МОШ, 1999/00, заключительный этап, 9 класс

Ответ

а) Скорость и координата изменяются периодически с периодом \(T = \dfrac{4x_0}{v_0}\): \(v(t)\) — ступенчатая функция со значениями \(\pm v_0\), \(x(t)\) — ломаная («пила» с амплитудой \(x_0\)); б) гармоническое колебание: \(x = x_0\sin\left(\alpha_0 + \dfrac{v_0}{x_0}t\right)\), \(v = v_0\cos\left(\alpha_0 + \dfrac{v_0}{x_0}t\right)\) с периодом \(T = \dfrac{2\pi x_0}{v_0}\).

Решение

а) Пусть в начальный момент времени координата материальной точки равна 0, а её скорость \(v = v_0\) (точка \(A\) на зависимости \(v(x)\), рис. 1).

Тогда через маленький промежуток времени \(\Delta t\) координата \(x\) материальной точки станет равной \(v_0\Delta t > 0\). Это соответствует тому, что точка на нашем графике \(v(x)\) будет смещаться вправо. Так будет продолжаться до момента времени \(\Delta t_1 = x_0/v_0\), после которого знак скорости изменится: вместо \(v = v_0\) станет \(v = -v_0\). Таким образом, в течение времени \(\Delta t_1\) материальная точка будет двигаться с постоянной скоростью \(v_0\).

Затем в течение времени \(\Delta t_2 = 2x_0/v_0\) материальная точка будет двигаться с постоянной скоростью \(-v_0\), после чего знак скорости вновь изменится — она станет равной \(v_0\). Далее материальная точка будет двигаться с этой скоростью в течение времени \(\Delta t_3 = x_0/v_0\), после чего вернётся в исходное положение, и цикл движения повторится. График зависимости скорости от времени \(v(t)\), соответствующий описанному движению, приведён на рис. 2.

По полученному графику \(v(t)\) легко построить график зависимости координаты от времени \(x(t)\). Действительно, «ступеньки» графика \(v(t)\) соответствуют движениям с постоянными скоростями \(v_0\) или \(-v_0\). При движении с постоянной скоростью зависимость координаты от времени даётся формулой \(x = x(0) + vt\). В начале движения \(x(0) = 0\), и \(x = v_0t\). Через время \(\Delta t_1\) координата материальной точки станет равной \(x_0\), а скорость примет значение \(-v_0\), то есть зависимость \(x(t)\) будет даваться формулой \(x = 2x_0 - v_0t\). Такая зависимость будет справедлива в течение промежутка времени \(\Delta t_2\), после чего координата станет равна \(-x_0\), а скорость примет значение \(v_0\). В результате зависимость \(x(t)\) приобретёт вид \(x = -4x_0 + v_0t\). График зависимости \(x(t)\) приведён на рис. 3. Это периодическое движение с периодом \[T = \Delta t_1 + \Delta t_2 + \Delta t_3 = \dfrac{4x_0}{v_0}.\] В заключение остановимся на вопросе о практической реализации такого движения. Понятно, что в реальности оно существовать не может, так как мгновенная смена знака скорости при \(x = x_0\) и \(x = -x_0\) означает, что в данные моменты времени материальная точка имеет бесконечно большое ускорение. Однако можно представить себе движение, близкое к тому, о котором идёт речь в условии. Это может быть, например, движение маленького шарика, который в отсутствие сил тяжести и трения летает по прямой между двумя параллельными стенками, испытывая с ними абсолютно упругие соударения.

б) Обозначим на графике \(v(x)\) начало координат точкой \(O\) (см. рис. 4), а радиус окружности через \(R\). Тогда, очевидно, можно записать: \[R = k_1x_0 = k_2v_0,\] где \(k_1\) и \(k_2\) — положительные размерные масштабные коэффициенты.

