МОШ, 2005/06, заключительный этап, 8 класс

Подсказка

Сравните путь, который автобус проехал бы за время дождя с прежней скоростью, и путь, который он проехал под дождём. Эта разность и есть то, что «потеряно» из-за дождя.

Ответ

\(t = \dfrac{v_1\Delta t}{v_1 - v_2} = 35\) мин.

Решение

Сделаем рисунок и введём на нём следующие обозначения: \(K\) — Константиново; \(R\) — Рязань; \(AB\) — участок, который автобус проехал под дождём за искомое время \(t\); \(AC\) — участок, который проехал бы автобус за то же время \(t\), если бы не было дождя.

Ясно, что \(BC = AC - AB = (v_1 - v_2)t\). С другой стороны, автобус прошёл путь \(KA + AB + CR\) за то же время, за какое было запланировано пройти весь путь \(KR\). Значит, \(BC = v_1\Delta t\), где \(\Delta t = 10\) минут — время, на которое опоздали автобусы. Приравнивая полученные выражения, имеем: \((v_1 - v_2)t = v_1\Delta t\), откуда \(t = v_1\Delta t/(v_1 - v_2) = 35\) мин.

Подсказка

Масса воздуха не изменилась, а вот объём, который занимают бутыль и пакет вместе, изменился. Какая сила на это реагирует?

Ответ

Нужно добавить гирьки суммарной массой \(M = \Delta F_{\text{А}}/g = 2{,}6\) г на ту же чашку, где находятся бутыль и пакет.

Решение

Суммарная масса воздуха внутри бутыли и пакета после перетекания воздуха из бутыли в пакет не изменилась. Следовательно, суммарная сила тяжести, действующая на обе оболочки и воздух внутри них, осталась прежней. Однако изменился суммарный объём, который занимают вместе бутыль и пакет, так как после ослабления зажима часть воздуха из бутыли перешла в пакет. Давление в пакете стало равным 1 атм, значит, такое же давление установилось и в бутыли. Воздух, который в бутыли занимал объём 2 л при давлении 2 атм, теперь при давлении 1 атм занимает объём 4 л. Таким образом, в пакете оказалось 2 литра воздуха, и суммарный объём увеличился на 2 литра. На бутыль и пакет со стороны воздуха действует выталкивающая (Архимедова) сила. Приращение этой силы равно: \[\Delta F_{\text{А}} = 0{,}002\text{ м}^3 \cdot (1{,}3\text{ кг/м}^3) \cdot (10\text{ м/с}^2) = 0{,}026\text{ Н}.\]

Таким образом, для того, чтобы равновесие весов восстановилось, нужно на ту же чашку, где находятся бутыль и пакет, добавить гирьки суммарной массой \(M = \Delta F_{\text{А}}/g = 2{,}6\) г.

Подсказка

Твёрдая и жидкая фазы могут быть в равновесии только при одной температуре. Тепло кристаллизации идёт на нагревание всего галлия.

Ответ

\(m_1 = cm(t_{\text{пл}} - t)/\lambda \approx 5{,}1\) г; установившаяся температура равна температуре плавления \(t_{\text{пл}} = 29{,}8\ {}^\circ\)C.

Решение

При отвердевании галлия выделяется теплота кристаллизации, что приводит к нагреванию системы до температуры плавления галлия \(t_{\text{пл}} = 29{,}8\ {}^\circ\)C, поскольку только при этой температуре жидкий и твёрдый галлий будут находиться в равновесии.

Количество теплоты, выделяющееся при отвердевании массы \(m_1\) галлия, равно \(\lambda m_1\). Оно идёт на нагревание всего галлия до температуры плавления; для этого требуется количество теплоты \(cm(t_{\text{пл}} - t)\). Следовательно, \(m_1 = cm(t_{\text{пл}} - t)/\lambda \approx 5{,}1\) г.

Заметим, что если бы переохлаждение было очень сильным, то теплоты кристаллизации могло бы не хватить для нагревания всей массы галлия до температуры плавления. Однако, поскольку \(m_1 < m\), то в нашем случае галлий действительно нагреется до этой температуры.

Подсказка

Пока палочка наклонена, под водой остаётся постоянная доля её длины \(\lambda\) (она видна на графике). Запишите равенство моментов силы тяжести и силы Архимеда относительно шарнира.

