зад 1 Остывание горячего чая
Любители чая считают, что кипяток, налитый в чашку, может заметно остыть даже за несколько секунд, что испортит качество получившегося чая. Проверим, правы ли они. Над чашкой очень горячей воды поднимается пар. Скорость подъёма пара, оцениваемая на глаз, равна \(V = 0{,}1\) м/с. Считая, что весь поднимающийся над чашкой пар имеет температуру \(100\ {}^\circ\)C, оцените скорость остывания чашки с очень горячей водой за счёт испарения воды (эта скорость измеряется в градусах за секунду). Масса воды в чашке \(m = 200\) г, площадь поверхности воды \(S = 30\) см\(^2\), удельная теплота парообразования воды \(L = 2{,}3\cdot 10^6\) Дж/кг, удельная теплоёмкость воды \(C = 4{,}2\cdot 10^3\) Дж/(кг\(\cdot{}^\circ\)C), плотность водяного пара при \(100\ {}^\circ\)C равна \(\rho = 0{,}58\) кг/м\(^3\).
▶ОтветСкрыть
\(\dfrac{\Delta T}{\Delta t} \approx 0{,}5\ {}^\circ\)C/с (чай остывает примерно на градус за две секунды).
▶РешениеСкрыть
За промежуток времени \(\Delta t\) за счёт испарения с поверхности чая образуется объём пара \(SV\Delta t\) массой \(\Delta m = \rho SV\Delta t\). На его образование будет затрачено количество тепла \(\Delta Q = L\Delta m = L\rho SV\Delta t\), которое отнимается от чая, вызывая его охлаждение на \(\Delta T = \Delta Q/(mC) = L\rho SV\Delta t/(mC)\). Отсюда скорость охлаждения чая составит \[\dfrac{\Delta T}{\Delta t} = \dfrac{L\rho SV}{mC} = \dfrac{2{,}3\cdot 10^6\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}}\cdot 0{,}58\ \dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}\cdot 3\cdot 10^{-3}\text{ м}^2\cdot 0{,}1\ \dfrac{\text{м}}{\text{с}}}{0{,}2\text{ кг}\cdot 4{,}2\cdot 10^3\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot{}^\circ\text{C}}} \approx 0{,}5\ \dfrac{{}^\circ\text{C}}{\text{с}}.\] Таким образом, чай будет остывать приблизительно на один градус за две секунды, то есть довольно быстро: через десять секунд его температура станет равной лишь \(95\ {}^\circ\)C, а это уже совсем не кипяток. Значит, любители горячего чая правы!
Примечание: это, конечно, «оценка сверху»; реальная скорость остывания будет ниже.
зад 2 Автомобили и мост
На длинном прямом шоссе автомобили движутся с постоянной скоростью \(V_1\) всюду, за исключением моста, на котором автомобили движутся с другой постоянной скоростью \(V_2\). На рисунке изображён график зависимости расстояния \(l\) между двумя едущими друг за другом автомобилями от времени \(t\). Найдите скорости \(V_1\) и \(V_2\), а также длину моста.
▶ОтветСкрыть
\(V_1 = 20\) м/с, \(V_2 = 10\) м/с, длина моста \(500\) м.
▶РешениеСкрыть
Пока оба автомобиля движутся по шоссе или по мосту, расстояние между ними остаётся постоянным: \(l_1 = 400\) м или \(l_2 = 200\) м. Расстояние \(l\) начинает уменьшаться, когда первый автомобиль въезжает на мост. Поэтому ясно, что второй автомобиль в этот момент (\(t_1 = 10\) с на графике) находится на расстоянии \(l_1 = 400\) м от въезда на мост. При движении первого автомобиля по мосту расстояние между ним и вторым автомобилем, движущимся по шоссе, как видно из графика, сокращается до момента времени \(t_2 = 30\) с на \(l_1 - l_2 = 200\) м за время \(t_2 - t_1 = 20\) с, то есть они сближаются со скоростью \(V_1 - V_2 = \dfrac{l_1 - l_2}{t_2 - t_1} = 10\ \dfrac{\text{м}}{\text{с}}\). Таким образом, скорость \(V_1 > 10\) м/с, и время, за которое второй автомобиль доедет до моста, не может быть больше \(\dfrac{400\text{ м}}{10\text{ м/с}} = 40\) секунд.
В момент \(t_2 = 30\) с расстояние между автомобилями перестаёт меняться. Это означает, что они снова движутся с одинаковыми скоростями — либо первый автомобиль съехал с моста, либо второй въехал на мост. В первом случае въезд второго автомобиля на мост будет соответствовать моменту времени \(t_3 = 60\) с, когда расстояние между автомобилями начинает вновь расти (см. график). Поскольку это произошло только через \(t_3 - t_1 = 50\) с после въезда первого автомобиля на мост, первый случай невозможен, и в данных условиях реализуется вторая возможность, когда в момент \(t_3 = 60\) с первый автомобиль съезжает с моста.
Значит, второй автомобиль проехал по шоссе \(l_1 = 400\) м за время \(t_2 - t_1 = 20\) с, и его скорость была равна \(V_1 = \dfrac{l_1}{t_2 - t_1} = \dfrac{400\text{ м}}{20\text{ с}} = 20\ \dfrac{\text{м}}{\text{с}}\). Скорость автомобилей на мосту, очевидно, равна \(V_2 = V_1 - \dfrac{l_1 - l_2}{t_2 - t_1} = 20\ \dfrac{\text{м}}{\text{с}} - 10\ \dfrac{\text{м}}{\text{с}} = 10\ \dfrac{\text{м}}{\text{с}}\). Первый автомобиль преодолел мост с этой скоростью \(V_2 = 10\) м/с за время \(t_3 - t_1 = 50\) с, так что длина моста равна \(L = V_2\cdot(t_3 - t_1) = 10\ \dfrac{\text{м}}{\text{с}}\cdot 50\text{ с} = 500\) м.