Пусть в некоторый момент времени скорость и координата материальной точки таковы, что они соответствуют на графике \(v(x)\) точке \(A\) с координатами \((k_1x_A, k_2v_A)\). Обозначим угол, который составляет радиус \(OA\) с осью \(Ov\), через \(\alpha\). Так как в рассматриваемый момент времени скорость материальной точки положительна, то за малое время \(\Delta t\) она сместится на положительное расстояние \(\Delta x\), что соответствует на графике точке \(A'\). Это означает, что радиус \(OA\) повернётся по часовой стрелке, и угол, который он составляет с осью \(Ov\), изменится на величину \(\Delta\alpha\). При этом координаты точки \(A\) изменятся на величины \(k_1\Delta x\) и \(k_2\Delta v\). Так как промежуток времени \(\Delta t\) мал, то дугу окружности \(AA' = R\Delta\alpha\) можно приближённо заменить на хорду \(AA'\). Тогда из прямоугольного треугольника \(ACA'\) получаем: \(k_1\Delta x \approx R\Delta\alpha\cos\alpha = k_1x_0\Delta\alpha\cos\alpha\), откуда \(\Delta x = x_0\Delta\alpha\cos\alpha = v_A\Delta t\). Но, с другой стороны, как видно из чертежа, \(k_2v_A = R\cos\alpha = k_2v_0\cos\alpha\), откуда \(v_A = v_0\cos\alpha\). Подставляя \(v_A\) в выражение для \(\Delta x\), получаем \(x_0\Delta\alpha\cos\alpha = v_0\cos\alpha\cdot\Delta t\), откуда \[\dfrac{\Delta\alpha}{\Delta t} = \dfrac{v_0}{x_0} = \omega = \text{const},\] то есть радиус \(OA\) вращается с постоянной угловой скоростью \(\omega = v_0/x_0\). Следовательно, угол \(\alpha\) возрастает со временем по линейному закону: \(\alpha = \alpha_0 + \omega t\), где постоянная величина \(\alpha_0\) соответствует начальному положению точки \(A\) на окружности. С учётом этого получаем \(k_1x_A = R\sin\alpha = k_1x_0\sin\alpha\), откуда \[x_A = x_0\sin\alpha = x_0\sin(\alpha_0 + \omega t) = x_0\sin\left(\alpha_0 + \dfrac{v_0}{x_0}t\right),\] и аналогично \[v_A = v_0\cos\alpha = v_0\cos(\alpha_0 + \omega t) = v_0\cos\left(\alpha_0 + \dfrac{v_0}{x_0}t\right).\] Из полученных зависимостей следует, что материальная точка совершает гармоническое колебание с амплитудой \(x_0\) и периодом \(T = 2\pi/\omega = 2\pi x_0/v_0\). Графики зависимостей \(x(t)\) и \(v(t)\), соответствующие данному движению, приведены на рисунках 5 и 6.

Ответ

На 26-ю песню (примерно на середину): \(T_3 \approx 25{,}7\) мин.

Решение

Так как при быстрой перемотке ленты ведущая ось вращается с постоянной угловой скоростью, то радиус принимающей бобины \(\tilde r\) возрастает со временем \(t\) от \(r\) до \(R\) по линейному закону: \(\tilde r = r + \dfrac{t}{T_1}(R - r)\). После перемотки в течение времени \(T_2\) радиус бобины станет равным \(r_1 = r + (T_2/T_1)(R - r)\).

При нормальном прослушивании кассеты лента движется с некоторой постоянной линейной скоростью \(v\). Это означает, что за промежуток времени \(\Delta t\) на бобину наматывается участок ленты длиной \(v\Delta t\), а площадь бобины увеличивается на величину \(\Delta S = hv\Delta t\), где \(h\) — толщина ленты. Таким образом, площадь бобины возрастает с постоянной скоростью \(\dfrac{\Delta S}{\Delta t} = hv\). Значит, зависимость площади бобины от времени прослушивания \(t\) можно записать в виде \(S = \pi r^2 + hvt\).

После перемотки в течение времени \(T_2\) радиус бобины станет равным \(r_1\), а её площадь, соответственно, \(\pi r_1^2\). При нормальном прослушивании кассеты бобина приобрела бы такую площадь через время \(T_3\), которое можно определить из уравнения \(\pi r_1^2 = \pi r^2 + hvT_3\).

С другой стороны, при нормальном прослушивании ленты от начала до конца бобина приобретает площадь \(\pi R^2\) за время \(N\tau\), то есть справедливо уравнение \(\pi R^2 = \pi r^2 + hvN\tau\).

Отсюда, с учётом выражения для \(r_1\), находим: \[T_3 = \dfrac{r_1^2 - r^2}{R^2 - r^2}N\tau = \dfrac{\left(r + \dfrac{T_2}{T_1}(R - r)\right)^2 - r^2}{R^2 - r^2}N\tau =\] \[= \dfrac{\left(10\text{ мм} + \dfrac{110\text{ с}}{165\text{ с}}\cdot(25\text{ мм} - 10\text{ мм})\right)^2 - 10^2\text{ мм}^2}{25^2\text{ мм}^2 - 10^2\text{ мм}^2}\cdot 45\text{ мин} \approx 25{,}7\text{ мин}.\] Таким образом, в результате перемотки мы попадём на песню с номером \(k = \left[\dfrac{T_3}{\tau}\right] + 1 = 26\), то есть примерно на середину двадцать шестой песни.