Ответ

\(\rho_{\text{п}} = \rho_{\text{в}}\lambda^2\).

Решение

Из графика понятно, что \(L_{\text{п}} = h\) при \(\lambda \leqslant L_{\text{п}}/L < 1\), и \(L_{\text{п}} = L\) при \(h \geqslant L\), то есть, начиная с \(L_{\text{п}}/L = \lambda\), палочка стоит в воде вертикально — сначала частично, а затем полностью погружённой в воду. Это может иметь место, только если плотность материала палочки \(\rho_{\text{п}}\) меньше, чем плотность воды \(\rho_{\text{в}}\). В то же время \(L_{\text{п}}/L = \lambda = \text{const}\) при \(0 < h \leqslant \lambda L\), то есть в воду при этом погружена постоянная часть длины палочки, а угол \(\alpha\) её наклона к горизонту по мере роста уровня воды в сосуде от \(0\) до \(\lambda L\) растёт от \(0\) до \(90^\circ\).

Рассмотрим условия равновесия палочки при неполном её погружении в воду в наклонном положении (см. рисунок). На палочку действуют: сила тяжести \(mg = \rho_{\text{п}} gSL\) (здесь \(S\) — площадь сечения палочки), направленная вниз и приложенная к её середине, выталкивающая сила Архимеда \(F_{\text{Арх}} = \rho_{\text{в}} gS\cdot\lambda L\), направленная вверх и приложенная к середине погружённой в воду части палочки, и сила реакции шарнира, приложенная в точке прикрепления палочки к дну сосуда (на рисунке не показана). В состоянии равновесия сумма моментов этих сил относительно точки крепления палочки в шарнире должна быть равна нулю. Поскольку момент силы реакции шарнира равен нулю, то должно выполняться равенство: \(\rho_{\text{п}} gSL\cdot(L/2)\cos\alpha = \rho_{\text{в}} gS\cdot\lambda L\cdot(\lambda L/2)\cos\alpha\), откуда получаем, что \(\rho_{\text{п}} = \rho_{\text{в}}\lambda^2\).

Подсказка

Сначала сравните, хватит ли тепла от конденсации пара и остывания воды до \(0\ {}^\circ\)C, чтобы нагреть лёд до \(0\ {}^\circ\)C и расплавить его целиком.

Ответ

При \(m_{\text{л}} = 0{,}5\) кг установится \(0\ {}^\circ\)C (растает только часть льда); при \(m_{\text{л1}} = 0{,}3\) кг: \(t = \dfrac{rm_{\text{п}} - \lambda m_{\text{л1}} + c_{\text{л}}m_{\text{л1}}t_{\text{л}} + c_{\text{в}}m_{\text{п}}t_{\text{п}}}{c_{\text{в}}(m_{\text{л1}} + m_{\text{п}})} \approx 28\ {}^\circ\)C.

Решение

Сначала нужно выяснить, что будет находиться в калориметре в конечном состоянии — только лёд, смесь льда и воды или только вода.

Сравним количества теплоты, которые входят в уравнение теплового баланса, в первом случае. Теплота, выделяющаяся при конденсации всего пара, равна \[Q_1 = r\cdot m_{\text{п}} = 2{,}2\cdot 10^6\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}}\cdot 60\cdot 10^{-3}\text{ кг} = 132\text{ кДж}.\] Теплота, необходимая для нагревания всего льда до температуры плавления, то есть до \(0\ {}^\circ\)C, равна \[Q_2 = c_{\text{л}}m_{\text{л}}(0\ {}^\circ\text{C} - t_{\text{л}}) = 2100\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot{}^\circ\text{C}}\cdot 0{,}5\text{ кг}\cdot 20\ {}^\circ\text{C} = 21\text{ кДж}.\] Теплота от конденсации всего пара больше, значит, лёд будет плавиться.

