МОШ, 2007/08, заключительный этап, 8 класс

За одно и то же время автобусы прошли \(S_1\) и \(S\) — так найдите отношение скоростей, а затем используйте условие, что к моменту встречи второй автобус прошёл на \(S\) больше.

\(L = 100\) км, \(v_1 = 60\) км/ч, \(v_2 = 75\) км/ч.

За одно и то же время первый и второй автобусы проехали расстояния \(S_1\) и \(S\); следовательно, отношение их скоростей \(\dfrac{v_1}{v_2} = \dfrac{S_1}{S} = 0{,}8\). Перейдём к ответам на вопросы задачи.

Когда второй автобус пройдёт расстояние \(L\), первый пройдёт расстояние, равное \(L - S\), то есть \(\dfrac{L}{v_2} = \dfrac{L - S}{v_1}\). С учётом найденного выше отношения скоростей получаем: \[L = \dfrac{S}{1 - (v_1/v_2)} = \dfrac{S^2}{S - S_1} = 100\text{ км}.\] По условию, \[\Delta t = \Delta s\left(\dfrac{1}{v_1} - \dfrac{1}{v_2}\right) = \dfrac{\Delta s}{v_1}\left(1 - \dfrac{v_1}{v_2}\right) = \dfrac{\Delta s}{v_1}\left(1 - \dfrac{S_1}{S}\right).\] Отсюда \[v_1 = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}\left(1 - \dfrac{S_1}{S}\right) = 60\ \dfrac{\text{км}}{\text{ч}},\qquad v_2 = v_1\dfrac{S}{S_1} = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}\left(\dfrac{S}{S_1} - 1\right) = 75\ \dfrac{\text{км}}{\text{ч}}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Через давление у дна выразите массу воды в каждом сосуде и используйте сохранение суммарной массы воды.

\(p = 2\) кПа.

До открытия крана масса воды в левом сосуде равна \(p_AS_A/g\), в правом сосуде \(p_BS_B/g\). После открытия крана в точках \(A\) и \(B\) устанавливается одинаковое гидростатическое давление \(p\), поэтому суммарная масса воды в сосудах равна \(p(S_A + S_B)/g\). Поскольку масса воды сохраняется, то \(p_AS_A + p_BS_B = p(S_A + S_B)\). Таким образом, \[p = \dfrac{p_AS_A + p_BS_B}{S_A + S_B} = 2\text{ кПа}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Из условия плавания найдите, какая доля длины свечки погружена, и свяжьте изменение глубины погружения нижнего конца с укорочением свечки.

\(v = 0{,}9u = 4{,}5\cdot 10^{-5}\) м/с.

Пусть \(L\) — длина свечки в некоторый момент времени, \(H\) — длина её подводной части, \(S\) — площадь её поперечного сечения. Согласно условию плавания тел, \(\rho_\text{в} gHS = \rho_\text{п} gLS\), откуда \(H/L = \rho_\text{п}/\rho_\text{в}\). За время \(\Delta t\) длина свечки уменьшилась на величину \(\Delta L = u\Delta t\), а глубина погружения её нижнего конца уменьшилась на \[\Delta H = \dfrac{\rho_\text{п}}{\rho_\text{в}}\Delta L = \dfrac{u\Delta t\rho_\text{п}}{\rho_\text{в}}.\] Следовательно, нижний конец свечки (как и вся свечка) движется со скоростью \[v = \dfrac{\Delta H}{\Delta t} = \dfrac{u\rho_\text{п}}{\rho_\text{в}} = 0{,}9u = 4{,}5\cdot 10^{-5}\text{ м/с}\] относительно сосуда.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Найдите, сколько времени кипятильник должен работать, чтобы нагреть воду до \(t_2\), и сравните с \(\tau\).

\(\Delta t = 132\) с.

На нагревание воды от \(20\ {}^\circ\)C до \(60\ {}^\circ\)C должно уйти время \(\tau_0 = \dfrac{c\rho V(t_2 - t_1)}{P} = 168\) с. Следовательно, Петина «помощь» длилась в течение промежутка времени \(\Delta t = \tau - \tau_0 = \tau - \dfrac{c\rho V(t_2 - t_1)}{P} = 132\) с.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Переберите целые скорости Зайца и посмотрите, на сколько сближаются животные за каждые 10 с, пока скорость Волка не станет меньше скорости Зайца.

Скорость Зайца должна превышать \(11{,}8\) м/с.

Если Заяц будет убегать со скоростью 11 м/с, то Волк будет приближаться к Зайцу в течение первых 10 с со скоростью 3 м/с, в течение следующих 10 с — со скоростью 2 м/с. Поэтому Волк догонит Зайца.

Если Заяц будет убегать со скоростью 12 м/с, то Волк будет приближаться к Зайцу в течение первых 10 с со скоростью 2 м/с, в течение последующих 10 с — со скоростью 1 м/с. За 20 с расстояние между животными уменьшится на 30 м и далее перестанет уменьшаться. Заяц убежит от Волка.