Ответ

Четыре параллельные цепочки: две по 52 и две по 53 последовательно соединённые лампочки (3,5 В/0,28 А), последовательно с лампочкой (36 В/40 Вт); всего 210 лампочек на 3,5 В.

Решение

Понятно, что лампочка (36 В/40 Вт) должна быть подключена к источнику напряжения последовательно с некоторым количеством соединённых в различных комбинациях лампочек (3,5 В/0,28 А) — в противном случае будет невозможно обеспечить подачу на неё напряжения 36 В. По условию задачи падение напряжения на лампе может отличаться от номинального не более чем на 1%, то есть для лампочки, рассчитанной на 36 В, оно может варьироваться в пределах от 35,64 В до 36,36 В, а для лампочки, рассчитанной на 3,5 В — от 3,465 В до 3,535 В. При последовательном подключении лампочки (36 В/40 Вт) и лампочек (3,5 В/0,28 А) на долю последних придётся от 183,64 В до 184,36 В. Поэтому для того, чтобы лампочки (3,5 В/0,28 А) горели нормально, их цепочка должна включать в себя от \(183{,}64/3{,}535 \approx 51{,}95\) ламп до \(184{,}36/3{,}465 \approx 53{,}21\) ламп, то есть реально — 52 или 53 лампы.

Легко видеть, что для нормальной работы схемы недостаточно последовательно подключить к лампе (36 В/40 Вт) одну цепочку из 52 или 53 ламп (3,5 В/0,28 А). Действительно, сила тока через лампу (3,5 В/0,28 А) может составлять от \(0{,}2772\) А до \(0{,}2828\) А, а через лампу (36 В/40 Вт) — от \(1{,}1\) А до \(1{,}122\) А. Поэтому для нормальной работы схемы необходимо последовательно соединить лампу (36 В/40 Вт) с несколькими параллельно включёнными цепями из ламп (3,5 В/0,28 А), причём количество цепей может варьироваться от \(1{,}1/0{,}2828 \approx 3{,}890\) до \(1{,}122/0{,}2772 \approx 4{,}048\), то есть реально количество цепей должно быть равно четырём. Значит, возможны следующие случаи:

1) все четыре цепи состоят из 52 ламп (3,5 В/0,28 А);

2) все четыре цепи состоят из 53 ламп (3,5 В/0,28 А);

3) часть цепей состоит из 52, а часть — из 53 ламп (3,5 В/0,28 А).

Рассмотрим эти случаи по отдельности.

1) Прежде всего вычислим сопротивления \(R\) лампы (36 В/40 Вт) и \(r\) лампы (3,5 В/0,28 А): \[R = \dfrac{(36\text{ В})^2}{40\text{ Вт}} = 32{,}4\text{ Ом},\quad r = \dfrac{3{,}5\text{ В}}{0{,}28\text{ А}} = 12{,}5\text{ Ом}.\] Сопротивление одной цепи из 52 ламп равно \(52r\), четырёх параллельно соединённых одинаковых цепей — \(52r/4\), всей цепи — \(R + (52r/4)\), а напряжение на лампе (36 В/40 Вт) в соответствии с законом Ома составляет \[U_R = \dfrac{220R}{R + (52r/4)} \approx 36{,}57\text{ В},\] то есть отличается от номинального более чем на 1%. Таким образом, случай 1) не удовлетворяет условиям задачи.

2) Аналогично случаю 1), можно показать, что напряжение на лампе (36 В/40 Вт) составляет \[U_R = \dfrac{220R}{R + (53r/4)} \approx 35{,}995\text{ В},\] то есть оно удовлетворяет условию задачи. Напряжение же на каждой из ламп (3,5 В/0,28 А) в этом случае равно \[U_r = \dfrac{220 - U_R}{53} \approx 3{,}472\text{ В},\] что также лежит в пределах 1% от номинала. Таким образом, случай 2) возможен. При таком способе включения (4 параллельные цепи из 53 последовательно соединённых ламп (3,5 В/0,28 А) последовательно соединены с лампой (36 В/40 Вт)) условия задачи выполняются, и количество ламп (3,5 В/0,28 А) составляет 212 штук.

