зад 1 Сортировка яиц по свежести
Школьник прочитал в газете «Советы домохозяйке» следующую заметку. «Для того, чтобы рассортировать куриные яйца по степени свежести, возьмите четыре стеклянные банки, налейте в каждую пол-литра воды и растворите в первой банке 50 г соли, во второй — 45 г, в третьей — 30 г и в четвёртой — 15 г. После этого поочерёдно опускайте яйца в каждую банку. В первой банке будут тонуть только что снесённые яйца, во второй — снесённые не более двух недель назад, в третьей — снесённые не более пяти недель назад, в четвёртой — снесённые не более восьми недель назад.» Школьник сделал растворы, строго следуя рецепту, рассортировал имевшиеся в холодильнике яйца, а затем слил содержимое из всех четырёх банок в одну большую ёмкость. Сколько недель назад снесены яйца, которые тонут в получившемся растворе?
▶ОтветСкрыть
Не более 4 недель назад.
▶РешениеСкрыть
Нарисуем график (см. рисунок), вдоль горизонтальной оси которого отложим степень свежести яиц (в неделях), а вдоль вертикальной — концентрацию соли в растворе (в граммах на 0,5 литра воды). Видно, что на графике есть линейный участок, который свидетельствует о том, что в период с двух до восьми недель плотность яиц равномерно уменьшается со временем.
Далее найдём концентрацию соли в растворе, получившемся после сливания содержимого всех четырёх банок в одну большую ёмкость. Эта ёмкость содержит \(4\cdot 0{,}5\text{ л} = 2\) литра воды и \(50\text{ г} + 45\text{ г} + 30\text{ г} + 15\text{ г} = 140\) г соли. Следовательно, концентрация соли в получившемся растворе равна \(140\text{ г}/4 = 35\) грамм на 0,5 литра. Из чертежа видно, что точка графика, соответствующая этой концентрации, лежит на линейном участке графика. Это даёт возможность, используя график, определить свежесть яиц, которые тонут в получившемся растворе — они снесены не более 4 недель назад.
зад 2 Колонна автомобилей и инспектор
По шоссе равномерно движется длинная колонна автомобилей. Расстояния между соседними автомобилями в колонне одинаковы. Едущий по шоссе в том же направлении инспектор ГИБДД обнаружил, что если его скорость равна \(v_1 = 36\) км/ч, то через каждые \(t_1 = 10\) с его обгоняет автомобиль из колонны, а при скорости \(v_2 = 90\) км/ч через каждые \(t_2 = 20\) с он обгоняет автомобиль из колонны. Через какой промежуток времени будут проезжать автомобили колонны мимо инспектора, если он остановится?
▶ОтветСкрыть
\(t = \dfrac{(v_2 - v_1)t_1t_2}{v_1t_1 + v_2t_2} = 5\) с.
▶РешениеСкрыть
Пусть \(u\) — скорость колонны автомобилей, \(l\) — расстояние между автомобилями в колонне. Тогда \[t_1 = l/(u - v_1),\quad t_2 = l/(v_2 - u).\] Здесь \(u - v_1\) и \(v_2 - u\) — относительные скорости движения инспектора и колонны в первом и во втором случаях. Отсюда \[(u - v_1)t_1 = l;\quad (v_2 - u)t_2 = l.\] Вычитая из первого выражения второе, находим: \[u = \dfrac{v_1t_1 + v_2t_2}{t_1 + t_2}.\] Умножая первое выражение на \(t_2\), а второе — на \(t_1\) и складывая их, найдём \(l\): \[l = \dfrac{(v_2 - v_1)t_1t_2}{t_1 + t_2}.\] Отсюда промежуток времени, через который мимо неподвижного инспектора будут проезжать автомобили, равен: \[t = \dfrac{l}{u} = \dfrac{(v_2 - v_1)t_1t_2}{v_1t_1 + v_2t_2} = \dfrac{\left(25\ \dfrac{\text{м}}{\text{с}} - 10\ \dfrac{\text{м}}{\text{с}}\right)\cdot 10\text{ с}\cdot 20\text{ с}}{10\ \dfrac{\text{м}}{\text{с}}\cdot 10\text{ с} + 25\ \dfrac{\text{м}}{\text{с}}\cdot 20\text{ с}} = 5\text{ с}.\]
зад 3 Мокрые дрова
Сухие дрова плотностью \(\rho_1 = 600\) кг/м\(^3\), привезённые со склада, свалили под открытым небом и ничем не укрыли. Дрова промокли, и их плотность стала равной \(\rho_2 = 700\) кг/м\(^3\). Для того, чтобы в холодную, но не морозную погоду (при температуре \(T = 0\,^\circ\text{C}\)) протопить дом до комнатной температуры, нужно сжечь в печи \(M_1 = 20\) кг сухих дров. Оцените, сколько нужно сжечь мокрых дров, чтобы протопить дом до той же комнатной температуры? Удельная теплота парообразования воды \(L = 2{,}3\cdot 10^6\) Дж/кг, удельная теплоёмкость воды \(C = 4200\) Дж/(кг\(\cdot{}^\circ\text{C}\)), удельная теплота сгорания сухих дров \(q = 10^7\) Дж/кг.
