МОШ, 2003/04, заключительный этап, 9 класс

Ответ

Расстояние от линии движения \(a = l_2\), высота \(h = \sqrt{l_0^2 - l_2^2}\), начальная скорость \(V_0 = \sqrt{2g\left(\sqrt{l_0^2 - l_2^2} + \sqrt{l_1^2 - l_2^2}\right)}\).

Решение

Пусть наблюдатель находится на высоте \(h\) и на расстоянии \(a\) от линии, по которой движется тело. При бросании тела возможны два случая:

1) тело не долетает до высоты, на которой находится наблюдатель — в этом случае расстояние \(l\) от тела до наблюдателя сначала уменьшается, а затем увеличивается;

2) тело поднимается выше наблюдателя — в этом случае расстояние \(l\) сначала уменьшается от \(\sqrt{a^2 + h^2}\) до \(a\), затем увеличивается до \(\sqrt{a^2 + (H - h)^2}\), где \(H\) — высота подъёма тела, а потом опять уменьшается до \(a\) и увеличивается до \(\sqrt{a^2 + h^2}\).

Как видно из приведённого в условии рисунка, реализуется именно второй случай. При этом \[l_0 = \sqrt{a^2 + h^2},\quad l_1 = \sqrt{a^2 + (H - h)^2}.\] Отсюда находим: \[a = l_2,\quad h = \sqrt{l_0^2 - a^2} = \sqrt{l_0^2 - l_2^2}\] и \[H = h + \sqrt{l_1^2 - a^2} = \sqrt{l_0^2 - l_2^2} + \sqrt{l_1^2 - l_2^2}.\] Начальную скорость тела можно определить из соотношения \(V_0^2 = 2gH\), откуда \[V_0 = \sqrt{2g\left(\sqrt{l_0^2 - l_2^2} + \sqrt{l_1^2 - l_2^2}\right)}.\]

Ответ

\(\mu_{\min} = \operatorname{tg}\dfrac{\alpha}{2}\).

Решение

На цилиндр со стороны рычагов действуют одинаковые силы \(F\). Для того, чтобы цилиндр находился в равновесии, сумма этих сил и сумма их моментов должны равняться нулю. Это возможно только в том случае, когда эти силы направлены вдоль прямой, соединяющей точки их приложения, то есть точки касания цилиндра с рычагами (см. рис. 1.188). Из рисунка видно, что угол между направлением каждой из этих сил и нормалью к соответствующему рычагу равен \(\alpha/2\). Силу \(\vec F\) можно представить как векторную сумму силы реакции рычага, равной по величине \(N = F\cos(\alpha/2)\) и направленной перпендикулярно рычагу, и силы трения, равной по величине \(F_{\text{тр}} = F\sin(\alpha/2)\) и направленной вдоль рычага. Поскольку \(F_{\text{тр}} = F\sin(\alpha/2) \leqslant \mu N = \mu F\cos(\alpha/2)\), то \(\mu \geqslant \operatorname{tg}(\alpha/2)\).

Ответ

(а) \(F \geqslant Mg\), вправо; (б) \(F = (m + M)g\), влево; (в) \(F = mg/2\), влево.

Решение

На тело массой \(m\) действуют сила тяжести \(m\vec g\) и сила реакции опоры \(\vec N\) со стороны клина.

(а) Ускорение тела может быть направлено вертикально, только если сила реакции опоры равна нулю (см. рис. 1.51.1). При этом величина ускорения тела будет равна \(g\), то есть оно будет свободно падать. Для того, чтобы при падении тела оно не касалось клина с углом при основании \(45^\circ\), клин должен двигаться вправо с ускорением \(A \geqslant g\). Следовательно, к клину нужно приложить направленную вправо силу \(F = MA \geqslant Mg\).

(б) Как видно из рисунка 1.51.2, ускорение тела будет горизонтально, если \(N = mg\sqrt{2}\). При этом равнодействующая сил, приложенных к телу, равна \(mg\) и направлена влево. Поэтому ускорение тела направлено влево и равно по величине \(g\). Для того, чтобы в процессе движения клин давил на тело с необходимой силой \(\vec N\), он также должен двигаться влево с таким же по величине ускорением \(g\). Чтобы сообщить и клину, и телу такое ускорение, к клину необходимо приложить направленную влево силу \(F = (m + M)g\).

(в) Для того, чтобы ускорение тела составляло угол \(45^\circ\) с вертикалью, сила реакции опоры, как видно из рисунка 1.51.3, должна быть по величине равна \(N = mg/\sqrt{2}\). При этом, очевидно, клин должен покоиться — в противном случае он выскользнет из-под тела. На клин со стороны тела действует сила \(-\vec N\) с направленной вправо горизонтальной составляющей, равной по величине \(mg/2\). Чтобы её компенсировать, к клину необходимо приложить такую же по величине силу, направленную влево: \(F = mg/2\).