3) Пусть часть цепей состоит из 52, а часть — из 53 ламп (3,5 В/0,28 А). В соответствии с законом Ома, сила тока в участке цепи прямо пропорциональна падению напряжения на этом участке и обратно пропорциональна его сопротивлению. Так как напряжение на всех параллельно включённых цепях одинаково, и они состоят из одинаковых ламп, то отношение сил тока \(I_{52}\) и \(I_{53}\), текущих в цепях из 52 и 53 ламп соответственно, равно обратному отношению числа ламп в этих цепях: \(I_{52}/I_{53} = 53/52\). Ранее было показано, что сила тока, текущего через лампу (3,5 В/0,28 А), может лежать в пределах от \(0{,}2772\) А до \(0{,}2828\) А. Значит, сила тока \(I_{52}\), текущего через цепочку из 52 ламп, может лежать в пределах от \(0{,}2772\cdot(53/52) \approx 0{,}2825\) А до \(0{,}2828\) А, а тока \(I_{53}\), текущего через цепочку из 53 ламп — от \(0{,}2772\) А до \(0{,}2828\cdot(52/53) \approx 0{,}2775\) А. Теперь можно по отдельности рассмотреть три возможных варианта построения цепи.

а) Параллельно соединены 1 цепь из 53 ламп и 3 цепи по 52 лампы. В этом случае ток через лампу (36 В/40 Вт) будет лежать в пределах от \(0{,}2772 + 3\cdot 0{,}2825 \approx 1{,}1247\) А до \(0{,}2775 + 3\cdot 0{,}2828 \approx 1{,}1259\) А. Но ранее было показано, что сила тока через лампу (36 В/40 Вт) должна лежать в пределах от \(1{,}1\) А до \(1{,}122\) А. Поэтому такой вариант соединения не удовлетворяет условиям задачи. б) Параллельно соединены 2 цепи по 52 лампы и 2 цепи по 53 лампы. Сила тока, текущего через лампу (36 В/40 Вт), будет находиться в интервале от \(2\cdot 0{,}2825 + 2\cdot 0{,}2772 \approx 1{,}1194\) А до \(2\cdot 0{,}2828 + 2\cdot 0{,}2775 \approx 1{,}1206\) А, то есть попадает в ранее найденный допустимый интервал. Значит, этот вариант соединения подходит. Для его реализации необходимо использовать 210 ламп (3,5 В/0,28 А).

в) Параллельно соединены 1 цепь из 52 ламп и 3 цепи по 53 лампы. При таком варианте соединения ток через лампу (36 В/40 Вт) будет лежать в пределах от \(0{,}2825 + 3\cdot 0{,}2772 \approx 1{,}1141\) А до \(0{,}2828 + 3\cdot 0{,}2775 \approx 1{,}1153\) А, то есть также лежит в допустимых пределах. Значит, этот способ соединения ламп также подходит, и для его осуществления нужно израсходовать 211 ламп (3,5 В/0,28 А).

В результате проведённого рассмотрения получаем ответ задачи: цепь, удовлетворяющую условию задачи и включающую в себя минимальное количество лампочек на 3,5 В, следует собирать следующим образом (см. рисунок). Нужно параллельно соединить друг с другом четыре цепи, две из которых включают в себя по 52 последовательно соединённые лампочки (3,5 В/0,28 А), а две другие — по 53 последовательно соединённые лампочки (3,5 В/0,28 А). Затем к этой схеме нужно последовательно подключить лампочку (36 В/40 Вт). При этом в гирлянде будет задействовано 210 лампочек на 3,5 В.

Ответ

При \(0 \leqslant t \leqslant \tau = \dfrac{mv}{\mu(m + M)g}\): \(v_{\text{а}}(t) = \dfrac{Mv}{m + M} + \mu gt\); при \(t > \tau\) скорость постоянна и равна \(v\).

Решение

Направим ось \(X\) вдоль доски в направлении движения автомобиля и будем отсчитывать время от момента старта автомобиля. Пусть \(v_{\text{д}}(t)\) и \(v_{\text{а}}(t)\) — скорости доски и автомобиля относительно дороги в момент времени \(t\). Будем считать, что \(v_{\text{д}}(t)\) и \(v_{\text{а}}(t)\) являются алгебраическими величинами, то есть могут принимать как положительные, так и отрицательные значения — это избавит нас от необходимости следить за знаками при написании формул. Тогда из закона сложения скоростей имеем: \[v_{\text{а}}(t) = v_{\text{д}}(t) + v,\qquad(1)\] причём скорость \(v\) по условию задачи постоянна и положительна.