Общее количество теплоты, выделяющееся при конденсации пара и охлаждении образовавшейся из него воды до \(0\ {}^\circ\)C, составляет \[Q_3 = Q_1 + c_{\text{в}}m_{\text{п}}(t_{\text{п}} - 0\ {}^\circ\text{C}) = 1{,}32\cdot 10^5\text{ Дж} + 4100\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot{}^\circ\text{C}}\cdot 60\cdot 10^{-3}\text{ кг}\cdot 100\ {}^\circ\text{C} = 156{,}6\text{ кДж},\] что меньше теплоты \(Q_4\), нужной для того, чтобы весь лёд, взятый при начальной температуре, расплавился: \[Q_4 = Q_2 + \lambda m_{\text{л}} = 21\cdot 10^3\text{ Дж} + 340\cdot 10^3\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}}\cdot 0{,}5\text{ кг} = 191\text{ кДж}.\] Значит, растает только часть льда, и конечная температура смеси будет \(0\ {}^\circ\)C.

Во втором случае в конечном состоянии в калориметре, очевидно, будет только вода. Рассчитаем \(Q_4'\) для этого случая: \[Q_4' = Q_2' + \lambda m_{\text{л1}} = 2100\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot{}^\circ\text{C}}\cdot 0{,}3\text{ кг}\cdot 20\ {}^\circ\text{C} + 340\cdot 10^3\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}}\cdot 0{,}3\text{ кг} = 114{,}6\text{ кДж}.\] Эта величина меньше общего количества теплоты \(Q_3\), выделяющегося при конденсации пара и охлаждении образовавшейся из него воды до \(0\ {}^\circ\)C. Поэтому для расчёта температуры, которая установится в калориметре в этом случае, надо записать уравнение теплового баланса: \[Q_4' + c_{\text{в}}m_{\text{л1}}(t - 0\ {}^\circ\text{C}) = Q_1 + c_{\text{в}}m_{\text{п}}(t_{\text{п}} - t),\] или \[c_{\text{в}}(m_{\text{л1}} + m_{\text{п}})t = Q_1 - Q_4' + c_{\text{в}}m_{\text{п}}t_{\text{п}}.\] Выражая отсюда температуру \(t\), окончательно получаем: \[t = \dfrac{rm_{\text{п}} - \lambda m_{\text{л1}} + c_{\text{л}}m_{\text{л1}}t_{\text{л}} + c_{\text{в}}m_{\text{п}}t_{\text{п}}}{c_{\text{в}}(m_{\text{л1}} + m_{\text{п}})} \approx 28\ {}^\circ\text{C}.\]

Подсказка

Мощность равна силе, умноженной на скорость поднятия груза. Скорость груза найдите из условия нерастяжимости нити: сколько нити наматывается на вал и сколько сматывается с малого шкива.

Ответ

\(N = \dfrac{1}{2}MgV\left(1 - \dfrac{r}{R}\right)\).

Решение

При движении с постоянной скоростью мощность силы можно рассчитать по формуле \(N = F\cdot v\), где \(F\) — сила, с которой тянут груз, а \(v\) — скорость поднятия груза. Скорость \(v\) найдём из уравнения кинематической связи. Направим ось \(OX\) вверх, начало отсчёта выберем на уровне начального положения груза. Обозначим скорость вращения крайних точек малого шкива через \(V'\). Поскольку скорость вращения крайних точек большого шкива равна скорости горизонтального участка нити \(V\), то изменение координаты груза \(\Delta x\) за время \(\Delta t\) можно выразить из уравнения \[2\Delta x = V\Delta t - V'\Delta t,\] где первое слагаемое в правой части уравнения равно длине нити, наматывающейся через большой шкив на вал двигателя за время \(\Delta t\), а второе слагаемое — длине нити, разматывающейся с малого шкива за то же время \(\Delta t\). Учитывая, что шкивы скреплены, можно записать: \(V'/r = V/R\). Выразим отсюда \(V'\), подставим это выражение в предыдущее уравнение и разделим его на \(\Delta t\). В результате получаем: \[\dfrac{2\Delta x}{\Delta t} = V - \dfrac{V}{R}r = V\left(1 - \dfrac{r}{R}\right).\] Отсюда находим скорость \(v\) поднятия груза: \(v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t} = \dfrac{1}{2}V\left(1 - \dfrac{r}{R}\right)\).

Поскольку груз поднимается равномерно, то сумма действующих на него сил равна нулю: \(F = Mg\). Таким образом, получаем окончательное выражение для мощности, развиваемой двигателем при поднятии груза: \(N = \dfrac{1}{2}MgV\left(1 - \dfrac{r}{R}\right)\).