расстояние \(\Delta h_1\), а второй поршень поднялся на высоту \(\Delta h_2\) относительно начального положения. При этом перепад уровней жидкости в сосудах будет равен \(\Delta h_1 + \Delta h_2\), а разность давлений, создаваемая этим перепадом уровней, будет компенсироваться добавочным давлением, которое создаёт груз массой \(m\), лежащий на первом поршне. Отсюда получаем уравнение: \(\rho g(\Delta h_1 + \Delta h_2) = mg/S_1\). Здесь \(S_1\) — площадь поршня массой \(M_1\). Далее, так как объём жидкости под поршнями не изменился, то справедливо соотношение: \(S_1\Delta h_1 = S_2\Delta h_2\), где \(S_2\) — площадь поршня массой \(M_2\). Выражая из второго уравнения величину \(\Delta h_1\) и подставляя её в первое уравнение, найдём высоту, на которую поднимется поршень массой \(M_2\): \[\Delta h_2 = \dfrac{m}{\rho(S_1 + S_2)}.\] По условию задачи эта величина равна \(h\).

Пусть теперь груз массой \(m\) положили на поршень массой \(M_2\). Проводя аналогичные рассуждения, можно честно найти высоту \(\Delta h_1'\), на которую при этом поднимется поршень массой \(M_1\). Однако, зная выражение для \(\Delta h_2\), ответ можно просто угадать. Действительно, в рассматриваемой системе всё равно, какой поршень считать «первым», а какой — «вторым». Значит, для того, чтобы получить ответ, можно просто перенумеровать все величины в последней формуле, то есть заменить все индексы «1» на индексы «2», и наоборот. В итоге получим \[\Delta h_1' = \dfrac{m}{\rho(S_2 + S_1)} = \Delta h_2 = h.\] Итак, если положить груз массой \(m\) на поршень массой \(M_2\), то поршень массой \(M_1\) поднимется относительно начального положения на такую же высоту \(h\), на какую поднимался поршень массой \(M_2\), когда груз массой \(m\) клали на поршень массой \(M_1\).

Ответ

Примерно \(m_2 \approx 45\)–\(47\) г (вклад ложки мал, его можно не учитывать).

