МОШ, 2005/06, заключительный этап, 9 класс

Подсказка

При качении без проскальзывания цилиндр в каждый момент поворачивается вокруг точки касания с рельсами. Сравните моменты силы тяжести и силы натяжения нити относительно этой точки.

Ответ

\(m > \dfrac{M\sin\alpha}{1 - \sin\alpha}\).

Решение

На цилиндр действуют приложенная к его центру сила тяжести \(Mg\) и приложенная к его краю сила натяжения нити, равная \(mg\).

Цилиндр покатится вверх, если момент силы тяжести относительно оси, проходящей через точку \(A\) перпендикулярно плоскости рисунка, будет меньше момента силы натяжения нити. Поскольку плечи сил тяжести и натяжения нити равны \(R\sin\alpha\) и \(R(1 - \sin\alpha)\), то искомое условие имеет вид: \(MgR\sin\alpha < mgR(1 - \sin\alpha)\), или \(m > (M\sin\alpha)/(1 - \sin\alpha)\).

Подсказка

Всё тепло Джоуля–Ленца идёт на плавление льда. И сопротивление проволоки, и масса льда пропорциональны её длине, поэтому длина сократится.

Ответ

\(\tau = \dfrac{\lambda\rho_{\text{л}}\pi^2 d^2(D^2 - d^2)}{16 I^2\rho} \approx 19\) мин.

Решение

При прохождении тока через проволоку в ней выделяется теплота, равная, в соответствии с законом Джоуля–Ленца, \(Q = I^2R\tau\), где \(\tau\) — искомое время таяния льда, а \(R\) — сопротивление проволоки. Это сопротивление равно \(R = \rho l/S = 4\rho l/\pi d^2\) (здесь \(l\) — длина проволоки, \(S\) — площадь её поперечного сечения). Указанное количество теплоты расходуется на плавление льда: \(Q = \lambda m\). Масса льда \(m\) равна произведению его плотности на объём: \(m = \rho_{\text{л}}V = \rho_{\text{л}}\pi(D^2 - d^2)l/4\).

Приравнивая полученные выражения для количеств теплоты, окончательно получаем: \(\tau = \lambda\rho_{\text{л}}\pi^2 d^2(D^2 - d^2)/(16I^2\rho) \approx 19\) мин.

Подсказка

Если сопротивление цепи не зависит от переменного резистора, то по нему не идёт ток. Что это говорит о напряжениях на \(R_1\) и \(R_3\)?

Ответ

\(R_3 = R_1R_4/R_2 = 40\) Ом; \(R_{AB} = \dfrac{(R_1 + R_2)R_4}{R_2 + R_4} \approx 33\) Ом.

Решение

Идея решения заключается в том, что при условиях задачи ток через переменный резистор не идёт, и напряжение на нём равно нулю (в противном случае изменение сопротивления этого резистора неизбежно приводило бы к изменению величины \(R_{AB}\)). Отсюда вытекает, что напряжения \(U_1\) и \(U_3\) на резисторах \(R_1\) и \(R_3\) совпадают. Так как \[U_1 = U_{AB}\cdot\dfrac{R_1}{R_1 + R_2},\quad U_3 = U_{AB}\cdot\dfrac{R_3}{R_3 + R_4},\] то отсюда \(R_1R_4 = R_2R_3\), и сопротивление неизвестного резистора \(R_3 = R_1R_4/R_2 = 40\) Ом. Сопротивление всей цепи можно найти, пользуясь формулой для параллельного соединения резисторов: \[\dfrac{1}{R_{AB}} = \dfrac{1}{R_1 + R_2} + \dfrac{1}{R_3 + R_4},\quad\text{откуда}\quad R_{AB} = \dfrac{(R_1 + R_2)R_4}{R_2 + R_4} \approx 33\text{ Ом}.\]

Подсказка

Выразите угол между входящим и выходящим лучами через углы падения на два зеркала. Зависит ли он от самих углов падения, а не только от их суммы?

