зад 1 Курсограф вездехода
На вездеходе установлен курсограф — самописец, записывающий зависимости от времени текущей скорости (верхний график) и направления движения этого вездехода (нижний график). На рисунке показаны такие записи для некоторого маршрута, пройденного вездеходом. Определите с точностью до километра, где (относительно начала пути) вездеход оказался в конце маршрута.
▶ОтветСкрыть
В исходной точке: вездеход вернулся к началу пути.
▶РешениеСкрыть
Из верхнего графика в условии задачи следует, что скорость вездехода на начальном и конечном участках маршрута равна 36 км/ч, а на среднем участке пути — 51 км/ч, то есть в \(51/36 \approx 1{,}41 \approx \sqrt{2}\) раз больше. Время движения на всех трёх участках одинаково и составляет по 0,5 часа. Поэтому, как следует из нижнего графика в условии задачи, вездеход сначала проехал 18 км на север, затем 25,5 км на юго-восток, и, наконец, ещё 18 км на запад. Таким образом, траектория его движения представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник, и в конце пути вездеход вернулся в исходную точку.
зад 2 Блоки с выигрышем в 7 раз
Известно, что при помощи подвижного блока можно получить выигрыш в силе в 2 раза. Школьник Вася изобрёл такую схему из подвижных и неподвижных блоков, которая даёт выигрыш в силе в 7 раз. Придумайте и нарисуйте возможные варианты этой схемы.
▶ОтветСкрыть
Возможные схемы изображены на рисунках 1.172.1 и 1.172.2 (см. решение).
▶РешениеСкрыть
Одна из возможных схем представлена на рисунке 1.172.1. Действительно, если тянуть за нить с силой \(f\), то на каждый подвижный блок со стороны нити будет действовать сила \(2f\), а на поднимаемое тело будет действовать суммарная сила \(7f\).
Другая возможная схема представлена на рисунке 1.172.2. В этом случае сила натяжения нити равна \(f/2\), на каждый подвижный блок действует сила \(f\), и на поднимаемое тело будет действовать суммарная сила \(7f\).
Заметим, что подобные схемы соединения блоков используются в подъёмных механизмах — полиспастах и башенных кранах.
зад 3 Светофоры на шоссе
На длинном шоссе на расстоянии 1 км друг от друга установлены светофоры. Красный сигнал каждого светофора горит в течение 30 секунд, зелёный — в течение следующих 30 секунд. При этом все автомобили, движущиеся со скоростью 40 км/ч, проехав один из светофоров на зелёный свет, проезжают без остановки, то есть тоже на зелёный свет, и все следующие светофоры. С какими другими скоростями могут двигаться автомобили, чтобы, проехав один светофор на зелёный свет, далее нигде не останавливаться?
▶ОтветСкрыть
\(V_n = \dfrac{120}{2n + 1}\) км/ч, \(n = 0, 1, 2, \ldots\), то есть 120 км/ч, 40 км/ч, 24 км/ч, …
▶РешениеСкрыть
Нарисуем график движения автомобиля (см. рис. 1.8). По горизонтальной оси будем откладывать время \(t\) в секундах, по вертикальной — пройденный путь \(S\) в километрах. Изобразим на этом графике запрещающие сигналы каждого из светофоров — красные — в виде тёмных полосок, а разрешающие — зелёные — в виде светлых промежутков между ними. Тогда график движения любого автомобиля, движущегося без остановок, должен проходить только через светлые промежутки.
Заметим, что расстояние 1 км между соседними светофорами автомобиль, движущийся со скоростью 40 км/ч, проедет за \(1/40\) часа = 90 секунд. Таким образом, он сможет проехать следующий светофор без остановки, только если разрешающие и запрещающие сигналы светофоров будут распределены так, как показано на рисунке. Из графика видно, что автомобиль будет двигаться без остановок на светофорах в том случае, если он будет преодолевать 1 км за 30 с, 90 с, 150 с, …, \((30 + 60n)\) с, …, где \(n = 0, 1, 2, \ldots\) Следовательно, скорость автомобиля, требующаяся для движения по шоссе без остановок на светофорах, может быть равна \[V_n = \dfrac{1\text{ км}}{(30 + 60n)\text{ с}} = \dfrac{1\text{ км}\cdot 3600}{(30 + 60n)\text{ час}} = \dfrac{120}{2n + 1}\text{ км/ч} = 120\text{ км/ч},\ 40\text{ км/ч},\ 24\text{ км/ч},\ \ldots\]
зад 4 U-образная трубка с грузом
U-образная трубка заполнена водой плотностью \(\rho\) (см. рисунок). Узкое колено этой трубки с площадью сечения \(S\) закрыто невесомым поршнем, к которому привязана нить, перекинутая через неподвижный и подвижный блоки. Широкое колено трубки, площадь сечения которого в \(n = 2\) раза больше, чем у узкого, открыто. К оси подвижного блока подвешен груз массой \(M\), и система находится в равновесии. На какое расстояние сдвинется груз, если в открытое колено трубки долить воду массой \(m\), а к грузу массой \(M\) прикрепить дополнительный груз массой \(m\)? Считайте, что поршень всё время касается поверхности воды, трения нет, нить и блоки невесомы.
▶ОтветСкрыть
\(H = \dfrac{m}{3\rho S}\).
▶РешениеСкрыть
Поскольку подвижный блок даёт выигрыш в силе в два раза, то сила натяжения нити вдвое меньше веса груза \(Mg\). В состоянии равновесия разность уровней воды в коленах трубки \(h\) определяется из условия: \(\rho ghS = \dfrac{Mg}{2}\) и равна, таким образом, \(h = \dfrac{M}{2\rho S}\) (см. рис. 1.244).
После увеличения массы груза на \(m\) разность уровней увеличится на \(\Delta h = \dfrac{m}{2\rho S}\). Пусть теперь после увеличения массы груза долили воду массой \(m\) в открытое колено трубки, и полное (по сравнению с начальным) повышение уровня воды в узком колене составило величину \(y\). Тогда, поскольку при навешивании дополнительного груза разность уровней воды в коленах трубки увеличилась на \(\Delta h\), в открытом широком колене уровень воды должен повыситься по сравнению с исходным на \(y - \Delta h\). При этом изменение объёма воды равно \(nS(y - \Delta h) + Sy = m/\rho\). Отсюда \[y = \dfrac{\dfrac{m}{\rho S} + n\Delta h}{n + 1} = \dfrac{\dfrac{m}{\rho S} + n\dfrac{m}{2\rho S}}{n + 1} = \dfrac{m}{\rho S}\cdot\dfrac{n + 2}{2(n + 1)}.\] Груз, очевидно, опустится вниз на расстояние \[H = \dfrac{y}{2} = \dfrac{m}{\rho S}\cdot\dfrac{n + 2}{4(n + 1)} = \dfrac{m}{3\rho S}.\]