зад 1 Две фазы железа
При достижении температуры \(+910\ {}^\circ\)C в железе происходит полиморфное превращение: элементарная ячейка его кристаллической решётки из кубической объёмноцентрированной превращается в кубическую гранецентрированную — железо из \(\alpha\)-фазы переходит в \(\gamma\)-фазу. При этом плотность железа уменьшается на \(\varepsilon \approx 2\%\). Найдите отношение постоянных решёток железа в \(\alpha\)- и \(\gamma\)-фазах.
Примечание. Постоянной \(a\) кубических решёток называют длину ребра куба элементарной ячейки. В объёмноцентрированной решётке ионы железа находятся в вершинах и в центре куба, а в гранецентрированной — в вершинах куба и в центрах каждой из его граней.
▶ОтветСкрыть
\(\dfrac{a_\alpha}{a_\gamma} \approx \sqrt[3]{\dfrac{1 - \varepsilon}{2}} \approx 0{,}788\).
▶РешениеСкрыть
Каждый атом железа, находящийся в одной из вершин куба, одновременно принадлежит восьми элементарным ячейкам, а в центре грани куба — двум ячейкам. Атом же, находящийся в центре куба, принадлежит только одной ячейке. Следовательно, на одну элементарную ячейку кубической объёмноцентрированной решётки приходится \(i_\alpha = 8:8 + 1 = 2\) атома, а на одну элементарную ячейку кубической гранецентрированной решётки \(i_\gamma = 8:8 + 6:2 = 4\) атома. Если плотность железа в \(k\)-й фазе обозначить через \(\rho_k\), то концентрация атомов в этой фазе будет равна \(n_k = N_k/V = \rho_kN_A/A\), где \(N_k\) — число атомов решётки в \(k\)-м состоянии, \(V\) — объём образца железа в данном состоянии, \(N_A\) — число Авогадро, \(A\) — атомная масса железа. Объём \(V_k\) кубической элементарной ячейки железа в \(k\)-м состоянии равен отношению \(V\) к числу \(N\) элементарных ячеек решётки в данном состоянии: \(V_k = a_k^3 = \dfrac{V}{N} = \dfrac{N_k}{n_kN} = \dfrac{i_k}{n_k}\), так как \(N_k/N\) — это как раз число атомов, приходящееся на одну ячейку решётки в \(k\)-м состоянии. По условию задачи, \(\varepsilon \approx \dfrac{\rho_\alpha - \rho_\gamma}{\rho_\alpha} = 1 - \dfrac{\rho_\gamma}{\rho_\alpha}\). Поэтому отношение постоянных решёток железа в \(\alpha\)- и \(\gamma\)-фазах равно \[\dfrac{a_\alpha}{a_\gamma} = \sqrt[3]{\dfrac{V_\alpha}{V_\gamma}} = \sqrt[3]{\dfrac{i_\alpha\cdot n_\gamma}{i_\gamma\cdot n_\alpha}} = \sqrt[3]{\dfrac{\rho_\gamma}{2\rho_\alpha}} \approx \sqrt[3]{\dfrac{1 - \varepsilon}{2}} \approx 0{,}788.\]
зад 2 Струя воды и вёдра
Из неиссякаемого источника через круглую трубу с внутренним диаметром \(D = 5\) см вертикально вниз вытекает струя воды. Вёдра ёмкостью \(V = 10\) л подставляют под струю так, что верх ведра находится на \(H = 1{,}5\) м ниже конца трубы. На уровне верха ведра диаметр струи равен \(d = 4\) см. Каков расход воды у источника? Ответ выразите в «вёдрах в час».
▶ОтветСкрыть
\(q \approx 3200\) вёдер в час.
▶РешениеСкрыть
Из условия неразрывности струи и несжимаемости жидкости следует, что \(v_1D^2 = v_2d^2\), где \(v_1\) и \(v_2\) — скорости струи воды при выходе из трубы и на уровне верха ведра соответственно. Из закона сохранения энергии для некоторой массы воды \(m\) при её падении от трубы до ведра следует, что \(\dfrac{mv_1^2}{2} + mgH = \dfrac{mv_2^2}{2}\). Из написанных уравнений получаем: \(v_1 = d^2\sqrt{\dfrac{2gH}{D^4 - d^4}}\).
Расход воды \(q\) у источника, выраженный в вёдрах (объёма \(V\)) в час (\(T\)), равен: \[q = \dfrac{\pi D^2v_1T}{4V} = \dfrac{\pi D^2d^2T}{4V}\sqrt{\dfrac{2gH}{D^4 - d^4}} \approx 3200\text{ вёдер в час}.\]