Решение

Прежде всего, нужно придумать модель, которую можно применить для описания процесса охлаждения кофе при помощи мороженого. Предположим, что мороженое по своим свойствам близко ко льду, то есть имеет примерно одинаковые с ним удельную теплоёмкость и удельную теплоту плавления, и столь же небольшую теплопроводность. Предположим также, что для охлаждения кофе до требуемой температуры в него нужно будет положить мороженое ложечкой несколько раз. Будем считать, что при опускании в мороженое ложечка охлаждается до температуры брикета, а при опускании в кофе — нагревается до температуры напитка. Ввиду малой теплопроводности мороженого от ложечки прогревается только тонкий его слой, и при следующем заборе мороженого из того же места брикета отданная ложечкой теплота будет забрана обратно. В этом случае перенос теплоты ложечкой можно не учитывать. Но возможен и другой способ, когда мороженое берётся каждый раз из нового места брикета, и ложечка отдаёт ему тепло. Теперь можно пытаться решить задачу «в лоб», определяя температуру кофе после каждого следующего забора мороженого из брикета и размешивания кофе. Однако в задаче не спрашивается, сколько ложек мороженого нужно положить в кофе, а требуется лишь оценить необходимую массу мороженого. Поэтому попытаемся сначала решить задачу в первом приближении. Запишем уравнение теплового баланса для системы, состоящей из чашки, ложки, кофе и мороженого. Энергия, выделяющаяся при охлаждении кофе от температуры \(T_1\) до температуры \(T_3\), равна \(m_1C_{\text{в}}(T_1 - T_3)\). Она идёт на нагрев фарфоровой чашки от комнатной температуры \(T_{\text{к}}\) до температуры \(T_3\), на нагрев искомой массы мороженого \(m_2\) от температуры \(T_2\) до температуры \(T_0 = 0\,^\circ\text{C}\), на плавление и дальнейший нагрев этой массы от температуры \(T_0\) до температуры \(T_3\), а также, если забор мороженого осуществляется каждый раз из нового места брикета, — на нагрев серебряной ложки, которая может помещаться в мороженое и в кофе по нескольку раз, нагреваясь на разное количество градусов, поскольку кофе постепенно охлаждается. Чтобы не рассматривать весь процесс детально (ведь мы ищем оценку), предположим, что ложечка погружается в мороженое и в кофе \(n\) раз и каждый раз нагревается на некоторую среднюю разность температур кофе и мороженого \(\Delta T_{\text{ср}}\). Учитывая всё это, получаем уравнение: \[m_1C_{\text{в}}(T_1 - T_3) = m_{\text{ф}}C_{\text{ф}}(T_3 - T_{\text{к}}) + m_2\bigl(C_{\text{л}}(T_0 - T_2) + \lambda + C_{\text{в}}(T_3 - T_0)\bigr) + m_{\text{лож}}C_{\text{с}}n\Delta T_{\text{ср}}.\] Выразим отсюда искомую массу мороженого \(m_2\) и подставим числовые значения известных величин: \[m_2 = \dfrac{m_1C_{\text{в}}(T_1 - T_3) - m_{\text{ф}}C_{\text{ф}}(T_3 - T_{\text{к}}) - m_{\text{лож}}C_{\text{с}}n\Delta T_{\text{ср}}}{C_{\text{л}}(T_0 - T_2) + \lambda + C_{\text{в}}(T_3 - T_0)} = \dfrac{28350 - 2000 - 3{,}45\cdot n\Delta T_{\text{ср}}}{554}\text{ г}.\] Из полученного соотношения видно, что последнее слагаемое числителя, которое описывает вклад в энергообмен серебряной ложки, имеет примерно одинаковый порядок со вторым слагаемым, описывающим нагрев фарфоровой чашки, и что оба они намного меньше первого слагаемого, отвечающего за охлаждение кофе. Действительно, предположим, что мороженое забирают ложечкой только один раз (\(n = 1\)). Среднюю разность температур мороженого и кофе можно считать примерно равной \(\Delta T_{\text{ср}} \approx 80\,^\circ\text{C}\). Тогда последнее слагаемое равно 276 Дж, и для массы мороженого \(m_2\) находим: \[m_2 \approx \dfrac{26350 - 3{,}45\cdot 80\cdot 1}{554}\text{ г} \approx 47\text{ г}.\] Полученный результат означает, что ложечка слабо влияет на процесс охлаждения кофе, так как на её нагревание затрачивается очень небольшое количество тепла. Понятно также, что оценка средней разности температур \(\Delta T_{\text{ср}}\) и числа заборов мороженого \(n\) почти не влияет на ответ. В самом деле, предположим, что мы клали мороженое в кофе в пять приёмов, то есть будем считать, что в ложечку помещается около 10 граммов мороженого. Тогда для массы мороженого \(m_2\) получим \[m_2 \approx \dfrac{26350 - 1380}{554}\text{ г} \approx 45\text{ г},\] то есть новое значение отличается от найденного ранее всего на два грамма (или примерно на 4%). После всего сказанного становится ясно, что при получении оценочного результата вклад ложки можно вообще не рассматривать, то есть можно не включать соответствующее слагаемое в уравнение теплового баланса — ответ от этого практически не изменится.

Ответ

\(p = p_0 - \rho gh = 99\,510\) Па.

Решение

В любой момент времени давление в жидкости на уровне нижнего конца трубки равно \(p + \rho gh\), где \(p\) — давление воздуха в бутылке, \(h\) — глубина, на которую погружен нижний конец трубки. До вынимания затычки давление воздуха в бутылке было равно атмосферному давлению \(p_0\). Значит, давление на уровне нижнего конца трубки было равно \(p_0 + \rho gh\). Ясно, что давление на уровне отверстия в боковой стенке было ещё больше (оно находится глубже нижнего конца трубки), поэтому после вынимания затычки вода начинает вытекать из бутылки, объём воздуха над поверхностью воды увеличивается, и давление воздуха в бутылке постепенно падает. Так будет продолжаться до тех пор, пока давление на уровне нижнего конца трубки не станет равно атмосферному. Как только это случится, через трубку в бутылку станут входить пузырьки воздуха, и вода станет вытекать из отверстия с постоянной скоростью (см. рисунок).

Значит, начиная с этого момента справедливо соотношение: \(p_0 = p + \rho gh\), откуда для момента, когда нижний конец трубки находится на глубине \(h = 5\) см от поверхности воды, получаем, что \(p = p_0 - \rho gh = 99\,510\) Па.