Ответ

\(\alpha = (\pi - \varphi)/2\); эта связь не зависит от угла падения света на зеркала, поэтому выходящий луч сохраняет направление даже при качке.

Решение

Построим ход луча света от Солнца в секстанте при двух отражениях света от плоских зеркал, угол между которыми равен \(\alpha\) (см. рис.). Обозначим вершину угла \(\alpha\) точкой \(O\), точки падения луча на первое и второе зеркала — \(A\) и \(B\), точку пересечения перпендикуляров, восставленных к зеркалам в точках \(A\) и \(B\) — через \(C\), точку пересечения входящего в прибор и выходящего из него лучей — через \(D\). В момент снятия показаний при правильном положении зеркал прямая \(BD\) горизонтальна, а углы падения света на зеркала равны, соответственно, \(i_1\) и \(i_2\).

В четырёхугольнике \(AOBC\) два угла — \(OBC\) и \(OAC\) — прямые, поэтому угол \(BCA\) равен \((\pi - \alpha)\), а смежный с ним равняется \(\alpha\). Но этот же угол является внешним углом треугольника \(ABC\), поэтому \(\alpha = i_1 + i_2\). В свою очередь, угол \(\varphi\) возвышения Солнца над горизонтом равен углу \(BDA\) в треугольнике \(ABD\), остальные углы которого равны, соответственно, \(2i_1\) и \(2i_2\). Поэтому \(\varphi = \pi - 2(i_1 + i_2) = \pi - 2\alpha\).

Таким образом, \(\alpha = (\pi - \varphi)/2\) и не зависит от угла падения света на зеркала. Поэтому даже при качке корабля и изменении угла \(i_1\) луч света от Солнца, выходящий из секстанта, сохраняет своё направление (горизонтальное при правильном подборе угла \(\alpha\)). При этом совместить изображение Солнца с горизонтом гораздо проще, чем визировать на угломерном инструменте сразу два направления — на Солнце и на горизонт, да ещё если всё качается!

Подсказка

Выберите оси вдоль горки и перпендикулярно ей: тогда и снежок, и санки движутся с постоянными ускорениями. Приравняйте обе координаты снежка и санок в момент встречи.

Ответ

\(\mu = -\operatorname{ctg}(\alpha + \beta) \approx 0{,}17\).

Решение

Введём систему координат следующим образом: направим ось \(OX\) вниз вдоль горки, ось \(OY\) — перпендикулярно горке вверх. При данном выборе координатных осей проекции на них ускорения свободного падения равны \[g_x = g\sin\alpha,\quad g_y = -g\cos\alpha.\] Санки движутся с ускорением \(a\), определяемым из второго закона Ньютона: \[ma = mg\sin\alpha - \mu mg\cos\alpha,\] где \(\mu < \operatorname{tg}\alpha\) — коэффициент трения.

Обозначим через \(v_{0x} = v_0\cos(\alpha + \beta)\) и \(v_{0y} = v_0\sin(\alpha + \beta)\) проекции начальной скорости снежка на координатные оси. Законы движения снежка (1) и санок (2) имеют вид \[x_1 = v_{0x}t + \dfrac{g\sin\alpha\cdot t^2}{2},\quad y_1 = v_{0y}t - \dfrac{g\cos\alpha\cdot t^2}{2},\qquad (1)\] \[x_2 = \dfrac{g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)t^2}{2},\quad y_2 = 0.\qquad (2)\] Снежок попадёт в мальчика, если в некоторый момент времени \(x_1 = x_2\) и \(y_1 = y_2\). Отсюда получаем соотношения: \[0 = v_{0x}t + \dfrac{\mu g\cos\alpha\cdot t^2}{2}\quad\text{и}\quad 0 = v_{0y}t - \dfrac{g\cos\alpha\cdot t^2}{2}.\] Следовательно, \(v_{0x}/v_{0y} = -\mu\), и \(\mu = -\operatorname{ctg}(\alpha + \beta) \approx 0{,}17\).