Рассмотрим движение доски. Пусть в момент старта автомобиля доска приобрела скорость \(u\) относительно дороги. Тогда автомобиль в этот момент времени, согласно (1), имел относительно дороги скорость \(u + v\). Применяя для указанного момента времени закон сохранения импульса, получаем \(m(u + v) + Mu = 0\), откуда \(u = -\dfrac{mv}{m + M}\). Знак «минус» в выражении для \(u\) показывает, что в начальный момент времени доска начала двигаться в направлении, противоположном направлению движения автомобиля.

На скользящую по дороге доску действует направленная вдоль оси \(X\) сила трения \(F = \mu(m + M)g\). Значит, доска и автомобиль движутся с постоянным положительным ускорением \(a = \dfrac{F}{m + M} = \mu g\).

Зависимость скорости движения доски относительно дороги от времени определяется законом \[v_{\text{д}}(t) = u + at = -\dfrac{mv}{m + M} + \mu gt.\] Из этой формулы следует, что скорость доски относительно дороги с течением времени будет уменьшаться по модулю, и в конце концов доска остановится. Это произойдёт через время \(\tau = \dfrac{mv}{\mu(m + M)g}\) после старта автомобиля. До остановки доски, то есть при \(0 \leqslant t \leqslant \tau\), автомобиль будет двигаться относительно дороги с переменной скоростью, зависимость которой от времени можно найти, используя (1): \[v_{\text{а}}(t) = v_{\text{д}}(t) + v = -\dfrac{mv}{m + M} + \mu gt + v = \dfrac{Mv}{m + M} + \mu gt.\] Понятно, что после остановки доски, при \(t > \tau\), скорость движения автомобиля относительно дороги будет постоянна и равна \(v\).

Ответ

\(M > \rho b\left(c - \dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)^2\).

Решение

Исследуем вопрос о том, при каком уровне жидкости сила гидростатического давления, действующая на параллелепипед, будет максимальна.

Разобьём параллелепипед вертикальными плоскостями на много маленьких элементов. Рассмотрим силы давления, действующие на каждый из элементов, в следующих случаях.

1) Жидкость и сверху, и снизу элемента отсутствует. В этом тривиальном случае, очевидно, сила давления равна нулю.

2) Жидкость есть над элементом, но её нет под элементом (см. рис. 1). В этом случае проекция силы давления на вертикальную ось отрицательна, то есть жидкость стремится прижать рассматриваемый элемент к дну.

3) Жидкость есть под элементом, но её нет над элементом (см. рис. 2). В этом случае проекция силы давления на вертикальную ось положительна и равна \(f = \rho gb\Delta xh = \rho g\Delta V\), где \(h\) и \(\Delta V\) — высота и объём заштрихованной части рассматриваемого элемента.

4) Жидкость есть и под элементом, и над ним (см. рис. 3). В этом случае проекция на вертикаль силы давления равна \(f = \rho gb\Delta x(h_2 - h_1) = \rho g\Delta V\), где \(h_1\) и \(h_2\) — расстояния от поверхности жидкости до верхней и нижней граней рассматриваемого элемента соответственно.

Таким образом, из рассмотрения случаев 1 и 2 следует, что если под некоторым элементом пробки нет жидкости, то жидкость может только прижимать пробку к дну сосуда, и минимальное значение вертикальной проекции этой прижимающей силы давления, равное нулю, достигается тогда, когда жидкости нет и над этим элементом. Если же под некоторым элементом пробки жидкость есть (случаи 3 и 4), то максимальное значение проекции силы на вертикальную ось положительно и равно \(\rho g\Delta V\), где \(\Delta V\) — объём рассматриваемого элемента (случай 4). Значит, сила давления будет иметь максимально возможное положительное значение тогда, когда жидкость налита в сосуд до уровня, показанного на рис. 4. При этом интересующий нас объём \(\Delta V\) (заштрихован на рис. 4) равен \(\Delta V = \left(c - \dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)^2b\), а максимальная величина выталкивающей силы равна

\[F = \rho g\Delta V = \rho gb\left(c - \dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)^2.\] Если пробка не будет всплывать при уровне воды, показанном на рис. 4, то она не всплывёт и при любом другом уровне. Следовательно, массу пробки можно найти из условия \(Mg > F\), откуда \[M > \rho b\left(c - \dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)^2.\]