МОШ, 2007/08, заключительный этап, 9 класс

Подсказка

В отсутствие силы тяжести мяч летел бы по прямой к кольцу 0; отклонение от неё вниз растёт пропорционально квадрату расстояния, пройденного по горизонтали. Найдите коэффициент по точке \(B\).

Ответ

В кольцо номер 6.

Решение

Введём систему координат, выбрав в качестве начала координат точку \(A\) и направив ось \(x\) по горизонтали к стенке, перпендикулярно ей, а ось \(y\) — вертикально вверх. В поле силы тяжести мяч движется по параболе, уравнение которой в данной системе координат имеет вид \(y = kx - bx^2\), где \(k\) и \(b\) — некоторые положительные коэффициенты.

Можно считать, что вблизи точки бросания мяч движется прямолинейно (\(y \approx kx\)) по направлению к кольцу с номером 0. Из рисунка определяем, что \(k = \dfrac{7}{24}\). Найдём теперь коэффициент \(b\). Обозначим через \(L\) расстояние между двумя соседними кольцами; тогда точка \(B\) имеет координаты \((4L;\, L/2)\). Тогда для точки \(B\) имеем: \[\dfrac{L}{2} = \dfrac{7}{24}\cdot 4L - b\cdot(4L)^2, \quad\text{откуда}\quad b = \dfrac{1}{24L}.\] Вертикальная прямая, на которой расположены центры колец, имеет координату \(x = 12L\). Мяч пересечёт её в точке с координатой \[y = \dfrac{7}{24}\cdot 12L - \dfrac{1}{24L}\cdot(12L)^2 = -2{,}5L,\] то есть попадёт в баскетбольное кольцо номер 6.

Задачу можно пытаться решать, исходя из того, что тело, свободно падающее без начальной скорости, за последовательные равные промежутки времени проходит расстояния, относящиеся друг к другу, как \(1:3:5:\ldots\) В данной задаче эти расстояния нужно отсчитывать от пунктирной прямой на рисунке, вдоль которой двигалось бы тело в отсутствие силы тяжести. Однако масштаб рисунка не позволяет достаточно точно определить, на каком расстоянии от точки \(B\) находится эта прямая, что снижает точность дальнейших вычислений. Поэтому при таком способе решения может получиться, что мяч попадёт между 6-м и 7-м кольцами.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

В первый момент деформация пружины не меняется, поэтому сила упругости остаётся прежней; исчезает только сила натяжения нити.

Ответ

Ускорение груза равно нулю; ускорение коробки \(a = \dfrac{m+M}{M}\,g\), направлено вниз.

Решение

До пережигания нити на груз массой \(m\) действовали направленная вниз сила тяжести \(mg\) и равная ей по величине и противоположная по направлению сила упругости пружины \(F\). На коробку действовали направленная вниз сила упругости пружины \(F\) и сила тяжести \(Mg\), а также направленная вверх сила натяжения нити \(T = F + Mg\).

Сразу после пережигания нити сила её натяжения обратится в ноль, а остальные силы, действующие на груз и коробку, останутся прежними. По этой причине ускорение груза сразу после пережигания нити будет равно нулю. На коробку же будут действовать только силы тяжести и упругости, поэтому ускорение коробки будет равно \[a = \dfrac{F + Mg}{M} = \dfrac{m+M}{M}\,g.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Полезная мощность — это вес всех людей на эскалаторе, умноженный на вертикальную составляющую скорости движения; число людей найдите по длине горизонтальной проекции эскалатора.

Ответ

\(N_{\min} = \dfrac{mgLv\sin 2\alpha}{l\eta} \approx 170\) кВт.

Решение

Всего на эскалаторе в «час пик» помещается число людей \(n = 2\dfrac{L\cos\alpha}{l}\) общей массой \(M = nm\) и весом \(P = nmg\). Эскалатор должен двигать людей с вертикальной скоростью \(u = v\sin\alpha\). Таким образом, полезная механическая мощность эскалатора равна \(N = Pu\), а минимальная мощность электромотора с учётом КПД механической части эскалатора равна \[N_{\min} = \dfrac{N}{\eta} = \dfrac{Pu}{\eta} = \dfrac{nmgv\sin\alpha}{\eta} = \dfrac{2Lmgv\cos\alpha\sin\alpha}{l\eta} = \dfrac{mgLv\sin 2\alpha}{l\eta} \approx\] \[\approx \dfrac{70\text{ кг}\cdot 10\,\frac{\text{м}}{\text{с}^2}\cdot 100\text{ м}\cdot 1{,}2\,\frac{\text{м}}{\text{с}}\cdot 0{,}7}{0{,}5\text{ м}\cdot 0{,}7} \approx 170\text{ кВт}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Амперметр и второй вольтметр соединены параллельно, поэтому напряжение на амперметре равно \(U_2\); ток через первый вольтметр разветвляется на два.