Для приведённых в условии числовых данных соотношение \(\mu < \operatorname{tg}\alpha \approx 0{,}58\) действительно выполнено.

Подсказка

Доска может приподняться за правый край: сила натяжения нити тянет его вверх. Запишите условие, при котором момент силы тяжести доски относительно левого края не меньше момента силы натяжения.

Ответ

\(m_3 \geqslant \dfrac{4m_1m_2}{m_1 + m_2}\).

Решение

Обозначим длину доски через \(l\), а силу натяжения, одинаковую вдоль всей нити, через \(T\) (см. рисунок). Ясно, что доска может подняться под действием силы \(T\), приложенной к её правому концу, в то время как левый её конец — точка \(O\) — прижимается к столу такой же по величине силой \(T\), а со стороны стола в этой точке на доску действует сила реакции опоры \(N\). Таким образом, доска останется в горизонтальном положении, если момент силы тяжести относительно точки \(O\) будет больше, чем момент силы \(T\), то есть \(m_3g(l/2) \geqslant Tl\), или \(T \leqslant m_3g/2\).

При этом сумма сил, действующих на доску по горизонтали, равна нулю, так что при движении грузов она останется неподвижной.

Уравнения движения грузов в проекции на вертикальную ось \(X\) имеют вид: \[m_1a_1 = m_1g - T,\quad m_2a_2 = m_2g - T.\] Из условия нерастяжимости нити получаем: \(a_1 = -a_2\). Отсюда \[a_1 = g - \dfrac{T}{m_1},\quad a_2 = g - \dfrac{T}{m_2},\quad T\left(\dfrac{1}{m_1} + \dfrac{1}{m_2}\right) = 2g.\] Таким образом, \(T = \dfrac{2m_1m_2}{m_1 + m_2}g\), и искомое условие горизонтальности доски имеет вид: \[\dfrac{2m_1m_2}{m_1 + m_2}g \leqslant \dfrac{m_3}{2}g,\quad\text{или}\quad m_3 \geqslant \dfrac{4m_1m_2}{m_1 + m_2}.\]

Подсказка

Объём воды сохраняется: сколько прибыло в одном цилиндре, столько убыло в другом. Доливание воды можно заменить сдвигом точки подвеса пружины с последующим возвратом.

Ответ

\(S_2 = \dfrac{S_1\alpha_1}{\alpha_2}\);  \(b_2 = \dfrac{V(1 - \alpha_2)}{S_1 + S_2} = \dfrac{V}{S_1}\cdot\dfrac{\alpha_2(1 - \alpha_2)}{\alpha_1 + \alpha_2}\);  \(k = \rho g S_2\dfrac{\alpha_1 + \alpha_2}{1 - \alpha_2} = \rho g S_1\cdot\dfrac{\alpha_1}{\alpha_2}\cdot\dfrac{\alpha_1 + \alpha_2}{1 - \alpha_2}\).

