зад 1 Рекордный прыжок Удава
Удав решил установить мировой рекорд в прыжках в высоту среди удавов. Удав может из положения «свернувшись лёжа» выпрямиться почти вертикально и разогнаться до скорости \(V\). Длина Удава \(L\). Каким может быть рекорд? Как должен двигаться Удав, чтобы установить рекорд? Масса Удава распределена равномерно по его длине.
▶ПодсказкаСкрыть
Важна высота центра масс: на максимальной высоте Удав может сложиться так, чтобы его центр масс оказался ниже планки.
▶ОтветСкрыть
Удав на максимальной высоте должен сложиться пополам так, чтобы его середина оказалась над планкой, а голова и хвост свешивались вниз. Рекордная высота равна \(\dfrac{3L}{4} + \dfrac{V^2}{2g}\).
зад 2 Автомобиль на подъёме
Автомобиль с задними ведущими колёсами въезжает вверх по прямолинейному участку дороги, образующему с горизонтом угол \(\alpha\), и останавливается. Через некоторое время после этого водитель резко нажимает на газ и одновременно отпускает тормоз. С каким максимальным ускорением может начать двигаться автомобиль, если коэффициент трения его колёс о дорогу равен \(\mu\), а мощность двигателя достаточно велика? Центр тяжести автомобиля находится на расстоянии \(h\) от дороги посередине между колёсами, расстояние между осями передних и задних колёс равно \(2L\).
▶ПодсказкаСкрыть
Движущая сила — трение покоя на задних колёсах, не больше \(\mu N_\text{зад}\); силу реакции \(N_\text{зад}\) найдите из уравнения моментов относительно центра тяжести.
▶ОтветСкрыть
\(a = \left(\dfrac{\mu L\cos\alpha}{2L - \mu h} - \sin\alpha\right)g\), при условии \(L > \mu h\).
зад 3 Груз на колеблющейся платформе
Горизонтальная платформа, на которую положили без начальной скорости груз массой \(m\), совершает \(f\) раз в секунду такие колебания: сначала она движется вправо с постоянным ускорением \(a\), потом мгновенно останавливается и возвращается в начальное положение с постоянным ускорением \(a/2\). Коэффициент трения между грузом и платформой равен \(\mu < 1\), ускорение \(a \gg g\), частота \(f \gg 1\) Гц. В каком направлении, и по какому закону будет двигаться груз, и будет ли он вообще двигаться? Считать, что скорость движения груза всегда много меньше максимальной скорости движения платформы.
▶ПодсказкаСкрыть
Груз скользит по платформе в обе фазы колебаний; найдите среднюю по периоду силу трения скольжения, учтя разное время движения вправо и влево.
▶ОтветСкрыть
Груз будет двигаться влево со средним ускорением, равным по модулю \(\mu g\,\dfrac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}\).
зад 4 Лёд в закрытом стакане
В цилиндрический стакан объёмом \(V = 200\) мл и сечением \(S = 20\) см\(^2\), стоящий на столе при комнатной температуре \(T_\text{к} = 20\,^\circ\)С, положили кусок льда массой \(m = 100\) г, находящийся при температуре \(T_0 = 20\,^\circ\)С, и накрыли стакан плотно прилегающей крышкой. Оцените силу, которая потребуется, чтобы оторвать крышку от стакана сразу после того, как лёд растает. Считайте, что теплота поступает в стакан только снизу, крышку отрывают сразу по всему периметру, атмосферное давление \(p_\text{а} = 10^5\) Па, плотность льда \(\rho_\text{л} = 900\) кг/м\(^3\), плотность воды \(\rho_\text{в} = 1000\) кг/м\(^3\).
▶ПодсказкаСкрыть
Воздух в закрытом стакане занимает меньший объём после плавления льда; применяйте уравнение состояния к воздуху, учтя изменение его объёма при плавлении льда.
▶ОтветСкрыть
Сила, которая потребуется, чтобы оторвать крышку от стакана сразу после того, как лёд растает, примерно равна \(F = p_\text{а}S\left(1 - \dfrac{\rho_\text{в}T_0(\rho_\text{л}V - m)}{\rho_\text{л}T_\text{к}(\rho_\text{в}V - m)}\right) \approx 32\) Н.
зад 5 Заряженные палочки шестиугольника
Пять сторон правильного шестиугольника образованы одинаковыми диэлектрическими равномерно заряженными палочками. При этом в точке \(O\), находящейся в центре шестиугольника, потенциал данной системы зарядов равен \(\varphi_0\), а напряжённость электрического поля равна \(\vec{E}_0\). Найдите, какими станут потенциал \(\varphi\) и напряжённость электрического поля \(\vec{E}\) в точке \(O\), если убрать одну из заряженных палочек.
▶ПодсказкаСкрыть
Потенциал — скаляр, он складывается арифметически; напряжённость — вектор: поля двух противоположных палочек взаимно уничтожаются.
▶ОтветСкрыть
\(\varphi = \dfrac{4}{5}\varphi_0\) при удалении любой из палочек. \(\vec{E}\) зависит от того, какую палочку удаляют (см. рисунки): если удалить палочку 3, то \(\vec{E} = 0\); если удалить палочку 2 или 4, то \(|\vec{E}| = |\vec{E}_0|\), а вектор \(\vec{E}\) повёрнут относительно вектора \(\vec{E}_0\) на угол \(60^\circ\); если удалить палочку 1 или 5, то \(|\vec{E}| = \sqrt{3}|\vec{E}_0|\), а вектор \(\vec{E}\) повёрнут относительно вектора \(\vec{E}_0\) на угол \(30^\circ\).