▶ОтветСкрыть
\(M_2 = \dfrac{M_1q\rho_2}{\rho_1q - (\rho_2 - \rho_1)(C\Delta T + L)} \approx 24{,}5\) кг.
▶РешениеСкрыть
Для того, чтобы сообщить определённое количество теплоты дому (печке, трубам и пр.) и одновременно перевести в парообразное состояние некоторое количество воды, которая содержится в мокрых дровах, требуется сжечь мокрых дров больше, чем сухих. Из трубы дым выходит с температурой, несколько превышающей \(100\,^\circ\text{C}\). Для простоты примем температуру на улице равной \(0\,^\circ\text{C}\), а температуру выходящего дыма равной \(100\,^\circ\text{C}\). Тогда при сжигании массы \(m_0 = 1\) кг мокрых дров нагревается на \(\Delta T = 100\,^\circ\text{C}\) и испаряется масса воды \[m = m_0\dfrac{\rho_2 - \rho_1}{\rho_2} = \dfrac{1}{7}\text{ кг}.\] При этом сгорает сухая древесина массой \[M = m_0 - m = m_0\dfrac{\rho_1}{\rho_2} = \dfrac{6}{7}\text{ кг}.\] На нагревание и испарение массы воды \(m\) затрачивается количество теплоты \[Q_1 = m(C\Delta T + L) = m_0\dfrac{\rho_2 - \rho_1}{\rho_2}(C\Delta T + L) \approx 0{,}39\cdot 10^6\text{ Дж}.\] При сгорании массы \(M\) древесины выделяется количество теплоты \[Q_2 = Mq = m_0\dfrac{\rho_1}{\rho_2}q \approx 8{,}57\cdot 10^6\text{ Дж}.\] Следовательно, на отопление дома при сгорании массы \(m_0 = 1\) кг мокрых дров уходит количество теплоты \[Q_3 = Q_2 - Q_1 = m_0\dfrac{\rho_1}{\rho_2}q - m_0\dfrac{\rho_2 - \rho_1}{\rho_2}(C\Delta T + L) =\] \[= \dfrac{m_0}{\rho_2}\left(\rho_1q - (\rho_2 - \rho_1)(C\Delta T + L)\right) \approx 8{,}18\cdot 10^6\text{ Дж},\] то есть удельная теплота сгорания мокрых дров равна \[q_3 = \dfrac{Q_3}{m_0} \approx 8{,}18\cdot 10^6\text{ Дж/кг}.\] Поэтому для того, чтобы протопить дом, потребуется либо масса \(M_1 = 20\) кг сухих дров, либо масса мокрых дров \[M_2 = \dfrac{M_1q}{q_3} = \dfrac{M_1q\rho_2}{\rho_1q - (\rho_2 - \rho_1)(C\Delta T + L)} \approx 24{,}5\text{ кг}.\]