Решение

Из условия задачи вытекает, что объём воды в левом цилиндре увеличился на \(S_1\alpha_1 a\), на такую же величину должен уменьшиться объём и в правом цилиндре; отсюда \[S_1\alpha_1 a = S_2\alpha_2 a,\quad\text{и}\quad S_2 = \dfrac{S_1\alpha_1}{\alpha_2}.\] Добавление воды в левый цилиндр можно провести в два этапа. Сначала дольём в левый цилиндр объём \(V\) воды и поднимем точку подвеса пружины на расстояние \(V/(S_1 + S_2)\). Тогда равновесие в системе не нарушится, и поршень также поднимется на такое же расстояние. После этого вернём точку подвеса в прежнее положение, опустив её на расстояние \(V/(S_1 + S_2)\). Тогда поршень опустится на расстояние \(\alpha_2V/(S_1 + S_2)\). Общее смещение поршня равно \[b_2 = \dfrac{V(1 - \alpha_2)}{S_1 + S_2} = \dfrac{V}{S_1}\cdot\dfrac{\alpha_2(1 - \alpha_2)}{\alpha_1 + \alpha_2}.\] Найдём жёсткость пружины \(k\). Вернём поршень в первоначальное (до наливания воды) положение, сместив его вниз на расстояние \(b_2\), а точку подвеса — вниз на расстояние \[\dfrac{b_2}{\alpha_2} = \dfrac{V}{S_1}\cdot\dfrac{1 - \alpha_2}{\alpha_1 + \alpha_2}.\] Тогда пружина сожмётся по сравнению с начальной длиной на величину \(\dfrac{V}{S_1}\cdot\dfrac{1 - \alpha_2}{\alpha_1 + \alpha_2}\), а в левом цилиндре уровень воды будет выше на величину \(V/S_1\). Запишем условие равенства давлений: \[\dfrac{k}{S_2}\cdot\dfrac{V}{S_1}\cdot\dfrac{1 - \alpha_2}{\alpha_1 + \alpha_2} = \rho g\dfrac{V}{S_1}.\] Отсюда \[k = \rho g S_2\dfrac{\alpha_1 + \alpha_2}{1 - \alpha_2} = \rho g S_1\cdot\dfrac{\alpha_1}{\alpha_2}\cdot\dfrac{\alpha_1 + \alpha_2}{1 - \alpha_2}.\]

Подсказка

Калькулятор можно считать резистором, сопротивление которого лежит в границах \(U_{\min}/I_{\max}\ldots U_{\max}/I_{\min}\). Выразите напряжение на нём через \(R_1\), \(R_2\) и это сопротивление.

Ответ

\(32{,}7\text{ Ом} \leqslant R_1 \leqslant 38{,}6\text{ Ом}\).

Решение

Из текста технической документации следует, что сопротивление \(R\) калькулятора зависит от режима его работы и может колебаться в пределах \[R_{\min} = \dfrac{U_{\min}}{I_{\max}} \leqslant R \leqslant R_{\max} = \dfrac{U_{\max}}{I_{\min}}.\] В соответствии с формулами для последовательного и параллельного соединения проводников, напряжение на калькуляторе выражается через сопротивления \(R_1\) и \(R_2\) следующим образом: \[U = \dfrac{U_0}{R_2 + \dfrac{R_1R}{R_1 + R}}\cdot\dfrac{R_1R}{R_1 + R} = \dfrac{U_0}{1 + \dfrac{R_2}{R_1} + \dfrac{R_2}{R}}.\] При увеличении сопротивления \(R\) напряжение на калькуляторе \(U\) возрастает; следовательно, калькулятор будет нормально функционировать при соблюдении следующих неравенств: \[\dfrac{U_0}{1 + \dfrac{R_2}{R_1} + \dfrac{R_2}{R_{\min}}} \geqslant U_{\min}\quad\text{и}\quad\dfrac{U_0}{1 + \dfrac{R_2}{R_1} + \dfrac{R_2}{R_{\max}}} \leqslant U_{\max}.\] Эти неравенства можно переписать в виде: \[\dfrac{U_0}{U_{\max}} - 1 - \dfrac{R_2}{R_{\max}} \leqslant \dfrac{R_2}{R_1} \leqslant \dfrac{U_0}{U_{\min}} - 1 - \dfrac{R_2}{R_{\min}}.\] Для числовых данных, указанных в условии задачи, оба предела в данном неравенстве положительны; следовательно, сопротивление резистора \(R_1\) должно лежать в следующем интервале: \[\dfrac{U_{\min}R_2}{U_0 - U_{\min} - I_{\max}R_2} \leqslant R_1 \leqslant \dfrac{U_{\max}R_2}{U_0 - U_{\max} - I_{\min}R_2}.\] Подставляя в эти неравенства числовые значения, получаем: \(32{,}7\text{ Ом} \leqslant R_1 \leqslant 38{,}6\text{ Ом}\).