Ответ

\(R_A = 0{,}1\) кОм; \(R_V = 0{,}9\) кОм.

Решение

Сопротивление амперметра \(R_A\) равно отношению напряжения \(U_2\) на нём к силе тока \(I\), текущего через амперметр: \[R_A = \dfrac{U_2}{I} = 0{,}1\text{ кОм}.\] Обозначим через \(R_V\) сопротивления вольтметров. Через вольтметр \(V_1\) течёт ток силой \(U_1/R_V\), который разветвляется на текущий через вольтметр \(V_2\) ток силой \(U_2/R_V\) и ток силой \(I\), текущий через амперметр: \[\dfrac{U_1}{R_V} = \dfrac{U_2}{R_V} + I.\] Отсюда \(R_V = \dfrac{U_1 - U_2}{I} = 0{,}9\) кОм.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Из равновесия в начале найдите массу человека через массу груза; из нерастяжимости верёвки свяжите скорость её конца со скоростью подъёма.

Ответ

Подъём длился \(\tau = \dfrac{3h}{v} = 5\) с; работа \(A = 4mgh + \dfrac{2}{9}mv^2 = 2008\) Дж.

Решение

Найдём соотношение масс груза \(m\) и человека \(M\). Первоначально, когда человек покоился, система находилась в равновесии. При этом сила тяжести \(mg\), действующая на груз, уравновешивалась силой натяжения верёвки \(T_0\), а сила тяжести \(Mg\), действующая на человека, уравновешивалась силой \(3T_0\). Следовательно, \(M = 3m\).

Когда человек начал двигаться с ускорением, равновесие нарушилось, и сила натяжения верёвки \(T\) стала больше \(mg\). Направленные вверх ускорения груза \(a_1\) и человека \(a\) можно найти с помощью второго закона Ньютона: \[a_1 = \dfrac{T - mg}{m}; \qquad a = \dfrac{3T - Mg}{M} = \dfrac{3T - 3mg}{3m} = \dfrac{T - mg}{m}.\] Таким образом, эти ускорения равны; поэтому и скорости, приобретаемые грузом и человеком, а также пройденные ими расстояния, оказываются равными во все моменты времени.

Выразим направленную вниз скорость \(v\) свободного конца верёвки через направленную вверх скорость человека \(u\), равную скорости груза. За время подъёма \(\tau = \dfrac{h}{u}\) длина нерастяжимой верёвки не изменяется, поэтому \(v\tau - 3u\tau = 0\), и \(u = \dfrac{v}{3}\). Отсюда длительность подъёма \(\tau = \dfrac{3h}{v} = 5\) с.

Работа \(A\), совершённая человеком, пошла на увеличение потенциальной энергии человека и груза, а также на придание им кинетической энергии: \[A = (m + M)gh + \dfrac{(m + M)u^2}{2} = 4mgh + \dfrac{2}{9}mv^2 = 2008\text{ Дж}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Вертикальное положение устойчиво, пока момент сил тяжести и Архимеда относительно точки подвеса при малом наклоне возвращает карандаш; найдите длину погружённой части, при которой этот момент обращается в ноль.

Ответ

\(h = l\left(1 - \sqrt{1 - \dfrac{1}{n}}\right) = l\left(1 - \dfrac{\sqrt2}{2}\right) \approx 5{,}3\) см.