Таким образом, искомая минимальная скорость Зайца лежит в интервале от 11 м/с до 12 м/с. Обозначим её через \((12 - u)\) м/с, где \(0 < u < 1\). За первые 10 с Волк приближается к Зайцу со скоростью \((2 + u)\) м/с, за вторые 10 с — со скоростью \((1 + u)\) м/с, за третьи 10 с — со скоростью \(u\) м/с. В дальнейшем Волк начнёт отставать от Зайца. За 30 с расстояние между животными уменьшится на \(10(2 + u) + 10(1 + u) + 10u = 30 + 30u\) метров. Следовательно, Заяц убежит от Волка, если \(36 > 30 + 30u\), или \(u < 0{,}2\).

Следовательно, скорость Зайца должна превышать \(11{,}8\) м/с.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Найдите силы, с которыми нить действует на рычаг в точках подвеса, через её натяжение \(T\), и запишите условие равенства нулю суммы сил и моментов.

\(\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{2b + 3c}{3a + b}\).

Пусть перекинутая через блоки нить натянута с силой \(T\) (см. рисунок). Тогда к рычагу приложены следующие силы: в точке \(A\) — направленная вниз сила тяжести \(m_1g\), в точке \(B\) — направленная вверх сила натяжения нити \(2T\), в точке \(C\) — направленная вверх сила натяжения нити \(T\), в точке \(D\) — направленная вниз сила тяжести \(m_2g\). Поскольку геометрическая сумма сил, действующих на рычаг, должна быть равна нулю, получаем первое уравнение: \(3T = m_1g + m_2g\), из которого находим \[T = \dfrac{1}{3}(m_1 + m_2)g.\]

Запишем правило равновесия рычага относительно одной из точек, например, относительно точки \(A\): \[2T\cdot a + T\cdot(a + b) = m_2g\cdot(a + b + c).\] Подставляя в это соотношение значение \(T\), находим: \[(m_1 + m_2)ga + \dfrac{1}{3}(m_1 + m_2)gb = m_2g(a + b + c).\] Отсюда \(\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{2b + 3c}{3a + b}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

В воздушных пробках шланга давление растёт на \(\rho gh\) при каждом переходе через грядку против течения: сравните давление перед первой грядкой с давлением столба воды под воронкой.

\(H \approx nh = 2\) м.

При медленном наливании воды в шланг она доходит до гребня первой грядки, стекает по шлангу вниз и начинает заполнять следующий его отрезок — до гребня второй грядки. При этом в куске шланга, спускающемся с первой грядки, остаётся воздушная пробка, запертая с двух сторон водой. При дальнейшем наливании воды в шланг и постепенном подъёме воронки процесс повторяется, образуются новые воздушные пробки, и вода потечёт из конца шланга, только когда дойдёт до гребня последней грядки (см. рисунок).

Если атмосферное давление на выходе из шланга и на уровне воронки равно \(p_0\), то давление в воздушных пробках при переходе через каждую грядку от конца шланга в сторону воронки возрастает приблизительно на \(\rho gh\). Перед первой грядкой оно будет равно, таким образом, \(p_0 + n\rho gh\), и для его преодоления воронка с водой должна быть поднята на такую высоту \(H\), чтобы давление воды в нижней точке шланга под воронкой было не меньше этой величины: \(p_0 + \rho gH \geqslant p_0 + n\rho gh\), или \(H \geqslant nh = 2\) м.

Полученное значение слегка завышено, поскольку с ростом давления объёмы воздушных пробок и перепады высот на грядках немного уменьшаются. Однако полученная высота составляет всего 20 % от высоты \(h_0 = \dfrac{p_0}{\rho g} \approx 10\) м, соответствующей атмосферному давлению \(p_0\), так что уменьшением объёмов пробок можно пренебречь и считать, что высота воронки над землёй в момент начала вытекания воды из шланга должна составлять примерно \(H \approx nh = 2\) м.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Масса кофе не меняется, поэтому отношение концентраций равно отношению масс раствора до и после; отношение масс раствора и льда найдите из теплового баланса.

Концентрация уменьшилась на 28 процентов (\(n_2/n_1 = 0{,}72\)).

Пусть \(n_1\) — начальная концентрация кофе в растворе, \(n_2\) — конечная, \(M\) — масса раствора, \(m\) — масса льда. Тогда масса чистого кофе в растворе равна \(Mn_1 = (M + m)n_2\), и отношение концентраций выражается через отношение масс: \(\dfrac{n_2}{n_1} = \dfrac{M}{M + m}\).

Чтобы найти отношение масс раствора кофе и льда, запишем уравнение теплового баланса. Раствор кофе отдаёт количество теплоты \(cM(t_1 - t_2)\), лёд получает количество теплоты \(\lambda m + cmt_2\), поэтому \(cM(t_1 - t_2) = \lambda m + cmt_2\), и \(\dfrac{m}{M} = \dfrac{c(t_1 - t_2)}{\lambda + ct_2}\). Используя это соотношение, получаем искомое отношение концентраций: \[\dfrac{n_2}{n_1} = \dfrac{\lambda + ct_2}{\lambda + ct_1} = 0{,}72.\] Следовательно, концентрация кофе в растворе уменьшится на 28 процентов.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.