МОШ, 2007/08, заключительный этап, 7 класс

Разбейте кристалл на кубики так, чтобы в каждом был ровно один атом, и выразите плотность через массу и объём одного такого кубика.

\(V_0 = m_0/\rho \approx 1{,}18\cdot 10^{-29}\) м\(^3\).

Проведём плоскости перпендикулярно серединам рёбер кубиков. В результате кристалл окажется разделённым на кубики, в каждом из которых находится по одному атому.

Пусть кристалл имеет объём \(V\) и содержит \(N\) атомов. Тогда плотность металла \[\rho = \dfrac{Nm_0}{V} = \dfrac{m_0}{V/N} = \dfrac{m_0}{V_0},\] где \(V_0 = V/N\) — объём, приходящийся на один атом, то есть искомый объём элементарной ячейки кристаллической решётки. Отсюда \(V_0 = m_0/\rho \approx 1{,}18\cdot 10^{-29}\) м\(^3\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Выразите объёмы обеих частей через их общую массу и одну из плотностей, затем найдите среднюю плотность всего бруска.

\(\rho_1 = 900\) кг/м\(^3\), \(\rho_2 = 450\) кг/м\(^3\).

Пусть \(m\) — масса каждой из частей бруска, \(\rho_1\) и \(\rho_2 = \rho_1/2\) — их плотности. Тогда части бруска имеют объёмы \(m/\rho_1\) и \(2m/\rho_1\), а весь брусок массу \(2m\) и объём \(3m/\rho_1\). Средняя плотность бруска \[\rho = \dfrac{2m}{3m/\rho_1} = \dfrac{2\rho_1}{3}.\] Отсюда находим плотности частей бруска: \(\rho_1 = 3\rho/2 = 900\) кг/м\(^3\), \(\rho_2 = 3\rho/4 = 450\) кг/м\(^3\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Для каждого рычага запишите правило моментов относительно середины, считая расстояние между соседними крючками единицей длины.

Во всех трёх случаях \(n = 3\).

Обозначим через \(m\) массу одного груза, \(l\) — расстояние между соседними крючками. Применим для каждого из случаев правило рычага:

(а) \(m\cdot l - 2m\cdot 2l + m\cdot nl = 0\), отсюда \(n = 3\);

(б) \(3m\cdot l - 2m\cdot 3l + m\cdot nl = 0\), отсюда \(n = 3\);

(в) \(2m\cdot 2l + m\cdot 3l - m\cdot l - 3m\cdot 3l + m\cdot nl = 0\), отсюда \(n = 3\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

При \(m = m_0\) груз лишь касается стола: чему тогда равна сила упругости пружины и как она меняется при дальнейшем увеличении массы?

\(F = (m - m_0)g = 6\) Н.

Как следует из условия, при \(m = m_0\) груз в равновесии только коснулся стола, не оказывая на него давления. Следовательно, действующая на груз сила тяжести \(m_0 g\) уравновешивается силой упругости пружины. При дальнейшем увеличении массы груза сила упругости пружины не меняется, а сила тяжести становится равной \(mg\). Следовательно, груз давит на поверхность стола с силой \(F = (m - m_0)g = 6\) Н.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Грузило тоже полностью погружено в воду: запишите равенство нулю суммы сил тяжести и сил Архимеда для всей системы.

\(M \approx 0{,}55\) г.

На систему, состоящую из поплавка и грузила, действуют направленные вниз силы тяжести \(mg\) (приложена к поплавку) и \(Mg\) (приложена к грузилу), а также направленные вверх силы Архимеда \(\rho_\text{в} gV/2\) (приложена к поплавку) и \(\rho_\text{в} Mg/\rho_\text{с}\) (приложена к грузилу). В равновесии сумма сил, действующих на систему, равна нулю: \[(m + M)g = \dfrac{\rho_\text{в} gV}{2} + \dfrac{\rho_\text{в} Mg}{\rho_\text{с}}.\] Отсюда \[M = \dfrac{\dfrac{\rho_\text{в} V}{2} - m}{1 - \dfrac{\rho_\text{в}}{\rho_\text{с}}} = \dfrac{1000\text{ кг/м}^3\cdot 5\cdot 10^{-6}\text{ м}^3\cdot 0{,}5 - 2\cdot 10^{-3}\text{ кг}}{1 - \dfrac{1000}{11300}} \approx 0{,}55\text{ г}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.