Решение

Рассмотрим карандаш, погруженный в воду и отклонённый от вертикали на малый угол \(\alpha\). Суммарный момент сил тяжести и Архимеда относительно горизонтальной оси, проходящей через верхний конец карандаша, равен \[M = mg\dfrac{l}{2}\sin\alpha - F_A\left(l - \dfrac{x}{2}\right)\sin\alpha,\] где \(F_A = \rho g S x\) — сила Архимеда, \(\rho\) — плотность воды, \(S\) — площадь поперечного сечения карандаша, \(x\) — длина погруженной в воду части карандаша, \(m = (\rho/n)Sl\) — масса карандаша. При \(M > 0\) момент сил возвращает карандаш в вертикальное положение, при \(M < 0\) увеличивает отклонение карандаша от вертикали. Формулу для момента сил можно переписать в виде: \[M = \left(x^2 - 2lx + \dfrac{l^2}{n}\right)\dfrac{\rho g S}{2}\sin\alpha.\] Из этой формулы следует, что при малых \(x\) момент \(M > 0\) и, следовательно, вертикальное положение карандаша будет устойчивым. Потеря устойчивости вертикального положения происходит при \[x = l\left(1 - \sqrt{1 - \dfrac{1}{n}}\right),\] когда момент сил меняет знак с положительного на отрицательный. При дальнейшем погружении карандаша он будет отклоняться от вертикали, но длина \(x\) погруженной в воду его части меняться не будет, поскольку в равновесии момент сил \(M\) должен оставаться равным нулю. Поэтому глубина погружения нижнего конца карандаша, равная \(x\cos\alpha\), будет при этом уменьшаться. Итак, максимальная глубина погружения нижнего конца карандаша равна \[h = l\left(1 - \sqrt{1 - \dfrac{1}{n}}\right) = l\left(1 - \dfrac{\sqrt2}{2}\right) \approx 5{,}3\text{ см}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Выразите через долю \(w\) массу испарившейся воды из баланса масс в сосуде, затем составьте баланс теплоты для льда: он получает ровно то, что отдаёт сконденсировавшийся пар при конденсации и остывании до \(0^\circ\)C.

Ответ

\(w = \dfrac{\lambda m}{\lambda m + (r + Ct_\text{к})(m_0 + m - m_1)}\);  \(Q = r(m_0 - m_1 + m) + \lambda m + Cmt_\text{к}\).

Решение

Найдём долю сконденсированного пара. Пусть \(\Delta m\) — масса воды, испарившейся из сосуда. При этом масса пара \(w\Delta m\) сконденсировалась на куске льда и стекла затем вниз вместе с талой водой, получившейся при таянии льда. Следовательно, \(m_1 = m_0 + m - \Delta m + w\Delta m\), и \(\Delta m = \dfrac{m_0 + m - m_1}{1 - w}\). При конденсации и охлаждении до температуры плавления льда пар отдаёт количество теплоты \[(r + Ct_\text{к})w\Delta m = (r + Ct_\text{к})(m_0 + m - m_1)\dfrac{w}{1 - w},\] а лёд получает количество теплоты \(\lambda m\). Отсюда \[(r + Ct_\text{к})(m_0 + m - m_1)\dfrac{w}{1 - w} = \lambda m,\] \[w = \dfrac{\lambda m}{\lambda m + (r + Ct_\text{к})(m_0 + m - m_1)}.\] Переданное от плиты к сосуду количество теплоты \(Q\) пошло на превращение в пар массы воды \((1 - w)\Delta m = m_0 + m - m_1\), которая не сконденсировалась, а также на плавление льда массой \(m\) и нагревание талой воды от температуры плавления до температуры кипения. Поэтому \(Q = r(m_0 - m_1 + m) + \lambda m + Cmt_\text{к}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Используйте симметрию схемы: точки с одинаковыми потенциалами можно соединить проводником, не изменив токов, и схема упростится до последовательно-параллельной.

Ответ

\(R_{AB} = \dfrac{13R}{20}\).

Решение

В схеме электрической цепи, изображённой на первом рисунке, точки \(E_1\), \(E_2\) и центр схемы имеют, в силу её симметрии, одинаковые потенциалы. При их соединении проводником с нулевым сопротивлением токи в цепи и её сопротивление не меняются, а полученная при таком преобразовании схема совпадает со схемой, приведённой в условии.

Будем поэтому рассчитывать сопротивление эквивалентной электрической цепи, схема которой изображена на первом рисунке. В ней пары точек \(A_1\) и \(A_2\), \(B_1\) и \(B_2\), \(C_1\) и \(C_2\), \(D_1\) и \(D_2\) также в силу симметрии имеют попарно одинаковые потенциалы. Соединяя их, получаем следующую эквивалентную схему, изображённую на втором рисунке; здесь учтено, что сопротивление двух параллельно соединённых одинаковых резисторов вдвое меньше сопротивления каждого из них.

В схеме на втором рисунке, как следует из соображений симметрии, пары точек \(A_{12}\) и \(F\), \(B_{12}\) и \(G\) имеют одинаковые потенциалы; соединяя их, получаем электрическую цепь, схема которой изображена на третьем рисунке. Её сопротивление легко рассчитывается по формулам последовательного и параллельного соединения резисторов: оно равно \(\dfrac{13R}{20}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.