зад 1 Деревянный цилиндр в двух сосудах
Один цилиндрический сосуд радиусом \(R_1\) удерживают внутри другого, радиусом \(R_2\), так, как показано на рисунке. В дне малого сосуда есть отверстие со втулкой, в которое вставлен деревянный цилиндр радиусом \(r\) и высотой \(h = 21\) см; он может перемещаться относительно втулки без трения только по вертикали. В малый сосуд налита вода до уровня \(a = 30\) см, а в большой — масло, и при этом цилиндр покоится. Плотность воды \(\rho_\text{в} = 1000\) кг/м\(^3\), плотность масла \(\rho_\text{м} = 790\) кг/м\(^3\), плотность цилиндра \(\rho = 790\) кг/м\(^3\). Какая часть объёма цилиндра находится в воде, а какая — в масле? При каком соотношении между \(\rho_\text{в}\), \(\rho_\text{м}\), \(r\), \(R_1\) и \(R_2\) равновесие цилиндра будет устойчивым, то есть при его смещении вверх или вниз будут возникать силы, стремящиеся вернуть его обратно, к положению равновесия?
▶ПодсказкаСкрыть
Условие равновесия — равенство нулю суммы сил давления и силы тяжести; для устойчивости посмотрите, как меняется равнодействующая при малом смещении цилиндра, учтя изменение уровней жидкостей.
▶ОтветСкрыть
В воде находится часть объёма цилиндра, равная \(n = \dfrac{a}{h} - \dfrac{\rho_\text{м} - \rho}{\rho_\text{в} - \rho_\text{м}} = \dfrac{11}{21}\), а в масле — часть объёма, равная \(1 - n = \dfrac{10}{21}\).
Равновесие будет устойчивым, если \(\rho_\text{м}\dfrac{R_2^2 - R_1^2 + r^2}{R_2^2 - R_1^2} > \rho_\text{в}\dfrac{R_1^2 - r^2}{R_1^2}\).
зад 2 U-образная трубка с воздухом
Один из концов U-образной трубки постоянного сечения, заполненной ртутью, наглухо закрыли (см. рисунок). Воздух в закрытом конце трубки стали медленно нагревать, измеряя зависимость его давления \(p\) от температуры \(T\). Как оказалось, эта зависимость в начале нагревания приближённо является линейной: \(p \approx p_0\left(1 + \alpha\dfrac{T - T_0}{T_0}\right)\), где \(p_0 = 760\) мм рт. ст. — атмосферное давление, \(T_0\) — абсолютная температура окружающей среды, \(\alpha = 0{,}5\). Найдите высоту \(l_0\) столба воздуха в закрытом конце трубки в начале процесса. Плотность ртути \(\rho = 13{,}6\) г/см\(^3\).
▶ПодсказкаСкрыть
При нагревании ртуть вытесняется в открытое колено, и давление воздуха растёт не только из-за температуры, но и из-за изменения объёма.
▶ОтветСкрыть
\(l_0 = \dfrac{h_0}{2(\alpha^{-1} - 1)} = 380\) мм, где \(h_0 = \dfrac{p_0}{\rho g} = 760\) мм.
зад 3 Поле в центре кубика
Три прилегающие друг к другу грани кубика заряжены равномерно с поверхностной плотностью заряда \(+\sigma\), а остальные грани — с плотностью заряда \(-\sigma\). Найти напряжённость \(\vec{E}\) электрического поля в центре кубика.
▶ПодсказкаСкрыть
Поле плоской грани в центре куба направлено перпендикулярно этой грани; сложите три вклада от пар противоположных граней с учётом симметрии.
▶ОтветСкрыть
\(|\vec{E}| = \dfrac{\sigma}{\sqrt{3}\varepsilon_0}\), вектор \(\vec{E}\) направлен вдоль пространственной диагонали кубика от его положительно заряженного «угла» к отрицательно заряженному.
зад 4 Бесконечная цепочка резисторов
Бесконечная цепочка из одинаковых звеньев состоит из резисторов сопротивлениями \(3R\) и \(R\), соединённых, как показано на рисунке. Найти её сопротивление \(R_{AB}\) между входными контактами \(A\) и \(B\).
▶ПодсказкаСкрыть
Отбросив первое звено, остальная цепочка имеет то же сопротивление: составьте уравнение для \(R_{AB}\).
▶ОтветСкрыть
\(R_{AB} = \left(1{,}3 + \sqrt{5{,}89}\right)R \approx 3{,}73R\).
зад 5 Две линзы в трубке
Тонкая плосковогнутая рассеивающая линза прижата плоскостью к торцу цилиндрической трубки. В трубку вставлена плосковыпуклая собирающая линза так, что главные оптические оси линз совпадают с осью трубки, а собирающая линза обращена плоской стороной к рассеивающей. Собирающую линзу можно перемещать вдоль оси трубки. Если на первую линзу вдоль оси направить узкий параллельный пучок света, то при некотором расстоянии между линзами из системы выйдет также параллельный пучок. Если же пространство между линзами заполнено жидкостью, то для получения параллельного пучка расстояние между линзами необходимо увеличить в \(1{,}5\) раза. Найти показатель преломления жидкости.
▶ПодсказкаСкрыть
Параллельный пучок на выходе получается, когда фокусы линз совпадают; выразите фокусные расстояния линз через показатель преломления жидкости.
▶ОтветСкрыть
\(n_\text{ж} = 1{,}5\).